届高三数学阶段测试试题四.docx

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届高三数学阶段测试试题四

江苏省启东中学、前黄中学、淮阴中学等七校2019届高三数学阶段测试试题（四）

注　意　事　项

考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求

1．本试卷共4页，均为非选择题（第1题～第20题，共20题）.本卷满分为160分，考试时间为120分钟.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.

2．答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及

答题卡的规定位置.

3．作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置

作答一律无效.

4．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗.

一、填空题:

本大题共14小题，每小题5分，共计70分，把答案填写在答题卡上相应位置上.

1.已知集合，若，则▲.

2.函数的定义域为▲.

3.已知复数满足（是虚数单位），则复数

的模为▲.

4.右图是一个算法流程图，则输出的的值是▲.

5.已知函数，则▲.

6.若“”是“”的充分不必要条件，则

实数的取值范围为▲.

7.已知函数的图象与直线相切，则实数的值为▲.

8.已知函数在时取得最大值，则的值是▲.

9.在平面直角坐标系中，已知角的终边经过点,将角的终边绕原点按逆时

针方向旋转与角的终边重合,则的值为▲.

10.已知等差数列的前项和为，若，则的取值范围

是▲.

11.如图，在平面直角坐标系中，椭圆的左、右顶点分别为、

，右焦点为，上顶点为，线段的中点为，直线与椭圆的另一个交点为

，且垂直于轴，则椭圆离心率的值为▲.

12.如图，在中，a、b、c分别是角所对的边，是上的两个三等

分点，是上的两个三等分点，，则的最小

值为▲.

13.在平面直角坐标系中，已知圆，直线，过直线上点作圆的切线，切点分别为，若存在点使得，则实数的取值范围是▲.

14.已知函数（是自然对数的底数）恰有三个不同的零点，则实数的取值范围是▲.

二、解答题:

本大题共6小题，共计90分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.（本小题满分14分）

已知向量，且

（1）若，求的值；

（2）若，求的值.

16.（本小题满分14分）

已知函数是定义在的奇函数（其中是自然对数的底数）.

（1）求实数的值；

（2）若，求实数的取值范围.

17.（本小题满分14分）

如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆的右准线方程，离心率，左右顶点分别为，右焦点为，点在椭圆上，且位于轴上方.

（1）设直线的斜率为，直线的斜率为，求的最小值；

（2）点在右准线上，且，直线交负半轴于点，

若，求点坐标.

18.（本小题满分16分）

如图，港珠澳大桥连接珠海（A点）、澳门（B点）、香港（C点）．线段长度为，线段长度为，且.澳门（B点）与香港（C点）之间有一段海底隧道，连接人工岛和人工岛，海底隧道是以为圆心，半径的一段圆弧，从珠海点到人工岛所在的直线与圆相切，切点为点，记.

（1）用表示、及弧长；

（2）记路程、弧长及四段长总和为，当取何值时，取得最小值？

（第18题）

19.（本小题满分16分）

已知函数（是自然对数的底数）.

（1）若，求函数的单调增区间；

（2）若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围；

（3）若函数在处取得极大值，求实数的取值范围.

20.（本小题满分16分）

已知数列、、，对于给定的正整数，记，（）.若对任意的正整数满足：

，且是等差数列，则称数列为“”数列.

（1）若数列的前项和为，证明：

为数列；

（2）若数列为数列，且，求数列的通项公式；

（3）若数列为数列，证明：

是等差数列.

高三年级阶段测试四

数学附加题2018.12.21

（满分40分，时间30分钟）

注意：

请在答卷卡指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

21．（本小题满分10分）

已知矩阵的逆矩阵，设曲线在矩阵对应的变换作用下得到曲线，求曲线的方程.

22．（本小题满分10分）

已知直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程为，直线与圆相交于、两点.若弦长，求实数的值.

23.（本小题满分10分）

已知点是抛物线上的一点，过点作两条直线与，分别与抛物线相交于、两点.

（1）已知点且，求证：

直线恒过定点；

（2）已知点，直线所在直线方程为，且的垂心在轴上，求实数的值.

24.（本小题满分10分）

已知数列满足.

（1），求，并猜想数列通项公式；

（2）若，用数学归纳法证明

.

高三数学阶段测试四

数学试卷（I）答案2018.12.21

一、填空题:

1、{1,2,3}2、3、4、55、-26、

7、28、9、10、11、12、1

13、14、

二、解答题:

15、解

（1）因为，所以，所以…………………………3分

又因为，所以，所以或，所以或…………7分

（漏1解扣2分）

（2）因为，所以，所以……………10分

所以…………………………14分

（忘记开根号扣2分）

16、解

（1）因为是定义在的奇函数，所以，所以m=1…4分

当m=1时，，所以………………6分

（2）

，所以，当且仅当x=0时，所以在单调递增…10分

所以，所以………………14分

（忘记定义域扣2分）

17、解

（1）………………2分

设点P，则………………6分

因为，所以，当时的最小值为………………7分

（用结论不证明扣2分）

（2）设点P，则QF：

，所以点Q……………9分

因为点P、Q、M三点共线，所以，所以……………11分

又因为，所以或，因为，所以P………14分

18.解

（1）在中，由正弦定理可知：

……………2分

在中，……………4分

……………6分

（2）……………8分

………………10分

即……………12分

由，则……………14分

当时，；当时，

在上单调递减，在上单调递增

答：

当时，取得最小值.……………16分

19.解

（1）当时，

因为，所有时，；时，

则在上单调递增。

……………3分

（2）（法1：

不分参，分类讨论）

若时，，则在上单调递减，

由与恒成立矛盾，所以不合题意；……………5分

（不举反例扣1分）

若时，令，则

所以当时，；当时，

则在单调递减，在单调递增……………7分

所以的最小值为（*），

又带入（*）得：

，

由恒成立，所以，记

又，则在单调递减，

又，所以

……………10分

所以实数的取值范围是

附：

（法2：

分参）

对恒成立，

令……………5分

设，，在单调递减，

又……………7分

当时，，即；当时，，即

在上递增，在上递减

综上，实数的取值范围是……………10分

（3），

设，

则在上单调递减，

当时，即

，，则

在单调递减与“在处取得极大值”矛盾

不合题意；……………12分

当时，即

则

由，，使得……………14分

当时，，则

当时，，则

在单调递增，在单调递减，则在处取得极大值

综上符合题意。

……………16分

20.解

（1）当时，……………2分

当时，符合上式，则

则

对任意的正整数满足，且是公差为4的等差数列，为数列.………4分

（3）

由数列为数列，则是等差数列，且

即……………6分

则是常数列……………9分

验证：

，对任意正整数都成立……………10分

附：

-得：

（3）由数列为数列可知：

是等差数列，记公差为

则

又……………13分

数列为常数列，则

由……………16分

是等差数列.

高三年级阶段测试

数学附加题2018.12.21

（满分40分，时间30分钟）

注意：

请在答卷卡指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

21．（本小题满分10分）

解：

…………………………3分

，则…………………………5分

设曲线上任一点变换为则

，…………………………7分

代入曲线得曲线的方程…………………………10分

（不设任意点变换为扣1分）

22．（本小题满分10分）

解：

解：

直线，圆，…………………4分

由弦长…………………6分

所以圆心C（1，-1）到直线的距离，……………10分

（漏解扣2分）

25.（本小题满分10分）

解

（1）由题可知直线、的斜率都存在，设，

…………………2分

同理可得

则直线所在的直线方程为

当时，直线所在的直线方程为

综上，直线恒过定点…………………5分

（不讨论值扣1分）

（2）由可知垂心

设点

由得：

由

即………………7分

将带入得：

，又

………………10分

（忘记扣1分）

26.（本小题满分10分）

解

（1），猜得………………1分

（3）证明：

（i）当时，，命题成立；

（ii）假设命题成立，即

则时，

时，命题也成立

综合（i）（ii）可知对一切正整数都成立。

………………4分

（忘记扣1分）

先用数学归纳法证明

（i）当时，，命题成立；

（ii）假设命题成立，即

则时，

时，命题也成立

综合（i）（ii）可知对一切正整数都成立。

…………8分

………10分

（不用数学归纳法，用放缩扣3分）