人教版数学八年级下册192一次函数Word文档格式.docx
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(3)y=150-5x,y是x的一次函数.
(4)s=40t,s既是t的一次函数又是正比例函数.
例2已知函数y=(k-2)x+2k+1,若它是正比例函数,求k的值.若它是一次函数,求k的值.
分析根据一次函数和正比例函数的定义,易求得k的值.
解若y=(k-2)x+2k+1是正比例函数,则2k+1=0,即k=
.
若y=(k-2)x+2k+1是一次函数,则k-2≠0,即k≠2.
例3已知y与x-3成正比例,当x=4时,y=3.
(1)写出y与x之间的函数关系式;
(2)y与x之间是什么函数关系;
(3)求x=2.5时,y的值.
解
(1)因为y与x-3成正比例,所以y=k(x-3).
又因为x=4时,y=3,所以3=k(4-3),解得k=3,
所以y=3(x-3)=3x-9.
(2)y是x的一次函数.
(3)当x=2.5时,y=3×
2.5=7.5.
例4已知A、B两地相距30千米,B、C两地相距48千米.某人骑自行车以每小时12千米的速度从A地出发,经过B地到达C地.设此人骑行时间为x(时),离B地距离为y(千米).
(1)当此人在A、B两地之间时,求y与x的函数关系及自变量x取值范围.
(2)当此人在B、C两地之间时,求y与x的函数关系及自变量x的取值范围.
分析
(1)当此人在A、B两地之间时,离B地距离y为A、B两地的距离与某人所走的路程的差.
(2)当此人在B、C两地之间时,离B地距离y为某人所走的路程与A、B两地的距离的差.
解
(1)y=30-12x.(0≤x≤2.5)
(2)y=12x-30.(2.5≤x≤6.5)
例5 某油库有一没储油的储油罐,在开始的8分钟时间内,只开进油管,不开出油管,油罐的进油至24吨后,将进油管和出油管同时打开16分钟,油罐中的油从24吨增至40吨.随后又关闭进油管,只开出油管,直至将油罐内的油放完.假设在单位时间内进油管与出油管的流量分别保持不变.写出这段时间内油罐的储油量y(吨)与进出油时间x(分)的函数式及相应的x取值范围.
分析因为在只打开进油管的8分钟内、后又打开进油管和出油管的16分钟和最后的只开出油管的三个阶级中,储油罐的储油量与进出油时间的函数关系式是不同的,所以此题因分三个时间段来考虑.但在这三个阶段中,两变量之间均为一次函数关系.
解在第一阶段:
y=3x(0≤x≤8);
在第二阶段:
y=16+x(8≤x≤16);
在第三阶段:
y=-2x+88(24≤x≤44).
四、交流反思
一次函数、正比例函数以及它们的关系:
函数的解析式都是用自变量的一次整式表示的,我们称它们为一次函数(linearfunction).一次函数通常可以表示为y=kx+b的形式,其中k、b是常数,k≠0.
五、检测反馈
1.已知y-3与x成正比例,且x=2时,y=7
(1)写出y与x之间的函数关系.
(2)y与x之间是什么函数关系.
(3)计算y=-4时x的值.
2.甲市到乙市的包裹邮资为每千克0.9元,每件另加手续费0.2元,求总邮资y(元)与包裹重量x(千克)之间的函数解析式,并计算5千克重的包裹的邮资.
3.仓库内原有粉笔400盒.如果每个星期领出36盒,求仓库内余下的粉笔盒数Q与星期数t之间的函数关系.
4.今年植树节,同学们种的树苗高约1.80米.据介绍,这种树苗在10年内平均每年长高0.35米.求树高与年数之间的函数关系式.并算一算4年后同学们中学毕业时这些树约有多高.
5.按照我国税法规定:
个人月收入不超过800元,免交个人所得税.超过800元不超过1300元部分需缴纳5%的个人所得税.试写出月收入在800元到1300元之间的人应缴纳的税金y(元)和月收入x(元)之间的函数关系式.
19.2.2一次函数
【知识与技能】
1.理解一次函数的概念以及它与正比例函数的关系.
2.能根据问题的信息写出一次函数的表达式,能利用一次函数解决简单的问题.
【过程与方法】
在探究过程中,发展抽象思维及概括能力,体验特殊和一般的辩证关系.
【情感态度】
经历利用一次函数解决实际问题的过程,逐步形成利用函数观点认识现实世界的意识和能力.
【教学重点】
1.一次函数的概念.
2.根据已知信息写出一次函数的表达式.
【教学难点】
理解一次函数的定义及与正比例函数的关系.
一、情境导入,初步认识
引导学生一起回忆函数、正比例函数的概念和两者间的关系.
问题某登山队大本营所在地的气温为5℃,海拔每升高1km气温下降6℃,登山队员由大本营向上登高xkm,他们所在位置的气温是y℃,试用解析式表示y与x的关系.
【分析】y随x的变化规律是,从大本营向上海拔增加xkm时,气温从5℃减少6x℃,因此y与x的函数关系为y=5-6x,变形可写成y=-6x+5.
【教学说明】找出y与x的关系式后,引导学生观察这个函数式是不是正比例函数,它的形式与正比例函数解析式有什么异同?
由学生共同讨论.
二、思考探究,获取新知
学生思考下列问题,写出对应的函数解析式:
(1)有人发现,在20~25℃时蟋蟀每分钟鸣叫次数C与温度t(单位:
℃)有关,即C的值约是t的7倍与35的差.
(2)一种计算成年人标准体重G(单位:
千克)的方法是,以厘米为单位量出身高值h,h再减常数105,所得的差是G的值.
(3)把一个长10cm,宽5cm的长方形的长减小xcm,宽不变,长方形的面积y(单位:
cm2)随x的值而变化.
【答案】
(1)C=7t-35;
(2)G=h-105;
(3)y=-5x+50.
【教学说明】让学生观察所写解析式的特点,并让学生认识到:
各小题表示变量的字母虽然不同,但结构相同.变量间对应关系反映出了一种函数形式,与所取符号无关,找出这些式子的共同点,才能概括出一般规律.
【归纳总结】
(1)一般地,形如y=kx+b(k,b为常数,k≠0)的函数,叫一次函数.
(2)当b=0时,得y=kx,故正比例函数是一次函数的特例.
三、典例精析,掌握新知
例1下列函数中哪些是一次函数?
哪些是正比例函数?
①y=-2x;
②
;
③y=2x2-3;
④y=
x+2.
【答案】①④是一次函数,①是正比例函数.
【教学说明】一次函数包括正比例函数.
例2某校校办工厂的现有年产值是15万元,计划今后每年增加2万元,由此可知,年产值发生了变化.
(1)在这个变化过程中,自变量、因变量各是什么?
(2)如果年数用x(年)表示,年产值用y(万)元表示,那么y与x之间有什么样的关系?
(3)当年数由1年增加到5年时,年产值是怎样变化的?
【分析】由题意可知,现有年产值是15万元,以后每年增加2万元,可见,年数乘以2万元即为增加的产值.
(1)在这个变化过程中,自变量是年数,因变量是年产值.
(2)y=2x+15.
(3)当年数由1年增加到5年时,年产值由17万元增加到25万元.例3托运行李P千克(P为整数)的费用为c元,已知托运第一个1千克须付2元,以后每增加1千克(不足1千克的按1千克计)须增加费用5角,写出c与P的关系式,并计算出托运5千克行李的托运费.
【分析】因为P千克可写成(P-1)+1,其中1千克付费2元,P-1千克增加费用0.5(P-1),所以c=2+0.5(P-1)=0.5P+1.5.
【答案】c=2+0.5(P-1)=0.5P+1.5.
当P=5时,c=0.5×
5+1.5=4(元).即5千克行李的托运费是4元.
【教学说明】在写关系式时,应注意(P-1)千克是增加的重量.类似的问题还有用水、用电、话费结算等,它们都是以分段形式收费的.
四、运用新知,深化理解
1.一个小球由静止开始在一个斜坡上向下滚动,其速度每秒增加2米/秒.
(1)求小球速度v随时间t变化的函数关系式,它是一次函数吗?
(2)求第2.5秒时小球的速度.
2.汽车油箱中原有油50升,如果行驶中每小时用油5升,求油箱中的油量y(单位:
升)随行驶时间x(单位:
时)变化的函数关系式,并写出自变量x的取值范围,y是x的一次函数吗?
3.气温随着高度的增加而下降,下降的一般规律是从地面到高空11km处,每升高1km,气温下降6℃.高于11km时,气温几乎不再变化,设地面的气温为38℃,高空中xkm的气温为y℃.
(1)当0≤x≤11时,求y与x的关系式.
(2)求当x=2,5,8,11时y的值.
(3)求在离地面13km的高空处,气温是多少度?
(4)当气温是-16℃时,问在离地面多高的地方?
【教学说明】上述问题由学生思考并得出结果.
【答案】1.
(1)v=2t,是一次函数;
(2)第2.5秒时小球的速度是5米/秒.
2.y=50-5x,0≤x≤10,y是x的一次函数.
3.
(1)0≤x≤11时,y与x之间的关系式为y=38-6x.
(2)分别为26,8,-10,-28.
(3)气温是-28℃.
(4)离地面9km高的地方.
五、师生互动,课堂小结
问题1反思函数、正比例函数、一次函数的概念及它们间的关系.
问题2就本节课所学、所想、所思、所获,交流体会.
【教学说明】引导学生用语言表述个人见解,指导获取正确清晰的知识点和知识间联系.
1.布置作业:
从教材“习题19.2”中选取.
2.完成练习册中本课时练习.
本课时重点是引领学生从整体的高度把握一次函数与正比例函数的概念间的关系,教师应选取适当的材料帮助学生从不同的角度认识这个知识点,并通过一定的练习指导学生巩固认识.教学中可重点指导学生表述、交流个人体会,再互相分析,在师生的共同探讨中逐步抓住知识的本质,再鼓励学生主动地应用于解决问题中,获得实际应用能力.
第2课时一次函数的图象和性质
1.理解直线y=kx+b与直线y=kx之间的位置关系.
2.会选择两个合适的点画出一次函数的图象.
3.掌握一次函数的性质.
1.通过对应描点来研究一次函数的图象,经历知识的归纳、探究过程.
2.通过一次函数的图象归纳函数的性质,体验数形结合的应用.
通过画函数的图象并借助图象研究函数的性质,体验数与形内在的联系,感受函数的简洁美.
一次函数的图象和性质.
由一次函数图象归纳出一次函数的性质.
根据画图象的基本步骤,要求学生分别画出y1=2x+1和y2=-2x+1的图象.
【教学说明】因y1=2x+1和y2=-2x+1都是b≠0的一次函数,它们的图象是直线,可分别取两个特殊点画出.列表:
画得图象如图所示.
【归纳总结】画一次函数y=kx+b(k,b≠0)的图象,通常选取该直线与y轴交点(横坐标为0的点)和直线与x轴交点(纵坐标为0的点),由两点确定一条直线画出图象,这两点分别是(0,b)、(-
,0).
直线y=kx+b(k≠0)中的k和b决定着直线的位置.
(1)当k>0,b>0时,直线经过第一、二、三象限.
(2)当k>0,b<0时,直线经过第一、三、四象限.
(3)当k<0,b>0时,直线经过第一、二、四象限.
(4)当k<0,b<0时,直线经过第二、三、四象限.
根据所画图象,师生共同总结一次函数图象的增减性.
(1)当k>0时,y随x的增大而增大.
(2)当k<0时,y随x的增大而减小.
例1已知关于x的函数y=(m-1)x|m|+n-3.
(1)当m和n取何值时,该函数是关于x的一次函数?
(2)当m和n取何值时,该函数是关于x的正比例函数?
【分析】
(1)根据一次函数的定义可知:
|m|=1,且m-1≠0,故m=-1,且n为全体实数;
(2)根据正比例函数的定义可知,在
(1)的条件下还要满足n-3=0,故m=-1,n=3.
【教学说明】
(1)一次函数y=kx+b中k≠0,kx+b为x的一次二项式,正比例函数是特殊的一次函数,b=0,是过原点的直线.
(2)根据函数的定义求值时既要讨论自变量x的系数和指数,还要考虑b值.
例2已知一次函数y=(6+3m)x+(m-4),y随x的增大而增大,函数的图象与y轴的交点在y轴的负半轴上,求m的取值范围.
【分析】根据一次函数的特征可知,
解得-2<m<4.
【教学说明】审视本题,由一次函数的条件可得到:
6+3m≠0,m-4≠0;
由y随x的增大而增大,得到6+3m>0;
由函数图象与y轴交点在y轴的负半轴上得m-4<0,再综合所有因素求出结果.
例3直线l1和直线l2在同一直角坐标系中的位置如图所示,点P1(x1,y1)在直线l1上,点P3(x3,y3)在直线l2上,点P2(x2,y2)为直线l1,l2的交点,其中x2<x1,x2<x3,则()
A.y1<y2<y3B.y3<y1<y2C.y3<y2<y1D.y2<y1<y3
【分析】由于题设没有给出两个一次函数的解析式,因此解答本题只能借助于图象.观察直线l1知,y随x的增大而减小,因为x2<x1,则有y2>y1;
观察直线l2知,y随x的增大而增大,因为x2<x3,则有y2<y3,故y1<y2<y3,故选A.
【教学说明】本题借助函数图象特征,利用一次函数的性质,由自变量取值的大小关系来确定函数值的大小关系,从而使问题得到解答.
三、运用新知,深化理解
1.下列一次函数中,y随x值的增大而减小的是().
A.y=2x+1B.y=13-4xC.y=
x+21D.y=(7+1)x
2.已知一次函数y=mx+|m+1|的图象与y轴交于点(0,3),且y随x值的增大而增大,则m的值为().
A.2B.-4C.-2或-4D.2或-4
3.已知一次函数y=mx-(m-2)过原点,则m的取值范围为()
A.m>2B.m<2C.m=2D.不能确定
4.下列关系:
①面积一定的长方形的长s与宽a;
②圆的周长s与半径a;
③正方形的面积s与边长a;
④速度一定时行驶的路程s与行驶时间a,其中s是a的正比例函数的有().
A.1个B.2个C.3个D.4个
5.函数y=kx+b的图象平行于直线y=-2x,且与y轴交于点(0,3),则k=______,
b=____.
6.已知点A(a+2,1-a)在函数y=2x-1的图象上,求a的值.
【教学说明】上面的习题检测本节的基本知识点,可由学生独立完成后再由教师指导加以修正,同时鼓励学生由题总结规律,如由第5题归纳出:
“两直线平行
k相等”的结论.
【答案】1.B2.A3.C4.B5.-236.-
四、师生互动,课堂小结
要求学生间互相提出与本节相关的问题,并由同组同学解答、补充.
本课时可遵循“画——读——用”的教学流程,使整堂课是在教师的指导下由学生全程动手、观察、发现并实用于实际解题的方式进行,指导学生认识“由数到形”,“由形到数”的数学方法,培养解决问题、研究问题的基本素质,利于加强研究更复杂知识能力.
第3课时用待定系数法求一次函数解析式
1.学会用待定系数法确定一次函数解析式.
2.了解两个条件确定一个一次函数,一个条件确定一个正比例函数.
1.经历待定系数法的应用过程,提高解决数学问题的能力.
2.体验一次函数中数形结合思想的运用.
能把实际问题与数学问题相互转化,认识数学与生活的密切关系.
待定系数法确定一次函数解析式.
灵活运用有关知识解决实际问题.
已知两个函数的图象如图所示,请根据图象写出每条直线的表达式.
【教学说明】从图象知,图1中直线表示的是正比例函数,其解析式为y=kx形式,关键是如何求出k的值;
由图可知图象过点(1,2),所以该点坐标必适合解析式,将坐标代入y=kx即可求出k的值.
图2中直线表示的是一次函数,其解析式为y=kx+b形式,代入直线上两点坐标(2,0)与(0,3),通过解方程组即可求出k、b,确定解析式.
学生讨论后,由教师小结.
确定正比例函数解析式需要1个条件,确定一次函数的解析式需要2个条件,先设出相应的解析式,然后将条件代入得到方程或方程组,求解后确定解析式.
二、典例精析,掌握新知
先设出函数解析式,再根据条件确定解析式中未知的系数,从而具体写出这个式子的方法,叫做待定系数法.
例1已知正比例函数的图象经过点(-4,3),求它的解析式.
【分析】求解正比例函数的解析式,我们可以首先设它的解析式为y=kx,根据已知条件,求解出k的值即可.根据这个正比例函数图象经过点(-4,3),意味着当x=-4时,y=3,从而得到k的值.
解:
由题意可知3=-4k,k=-
所以,这个正比例函数解析式为y=-
x.
例2问点A(-1,3),B(1,-1),C(3,-5)是否在同一条直线上.
设直线AB的解析式为y=kx+b,由题意得
解得
∴直线AB:
y=-2x+1;
当x=3时,y=-2×
3+1=-5,∴点C(3,-5)在直线AB上,因此,A、B、C三点共线.
【教学说明】本题的实质是先求出过其中的两点确定的一条直线,再把第三点坐标代入直线解析式,如果该点坐标符合解析式,则表明该点在这条直线上,否则三点就不共线.
例3一次函数y=kx+4的图象与y轴交于点B,与x轴交于点A,O为坐标原点,且△AOB的面积为4,求一次函数的解析式.
【分析】由于k的符号不确定,我们无法画出一次函数的大致图象,但由于题目的信息非常明确,而且条件也非常简单,由此希望同学们能够练成“纸上无图象,而心中有图象”的境界,我们分别用含k的代数式表示A、B两点的坐标,再把坐标转化为线段OA、OB的长度,根据△AOB的面积进而求出k的值.
解法一:
令x=0,y=4,∴B(0,4),OB=4.
令y=0,x=-
,∴A(-
,0)
∴OA=|
|(一定要注意绝对值符号)
∵S△AOB=4,∴
OA·
OB=4.即
|
|·
4=4,∴k=±
2.
∴一次函数的解析式为y=±
2x+4.
【教学说明】解决问题时,应优先利用一些简单明了的条件.显然一次函数y=kx+4与y轴交于点(0,4),与k无关,从这一条件入手,我们也应有如下思路及解答.
解法二:
OB=4.
∴OA=2,
∵点A在x轴上.
[要把OA的长度转化为A点的坐标,要注意点A到底在x轴的正半轴上还是在负半轴上]
∴A(2,0)或A(-2,0)当A(2,0)时,0=2k+4,k=-2,当A(-2,0)时,0=-2k+4,k=2,
∴一次函数解析式为y=±
1.已知A是某正比例函数图象上一点,且点A在第二象限,作AP⊥x轴于P,AQ⊥y轴于Q,且AP=3,AQ=4,求正比例函数的解析式.
2.已知一次函数y=2x+m与x轴交于点A,与y轴交于点B,O是坐标原点,且S△AOB=4,求一次函数的解析式.
【教学说明】上面两个习题对本节知识进行了拓展,教师应引导、鼓励学生自主解答,再互相交流,并由教师对在黑板上完成的结果进行评点.
【答案】1.∵点A在第二象限,AP=3,
AQ=4.∴A(-4,3).
设该正比例函数解析式为y=kx.
则3=-4k,解得k=-
所以这个正比例函数的解析式为y=-
2.令x=0,y=m,∴B(0,m),OB=|m|
,则A(-
,0),OA=|
S△AOB=4,∴
OB=4,
×
|m|=4.
m2=4,m2=16,∴m=±
4.
∴一次函数的解析式为y=2x±
根据下列框图引导学生总结.
本课时由图象上点的坐标求函数解析式,可利用图象的画法等已有经验认识到图象上点的坐标决定着解析式形式,这体现了“以旧推新”的方法,再引导学生由两个特殊点坐标求得一次函数解析式,从而形成,用待定系数法求函数解析式的技能,增加对“数形结合”思想的理解.
第4课时分段函数
1.能根据不同情况,了解分段函数的含义.
2.了解简单的分段函数,并能运用分段函数解决函数值的问题.
3.能作出分段函数的图象,利用它解决生活中的简单应用问题.
1.通过对例题的探究,培养学生勤于动脑、乐于
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