新北师大版八年级数学下册第一章证明.docx

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新北师大版八年级数学下册第一章证明

新北师大版八年级数学下册第一章证明

（二）辅导资料

第一节等腰三角形

知识回顾：

复习证明全等三角形的判定方法

等腰三角形的性质：

（1）、等腰三角形的两个底角，也就是说，在同一个三角形中，；

（2）、等腰三角形的顶角、底边上的和互相重合，简称等腰三角形。

等腰三角形有下面的判定方法：

（1）、依据三角形定义：

如果一个三角形有相等，那么这个三角形是等腰三角形。

（2）、依据定理：

如果一个三角形有相等，那么这个三角形是等腰三角形。

简单地说：

在同一个三角形中，；

3、有　　　边相等的三角形叫做等腰三角形。

　有三边相等的三角形叫做　　　　　三角形，也叫　　　　三角形。

4、等边三角形的角都　　　　　，且等于　　　　；等边三角形是　　

　　　　　图形

5、等边三角形的判定方法：

（1）有　　　　边相等的三角形叫做等边三角形；

（2）有　　　　角相等的三角形叫做等边三角形；

（3）有　　　　个角都等于600的三角形叫做等边三角形；

（4）有　　　　个角等于600的　　　三角形叫做等边三角形。

典型例题：

1、已知等腰三角形的一边长为，另一边长为，则它的周长为　　　　　

。

2、已知等腰三角形的一边长为，另一边长为，则它的周长为　　　　　　。

3、等腰三角形底边长为，一腰上的中线把其周长分为两部分的差为.则腰长为　　　　

3、如果等腰三角形的顶角等于36°，则底角等于_________度；如果底角等于36°，那么顶角的度数为_________．

4、有一个角等于50°，另一个角等于__________的三角形是等腰三角形．

5、等边三角形的三个角的度数分别为_______.

6、有一个角为的等腰三角形的另外两个角的度数为______.

7、有一个角为的等腰三角形的另外两个角的度数为________.

8、在等腰三角形中，如果顶角是一个底角的2倍，那么顶角等于_____度；如果一个底角是顶角的2倍，那么顶角等于_______度.

9、如图，，交BC于点D，，那么BC的长为_________.

10、如图，在中，D是AC上的一点，且，，则_______，______，________.

11、如图，已知：

在中，，，BD是的角平分线，求的度数.

12．一个等腰三角形的一个角比另一个角的2倍少30o，求这个三角形的三个角的度数．

13.如图，已知∠D=∠C，∠A=∠B，且AE=BF。

求证：

AD=BC。

14．如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥AC∠BAC=100°。

求∠1、∠3、∠B的度数。

15．如图，在△ABC中，D为AC上一点，并且AB=AD，DB=DC，若∠C=29°，求∠A。

能力提升

填空：

（1）如图，在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD。

请找出所有的等腰三角形。

（2）等腰三角形的顶角为50°，则它的底角为。

（3）等腰三角形的一个角为40°，则另两个角为。

（4）等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于60°。

2、如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC边上的中点，且DE⊥AB，DF⊥AC。

求证：

∠1=∠2。

3．如图，A、B、F、D在同一直线上，AB=DF，AE=BC，且AE∥BC.

求证：

⑴△AEF≌△BCD，⑵EF∥CD.

经典证明题：

1、如图，中，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，BD=CE。

求证：

是等腰三角形。

2、如图，在△ABC中，AB=AC，DE∥BC，求证：

△ADE是等腰三角形。

3、如图，E是△ABC的一点，AB=AC，连接AE、BE、CE，且BE=CE，延长AE，

交BC边于点D。

求证：

AD⊥BC。

4、已知：

如图，△ABC是等边三角形，DE∥BC，交AB、AC于D、E。

求证：

△ADE是等边三角形。

5、如图，△ABC是等边三角形，BD=CE，∠1=∠2。

求证：

△ADE是等边三角形。

6、如图，在Rt中，∠B=30°，BD=AD，BD=12，求DC的长。

练习：

填空：

（1）如图1，BC=AC，若，则△ABC是等边三角形。

（2）如图2，AB=AC，BC⊥AD，BD=4，若AB=，则△ABC是等边三角形。

（3）如图3，在Rt中，∠B=30°，AC=6cm，则AB=；若AB=7，则AC=。

图1图2图3

2、如右图，已知△ABC和△BDE都是等边三角形，求证：

AE=CD。

3、填空：

（1）如图1，AB=AC，AD是△ABC的一条中线，AB=5，若BD=，

则△ABC是等边三角形。

（2）如图2，∠BAC＝120°，AB＝AC，AB＝14，则AD=。

图1图2

4、已知：

中，，，，AB=40，

求DB的长。

5、在四边形ABCD中，∠A=60°，∠B=∠D=90°，BC=2，CD=3，求：

AB的长

6、如图，AB=AC，O是BC的中点，OD⊥AB于D,OE⊥AC于E，

请用两种方法说明OD=OE

7、如图，已知AD∥BC，BD平分∠ABC.△ABD是等腰三角形吗？

请你说明理由.

8、如图，已知等边△ABC中，BD=CE，AD与BE相交于点P，

（1）求证：

△ABD≌△BCE

（2）求∠APE的度数。

9．要在河边修建一个水泵站，分别向村、庄送水（如图）。

修在河边什么地方，可使所用水管最短？

试在图中确定水泵站的位置．

第二节直角三角形

知识回顾：

1.勾股定理的容：

_________________。

2.下列长度的三条线段能构成直角三角形的是（）

①8，15，17②4，5，6③7，5.4，8.5④24，25，7⑤5，8，10

3.把命题“如果两个角是对顶角，那么它们相等。

”的条件和结论交换位置：

如果____________，那么__________。

此命题是____命题.

知识点

1、直角三角形的两个锐角互余。

（性质）

2、有两个角互余的三角形是直角三角形。

（判定）

3、直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。

（性质）

4、如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。

（判定）

5、在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题。

6、如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理称为互逆定理，其中一个定理称为另一个定理的逆定理。

练习：

1、说出下列命题的逆命题,并判断原命题与逆命题的真假:

（1）四边形是多边形;（）_______________________（）

（2）两直线平行,同旁角互补;（）_______________________（）

（3）如果ab=0,那么a=0,b=0.（）_______________________（）

2、命题：

等腰三角形两腰上的高相等的逆命题是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.

3.若一个直角两直角边之比为3：

4，斜边长20CM，则两直角边为.

4.已知直角三角形两直角边长分别为6和8，则斜边长为_______，斜边上的高为_______.

5.小明将长2.5M的梯子斜靠在竖直的墙上，这时梯子底端B到墙根C的距离是0.7M，如果梯子的顶端垂直下滑0.4M，那么梯子的底端B将向外移动多少米.

练习：

选择题

1．下列命题中，是真命题的是（）

A．相等的角是对顶角B．两直线平行，同位角互补

C．等腰三角形的两个底角相等D．直角三角形中两锐角互补

2．若三角形三边长之比为1∶∶2，则这个三角形中的最大角的度数是（）

A．60°B．90°　　　C.120°D．150°

3．在△ABC中，若∠A∶∠B∶∠C＝3∶1∶2，则其各角所对边长之比等于（）

A．∶1∶2B．1∶2∶C．1∶∶2D．2∶1∶

4．具备下列条件的两个三角形可以判定它们全等的是（）

A．一边和这边上的高对应相等B．两边和第三边上的高对应相等

C．两边和其中一边的对角对应相等D．两个直角三角形中的斜边对应相等

5．在等腰三角形中，腰长是a，一腰上的高与另一腰的夹角是30°，则此等腰三角形的底边上的高是．

6、如图，BA⊥DA于A，AD=12，DC=9，CA=15，求证：

BA∥DC。

7、若直角三角形的三条边长分别是6，8，a，则a=__________。

8、已知：

如图，△ABC中，CD⊥AB于D，AC=4，BC=3，DB=。

（1）求DC的长；

（2）求AD的长；（3）求AB的长；

（4）求证：

△ABC是直角三角形.

9、填空：

（1）直角三角形的两直角边为9、12，则斜边为；直角三角形的斜边为13，

其中一条直角边为5，则另一条直角边为。

（2）如果一个三角形的三边分别是6、10、8，则这个三角形是三角形。

10、说出下列命题的逆命题，并判断每对命题的真假。

1）等边对等角；

2）对顶角相等；

3）平行四边形的两组对边相等；

4）正方形的四条边都相等；

11、某校把一块形状为直角三角形的废地开辟为生物园，如图5所示，∠ACB＝90°，

AC＝80米，BC＝60米，若线段CD是一条小渠，且D点在边AB上，已知水渠的造价

为10元/米，问D点在距A点多远处时，水渠的造价最低？

最低造价是多少？

12、如图，AB⊥BC，DC⊥BC，E是BC上一点，∠BAE=∠DEC=60°，AB=3，CE=4，

则AD等于。

13、如图所示的一块地，∠ADC=90°，AD=12m，CD=9m，AB=39m，BC=36m，求这块地的面积。

14、如图，∠ACB=∠ADB=90°，AC=AD，E是AB上的一点。

求证：

CE=DE。

15、填空：

.如下图，Rt△ABC和Rt△DEF，∠C=∠F=90°。

（1）若∠A=∠D，BC=EF，则Rt△ABC≌Rt△DEF的依据是__________.

（2）若∠A=∠D，AC=DF，则Rt△ABC≌Rt△DEF的依据是__________.

（3）若∠A=∠D，AB=DE，则Rt△ABC≌Rt△DEF的依据是__________.

（4）若AC=DF，AB=DE，则Rt△ABC≌Rt△DEF的依据是__________.

（5）若AC=DF，CB=FE，则Rt△ABC≌Rt△DEF的依据是__________.

16、如下图，CD⊥AD，CB⊥AB，AB=AD，求证：

CD=CB。