湖南师大附中学年高二下学期期中考试数学理试题Word文件下载.docx
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ELSE
y=y+3
ENDIF
PRINT x-y
END
A.-17B.22C.25D.28
6.一条直线若同时平行于两个相交平面,则这条直线与这两个平面交线的位置关系是
A.异面B.相交C.平行D.平行或重合
7.在△ABC中,已知cosA=,cosB=,则cosC的值为
A.B.C.或D.-
8.要从已编号(1~60)的60枚最新研制的某型导弹中随机抽取6枚来进行发射试验,用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法确定所选取的6枚导弹的编号可能是
A.5,10,15,20,25,30B.3,13,23,33,43,53
C.1,2,3,4,5,6D.2,4,8,16,32,48
9.取一根长度为5m的绳子,拉直后在任意位置剪断,那么剪得两段的长度都不小于2m的概率是
A.B.C.D.不确定
10.已知|a|=2|b|≠0,且关于x的方程x2+|a|x+a·
b=0有实根,则a与b的夹角的取值范围是
A.B.C.D.
答题卡
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
得分
答案
二、填空题:
本大题共5个小题,每小题4分,共20分.
11.已知m>0,n>0,且m+n=4,则mn的最大值是________.
12.已知函数f(x)=则f的值为________.
13.等差数列中,a3=3,a8=33,则数列的公差为________.
14.函数y=的定义域是________.
15.如图,正四棱锥P-ABCD底面的四个顶点A,B,C,D在球O的同一个大圆上,点P在球面上,如果VP-ABCD=,则球O的表面积是________.
三、解答题:
本大题共5个小题,共40分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
16.(本小题满分6分)
某校从参加环保知识竞赛的1200名学生中,随机抽取60名,将其成绩(均为整数)分成六段[40,50),[50,60),…,[90,100]后画出如图的频率分布直方图.
(1)估计这次竞赛成绩的众数与中位数(结果保留小数点后一位);
(2)若这次竞赛成绩不低于80分的同学都可以获得一份礼物,试估计该校参加竞赛的1200名学生中可以获得礼物的人数.
17.(本小题满分8分)
已知函数f(x)=的图象经过点.
(1)求a的值;
(2)求函数f(x)的定义域和值域;
(3)证明:
函数f(x)是奇函数.
18.(本小题满分8分)
如图所示,四棱锥P-ABCD的底面是边长为2的正方形,PA⊥底面ABCD,E为PD的中点.
(1)求证:
PB∥平面AEC;
(2)求证:
CD⊥平面PAD;
(3)若三棱锥C-ADE的体积为,求四棱锥P-ABCD的侧面积.
19.(本小题满分8分)
已知向量a=(1,-),b=,x∈R.
(1)若a⊥b,求tanx的值;
(2)设函数f(x)=(a·
b)·
cosx,x∈,求f(x)的值域.
20.(本小题满分10分)
已知数列的前n项和为Sn,且2,an,Sn成等差数列.
(1)求数列的通项公式;
(2)若bn=n·
an,求数列的前n项和Tn;
(3)对于
(2)中的Tn,设cn=,求数列中的最大项.
第Ⅱ卷 (满分50分)
本大题共3个小题,每小题5分,共15分,在每小题给出的四个选项中,有且只有一项是符合题目要求的.
21.给出下列四个命题
①命题“若x2=1,则x=1”的否命题为:
“若x2=1,则x≠1”;
②命题“x∈R,x2+x-1<
0”的否定是“x∈R,x2+x-1>
0”;
③命题“若x=y,则sinx=siny”的逆否命题为真命题;
④“x=-1”是“x2-5x-6=0”的必要不充分条件.
其中真命题的个数是
A.1个B.2个C.3个D.4个
22.双曲线-=1(a>
0,b>
0)的两顶点为A1,A2,其虚轴两端点为B1,B2,两焦点为F1,F2,若以A1A2为直径的圆内切于菱形F1B1F2B2,则双曲线的离心率是
A.-1B.C.D.+1
23.设a1,a2,…,an是1,2,…,n的一个排列,把排在ai的左边且比ai小的数的个数称为ai(i=1,2,…,n)的顺序数,如在排列6,4,5,3,2,1中,5的顺序数为1,3的顺序数为0,则在1至8这8个数的排列中,8的顺序数为2,7的顺序数为3,5的顺序数为3的不同排列的种数为
A.96B.144C.192D.240
21
22
23
本大题共2小题,每小题5分,共10分.
24.在平面直角坐标系中,以原点为极点,x轴正半轴为极轴,建立极坐标系.已知抛物线C的极坐标方程为ρcos2θ=4sinθ(ρ≥0),直线l的参数方程为(t为参数).设直线l与抛物线C的两个交点为A、B,点F为抛物线C的焦点,则+的值为________.
25.若存在实数a,b(0<
a<
b)满足ab=ba,则实数a的取值范围是________.
本大题共2小题,共25分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
26.(本小题满分12分)
如图,设椭圆C:
+=1(a>
b>
0)的左,右焦点分别为F1,F2,上顶点为A,过点A作与AF2垂直的直线交x轴负半轴于点Q,且=.
(1)若过A,Q,F2三点的圆恰好与直线l:
x-y-3=0相切,求椭圆C的方程;
(2)在
(1)的条件下,过右焦点F2作斜率为k的直线l与椭圆C交于M,N两点,在x轴上是否存在点P(m,0)使得以PM,PN为邻边的平行四边形是菱形?
如果存在,求出m的取值范围;
如果不存在,请说明理由.
27.(本小题满分13分)
已知函数f(x)=ln,g(x)=ax2+bx.
(1)若a=0,f(x)<
g(x)在上恒成立,求b的取值范围;
(2)设数列cn=,Sn为数列{cn}的前n项和,求证:
Sn<
n-ln;
(3)当a≠0时,设函数f(x-1)的图象C1与函数g(x)的图象C2交于点P,Q,过线段PQ的中点R作x轴的垂线分别交C1,C2于点M,N,问是否存在点R,使C1在M处的切线与C2在N处的切线平行?
若存在,求出R的横坐标;
若不存在,请说明理由.
湖南师大附中2018-2019学年度高二第二学期期中考试理科数学参考答案-(这是边文,请据需要手工删加)
数学(理科)参考答案
一、选择题
题 号
答 案
C
B
D
A
二、填空题
11.4. 12. 13.6 14.(k∈Z)
15.16π 【解析】正四棱锥P-ABCD底面的四个顶点A,B,C,D在球O的同一个大圆上,点P在球面上,PO⊥底面ABCD,PO=R,SABCD=2R2,VP-ABCD=,所以·
2R2·
R=,解得R=2,则球O的表面积是16π.
三、解答题
16.【解析】
(1)由图可知,本次竞赛成绩的众数是75.
因为前三个小组的频率之和为0.4,所以中位数落在第四个小组内.
设中位数为x,则有(x-70)×
0.03=0.5-0.4,解得x≈73.3.
所以中位数约为73.3.(3分)
(2)因为不低于80分的频率=(0.025+0.005)×
10=0.3,
所以1200名学生中可以获得礼物的人数约为1200×
0.3=360.(6分)
17.【解析】
(1)由已知,f
(1)==,解得a=1.(1分)
(2)由
(1)知,f(x)=,∵2x>
0,2x+1>
1,∴f(x)的定义域为R.
∵f(x)==1-,又∵2x∈(0,+∞),∴∈(0,2),
∴f(x)的值域为(-1,1).(5分)
(3)∵f(x)的定义域为R,且f(-x)===-f(x),
∴f(x)是奇函数.(8分)
18.【解析】
(1)连结BD,交AC于点O.连结OE.
因为四边形ABCD是正方形,所以O为BD的中点,
又E为PD的中点,所以OE为△PBD的中位线,
所以OE∥PB.
又PB平面AEC,OE平面AEC,
所以PB∥平面AEC.(3分)
(2)因为四边形ABCD是正方形,所以CD⊥AD.
因为PA⊥底面ABCD,所以CD⊥PA.
又AD∩PA=A,所以CD⊥平面PAD.(6分)
(3)因为VC-ADE=VE-ACD=·
h·
S△ACD=,
又因为底面ABCD是边长为2的正方形,所以S△ACD=2,所以h=1.
又因为E是PD的中点,所以PA=2h=2.所以PB=PD=2.
所以四棱锥P-ABCD的侧面积=2S△PAB+2S△PBC=2=4+4.(8分)
19.【解析】
(1)因为a⊥b,所以a·
b=sinx-sin=sinx-cosx=0,
解得tanx=.(4分)
(2)f(x)=cosx=sinxcosx-cos2x
=sin2x-·
=sin-,
当x∈时,2x-∈,sin∈,
所以f(x)的值域为.(8分)
20.【解析】
(1)∵2an=2+Sn, ①
∴2an-1=2+Sn-1(n≥2). ②
①-②得an=2an-1(n≥2),又2a1=2+a1,a1=2,∴an=2n.(3分)
(2)bn=n·
an=n·
2n,
用错位相减法得:
Tn=2+2·
22+3·
23+…+n·
2n, ①
2Tn=22+2·
23+3·
24+…+n·
2n+1, ②
①-②,得Tn=(n-1)·
2n+1+2.(6分)
(3)cn===,
由得解得2≤n≤3(n∈N*).
∴n=2或n=3时,cn最大,即c2=c3=为中的最大项.(10分)
21.A 【解析】①为假命题,“若x2=1,则x=1”的否命题应为“若x2≠1,则x≠1”;
②为假命题,“x∈R,x2+x-1<
0”的否定应为“x∈R,x2+x-1≥0”;
③正确;
④为假命题,“x=-1”是“x2-5x-6=0”的充分不必要条件.选A.
22.C 【解析】解:
由题意可得A1(-a,0),A2(a,0),B1(0,b),B2(0,-b),
F1(-c,0),F2(c,0),
且a2+b2=c2,菱形F1B1F2B2的边长为,
由以A1A2为直径的圆内切于菱形F1B1F2B2,切点分别为A,B,C,D.
由面积相等,可得·
2b·
2c=a·
4,
即为b2c2=a2(b2+c2),即有c4+a4-3a2c2=0,
由e=,可得e4-3e2+1=0,
解得e2=,可得e=,或e=(舍去).故选C.
23.B 【解析】8的顺序数为2,则8必是排第三位.7的顺序数为3,则7必是第5位,那么还得考虑5和6,有两种,
(1)5在6的前面.那么5只能排在第6位,6可以是第7或第8位,其它四个任排,有2A=48种.
(2)6在5前面,5在第7位,有4A=96种.所以满足题意的排列总数为48+96=144种.故选B.
24. 【解析】抛物线C的直角坐标方程为x2=4y,直线l的方程为x=(y-1),
设A(x1,y1)、B(x2,y2),
则由解得y1+y2=,又直线过抛物线的焦点F(0,1),
所以+=y1+1+y2+1=+2=.
25.(1,e) 【解析】因为0<
b,对等式ab=ba的两边取自然对数,得blna=alnb,即=.构造函数f(x)=(x>
0),则f′(x)=,令f′(x)=0得x=e.易知f(x)在区间(0,e)内单调递增,在区间(e,+∞)内单调递减,所以f(x)max=f(e)=.因为f
(1)=0,所以当x∈(0,1)时f(x)<
0;
当x>
1时f(x)>
0.如图所示,a,b可以看成是函数f(x)=(x>
0)的图象与直线y=k(k>
0)的两个交点的横坐标.因为0<
b,所以a的取值范围是(1,e).
26.【解析】
(1)设Q(x0,0),由F2(c,0),A(0,b),
知=(-c,b),=(x0,-b),
∵⊥,∴-cx0-b2=0,x0=-.由于=,
故-+c=-2c,∴b2=3c2=a2-c2,即c=a,
于是F2,Q.
又因为△AQF2的外接圆圆心为,半径r=a.该圆与直线x-y-3=0相切,
所以=aa=2.∴c=1,b=.
∴所求椭圆方程为+=1.(4分)
(2)由
(1)知F2(1,0),设l:
y=k(x-1),由消掉y,得
(3+4k2)x2-8k2x+4k2-12=0.(6分)
设M(x1,y1),N(x2,y2),则x1+x2=,y1+y2=k(x1+x2-2),(7分)
+=(x1-m,y1)+(x2-m,y2)=(x1+x2-2m,y1+y2),
由于菱形的对角线垂直,故(+)·
=0,(9分)
故k(y1+y2)+x1+x2-2m=0,即k2(x1+x2-2)+x1+x2-2m=0,
即:
k2+-2m=0,
由已知条件知k≠0且k∈R,∴m==,∴0<
m<
,
故存在满足的点P(m,0)且m的取值范围是.(12分)
27.【解析】
(1)a=0时,f(x)<
g(x)ln(x+1)<
bx,
设h(x)=ln(1+x)-bx,则h′(x)=-b.
若b≤0,显然不满足题意;
若b≥1,则x∈时,h′(x)=-b≤0恒成立,
∴h(x)在上为减函数,有ln(x+1)-bx<
h(0)=0在上恒成立;
若0<
b<
1,则h′(x)=-b=0时,x=-1,x∈时h′(x)≥0,
所以h(x)在上单调递增.
∵h(0)=0,∴x∈时,h(x)>
0,不满足题意.
综上,b≥1时f(x)<
g(x)在上恒成立.(4分)
(2)由
(1)得ln(x+1)<
x在上恒成立.令x=有
ln<
,1-<
1-ln,
则cn=1-<
1-ln(n+2)+ln(n+1),
∴Sn<
+(1-ln4+ln3)+…+(1-ln(n+2)+ln(n+1)),
即Sn<
n-ln.(8分)
(3)f(x-1)=lnx,设点P,Q的坐标是P(x1,y1),Q(x2,y2),且0<
x1<
x2,
则点M,N的横坐标为x=.
C1在点M处的切线斜率为k1==.
C2在点N处的切线斜率为k2==+b.
假设C1在点M处的切线与C2在点N处的切线平行,则k1=k2.
即=+b.
所以=+b(x2-x1)
=-=y2-y1=lnx2-lnx1=ln.
所以ln==.(10分)
设u=>
1,则lnu=,u>
1. ①
令r(u)=lnu-,u>
1,则r′(u)=-=.
因为u>
1,所以r′(u)>
0,所以r(u)在[1,+∞)上单调递增.
故r(u)>
r
(1)=0,则lnu>
.
这与①矛盾,假设不成立.
故不存在点R,使C1在点M处的切线与C2在点N处的切线平行.(13分)
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