高三数学一轮复习第十一篇计数原理概率随机变量及其分布第5节古典概型与几何概型基丛点练理Word格式.docx
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可得=0.68,
而S矩形=6×
4=24,
则S椭圆=0.68×
24=16.32.
5.(xx山西省康杰中学等四校第三次联考)在面积为S的△ABC内部任取一点P,则△PBC的面积大于的概率为( D )
记事件A=(△PBC的面积超过),基本事件是三角形ABC的面积,如图,事件A的几何度量为图中阴影部分的面积(DE∥BC并且AD∶AB=3∶4),
因为阴影部分的面积是整个三角形面积的()2=,所以P(A)==.故选D.
6.(xx湖北七市3月联考)甲、乙两位同学约定周日上午在某电影院旁见面,并约定谁先到后必须等10分钟,若等待10分钟后另一人还没有来就离开.如果甲是8:
30分到达的,假设乙在8点到9点内到达,且乙在8点到9点之间何时到达是等可能的,则他们见面的概率是( C )
只要乙在8:
20~8:
40内到达即可,由于乙在8:
00~9:
00到达是等可能的,故他们能够见面的概率是=.
7.一个骰子连续投2次,点数和为i(i=2,3,…,12)的概率记作Pi,则Pi的最大值是( B )
(A)(B)(C)(D)
基本事件是
(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6);
(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6);
(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6);
(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6);
(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6);
(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)
共有36个.其中两数之和等于7的有6个,两数之和等于其余数字的都少于6个,故P7==最大.
8.(xx兰州高三模拟)甲、乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服中选择1种,则他们选择相同颜色运动服的概率为 .
基本事件甲取红、白、蓝,乙取红、白、蓝,对应组合共9个基本事件,颜色相同的共3个基本事件,故所求的概率为=.
答案:
9.(xx高考天津卷)设甲、乙、丙三个乒乓球协会的运动员人数分别为27,9,18.现采用分层抽样的方法从这三个协会中抽取6名运动员组队参加比赛.
(1)求应从这三个协会中分别抽取的运动员的人数;
(2)将抽取的6名运动员进行编号,编号分别为A1,A2,A3,A4,A5,A6.现从这6名运动员中随机抽取2人参加双打比赛.
①用所给编号列出所有可能的结果;
②设A为事件“编号为A5和A6的两名运动员中至少有1人被抽到”,求事件A发生的概率.
解:
(1)应从甲、乙、丙三个协会中抽取的运动员人数分别为3,1,2.
(2)①从6名运动员中随机抽取2人参加双打比赛的所有可能结果为{A1,A2},{A1,A3},{A1,A4},{A1,A5},{A1,A6},{A2,A3},{A2,A4},{A2,A5},
{A2,A6},{A3,A4},{A3,A5},{A3,A6},{A4,A5},{A4,A6},{A5,A6},共15种.
②编号为A5和A6的两名运动员中至少有1人被抽到的所有可能结果为{A1,A5},{A1,A6},{A2,A5},{A2,A6},{A3,A5},{A3,A6},{A4,A5},{A4,A6},
{A5,A6},共9种.
因此,事件A发生的概率P(A)==.
10.现有一批产品共有10件,其中8件为正品,2件为次品.
(1)如果从中取出一件,然后放回,再取一件,求连续3次取出的都是正品的概率.
(2)如果从中一次取3件,求3件都是正品的概率.
(1)有放回地抽取3次,按抽取顺序(x,y,z)记录结果,则x,y,z都有10种可能,
所以基本事件总数为10×
10×
10=103(种);
设事件A为“连续3次都取出正品”,则包含的基本事件共有8×
8×
8=83种,因此P(A)==0.512.
(2)可以看作不放回抽样3次,顺序不同,基本事件不同,按抽取顺序记录(x,y,z),
则x有10种可能,y有9种可能,z有8种可能,
9×
8.
设事件B为“3件都是正品”,
则事件B包含的基本事件总数为8×
7×
6,
所以P(B)==.
能力提升练(时间:
15分钟)
11.(xx湖北省高三检测)如图,大正方形的面积是34,四个全等直角三角形围成一个小正方形,直角三角形的较短边长为3,向大正方形内抛撒一枚幸运小花朵,则小花朵落在小正方形内的概率为( B )
因为大正方形的面积是34,所以大正方形的边长是,由直角三角形的较短边长为3,得四个全等直角三角形的直角边分别是5和3,则小正方形边长为2,面积为4.所以小花朵落在小正方形内的概率为P==.
12.考察正方体6个面的中心,从中任意选3个点连成三角形,再把剩下的3个点也连成三角形,则所得的两个三角形全等的概率等于( A )
(A)1(B)(C)(D)0
如图所示,正方体6个面的中心构成一个八面体,如果选取的是表面上的一个面上的三个点,则剩余的是另一个侧面上的三个点,这两个三角形都是边长相等的正三角形,两三角形全等;
如果选取的是图中正方形中四个点中的三个,这个三角形是等腰直角三角形,此时剩下的三个点是与上面正方形全等的正方形中四个点的三个,这三个点构成一个和上面三角形全等的等腰直角三角形.综上可知,这是一个必然事件,其概率值为1.
13.锅中煮有芝麻馅汤圆6个,花生馅汤圆5个,豆沙馅汤圆4个,这三种汤圆的外部特征完全相同.从中任意舀取4个汤圆,则每种汤圆都至少取到1个的概率为 .
基本事件的总数就是从15个元素中任取4个元素的组合数,随机事件“每种汤圆都至少取到1个”可以分为三类:
“芝麻馅汤圆1个,花生馅汤圆1个,豆沙馅汤圆2个”,“芝麻馅汤圆1个,花生馅汤圆2个,豆沙馅汤圆1个”,“芝麻馅汤圆2个,花生馅汤圆1个,豆沙馅汤圆1个”,分别计算其包含的基本事件的个数即可.因为总的舀法,根据分析随机事件“每种汤圆都至少取到1个”所包含的基本事件的个数是×
×
+×
故所求概率为=.
14.(xx山西大学附中高三上模块诊断)向曲线x2+y2=|x|+|y|所围成的区域内任投一点,这点正好落在y=1-x2与x轴所围成区域内的概率为 .
x2+y2=|x|+|y|所围成的区域是如图所示的四个圆弧围成的图形,其面积S=×
+2×
()2×
π=2+π,y=1-x2与x轴所围成的区域的
面积.
S1=(1-x2)dx=(x-x3)|=,
所以概率P===.
15.(xx高考重庆卷)20名学生某次数学考试成绩(单位:
分)的频率分布直方图如图:
(1)求频率分布直方图中a的值;
(2)分别求出成绩落在[50,60)与[60,70)中的学生人数;
(3)从成绩在[50,70)的学生中任选2人,求此2人的成绩都在[60,70)中的概率.
(1)据频率分布直方图知组距为10.
由(2a+3a+6a+7a+2a)×
10=1,
解得a==0.005.
(2)成绩落在[50,60)中的学生人数为
2×
0.005×
20=2.
成绩落在[60,70)中的学生人数为3×
20=3.
(3)记成绩落在[50,60)中的2人为A1,A2,成绩落在[60,70)中的3人为B1,B2,B3,则从成绩在[50,70)的学生中任选2人的基本事件共有10个:
(A1,A2),(A1,B1),(A1,B2),(A1,B3),(A2,B1),(A2,B2),(A2,B3),(B1,B2),(B1,B3),(B2,B3),其中2人的成绩都在[60,70)中的基本事件有3个:
(B1,B2),(B1,B3),(B2,B3),
故所求概率为P=.
16.设O为坐标原点,点P的坐标(x-2,x-y).
(1)在一个盒子中,放有标号为1,2,3的三张卡片,现从此盒中有放回地先后抽到两张卡片的标号分别记为x,y,求事件“|OP|取到最大值”的概率;
(2)若利用计算机随机在[0,3]上先后取两个数分别记为x,y,求P点在第一象限的概率.
(1)记抽到的卡片标号为(x,y),所有的情况分别如下表:
(x,y)
(1,1)
(1,2)
(1,3)
(2,1)
(2,2)
(2,3)
(3,1)
(3,2)
(3,3)
P(x-2,
x-y)
(-1,
0)
-1)
-2)
(0,1)
(0,0)
(0,
(1,0)
|OP|
1
其中基本事件总数为9,随机事件A“|OP|取最大值”包含2个基本事件,故所求的概率为P(A)=.
(2)设事件B为“P点在第一象限”.
若则其所表示的区域面积为3×
3=9.
由题意可得事件B满足
即如图所示的阴影部分,其区域面积为1×
3-×
1×
1=.
精彩5分钟
1.从0到9这10个数字中任取3个数字组成一个没有重复数字的三位数,这个数能被3整除的概率为( C )
解题关键:
按“含0”与“不含0”分类,并且分类做到不重不漏.
因为从0到9这10个数字中任取3个数字组成一个没有重复数字的三位数有-=648个;
其中,能被3整除的,可以分为“含0”与“不含0”两类;
“含0”:
由这样的数字构成:
0,1,2;
0,1,5;
0,1,8;
0,2,4;
0,2,7
0,4,5;
0,4,8;
0,5,7;
0,7,8,它们组成的无重复数字的三位数有9个;
或由0,3,6;
0,3,9;
0,6,9构成,它们组成的无重复数字的三位数有3个,共有12个.
“不含0”:
(1)含3,6,9中的一个,另外两个数字分别为1,2;
1,5;
1,8;
2,4;
2,7;
4,5;
4,8;
5,7;
7,8,它们组成的无重复数字的三位数有3×
9=27个;
(2)由3,6,9三个数字构成无重复数字的三位数有个;
(3)无3,6,9,由1,4,7;
2,5,8组成无重复数字的三位数有2个,
故从0到9这10个数字中任取3个数字组成一个没有重复数字的三位数中能被3整除的共有12+30=228个,所以能被3整除的概率为P==.
2.已知Ω={(x,y)︱},直线y=mx+2m和曲线y=有两个不同的交点,它们围成的平面区域为M,向区域Ω上随机投一点A,点A落在区域M内的概率为P(M),若P(M)∈[,1],则实数m的取值范围为( D )
(A)[,1](B)[0,](C)[,1](D)[0,1]
直线y=mx+2m过定点(-2,0),当P(M)=时计算出m再结合图形求解.
如图,根据题意m≥0,根据几何概型的意义,弓形的面积为π-2,此时只要m=1即可.故0≤m≤1.
2019-2020年高三数学一轮复习第十一篇计数原理概率随机变量及其分布第5节古典概型与几何概型课时训练理
1,2,3,7,9,10,12,13,15,16
4,5,6,8,11,14,16
基本事件的总数为=10,其中能构成三角形三边长的数组为(2,3,4),
(2,4,5),(3,4,5),故其概率为.
3.若以连续抛掷两次骰子分别得到的点数m,n作为点P的坐标,则点P落在圆x2+y2=
16内的概率为( A )
基本事件的总数是36,点P落在圆内的基本事件是(1,1),(1,2),(1,3),(2,
1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2)共8个,故所求的概率是=.
4.如图,矩形长为6,宽为4,在矩形内随机地撒300颗黄豆,数得落在椭圆外矩形内的黄豆为96颗,以此试验数据为依据可以估计椭圆的面积为( C )
由随机模拟的思想方法,可得黄豆落在椭圆内的概率为=0.68.由几何概型的概率计算公式,可得=0.68,而S矩形=6×
4=24,则S椭圆=0.68×
记事件A=△PBC的面积超过,基本事件是三角形ABC的面积,如图,事件A的几何度量为图中阴影部分的面积(DE∥BC并且AD∶AB=3∶4),
(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6);
8.(xx济宁模拟)在△ABC中,∠ABC=60°
AB=2,BC=6,在BC上任取一点D,使△ABD为钝角三角形的概率为 .
如图,过点A作AH⊥BC,垂足为H,则在Rt△AHB中,BH=AB·
cos60°
=2cos60°
=1;
过点A作AM⊥AB,交BC于点M,则在Rt△ABM中,BM==4,故MC=BC-BM=2.
由图可知,要使△ABD为钝角三角形,则点D只能在线段BH或线段MC上选取,故所求事件的概率P==.
(2)①从6名运动员中随机抽取2人参加双打比赛的所有可能结果为{A1,A2},
{A1,A3},{A1,A4},{A1,A5},{A1,A6},{A2,A3},{A2,A4},{A2,A5},{A2,A6},{A3,A4},{A3,A5},
{A3,A6},{A4,A5},{A4,A6},{A5,A6},共15种.
②编号为A5和A6的两名运动员中至少有1人被抽到的所有可能结果为{A1,A5},
{A1,A6},{A2,A5},{A2,A6},{A3,A5},{A3,A6},{A4,A5},{A4,A6},{A5,A6},共9种.
11.(xx湖北省高三一轮检测)如图,大正方形的面积是34,四个全等直角三角形围成一个小正方形,直角三角形的较短边长为3,向大正方形内抛撒一枚幸运小花朵,则小花朵落在小正方形内的概率为( B )
如果选取的是图中正方形中四个点中的三个,这个三角形是等腰直角三角形,此时剩下的三个点是与上面正方形全等的正方形中四个点的三个,这三个点构成一个和上面三角形全等的等腰直角三角形.综上可知,这是一个必然事件,其概率值为1.
13.锅中煮有芝麻馅汤圆6个,花生馅汤圆5个,豆沙馅汤圆4个,这三种汤圆的外部特征完全相同.从中任意舀取4个汤圆,则每种汤圆都至少取到1个的概率为 .
“芝麻馅汤圆1个,花生馅汤圆1个,豆沙馅汤圆2个”,“芝麻馅汤圆1个,花生馅汤圆2个,豆沙馅汤圆1个”,“芝麻馅汤圆2个,花生馅汤圆1个,豆沙馅汤圆1个”,分步计算其包含的基本事件的个数即可.因为总的舀法,根据分析随机事件“每种汤圆都至少取到1个”所包含的基本事件的个数是×
14.(xx泰安二模)如图,矩形ABCD的四个顶点的坐标分别为A(0,-1),B(π,-1),
C(π,1),D(0,1),正弦曲线f(x)=sinx和余弦曲线g(x)=cosx在矩形ABCD内交于点F,向矩形ABCD区域内随机投掷一点,则该点落在阴影区域内的概率是 .
f(x)=sinx,g(x)=cosx在[0,π]内的交点横坐标为,g(x)=cosx与x轴交点的横坐标为,阴影部分的面积为(sinx-cosx)dx+2sinxdx=(-cosx-sinx)
-2cosx=+1,矩形区域的面积为2π,故所求的概率为.
分)的频率分布直方图
如图:
(A1,A2),(A1,B1),(A1,B2),
(A1,B3),(A2,B1),(A2,B2),(A2,B3),(B1,B2),(B1,B3),(B2,B3),其中2人的成绩都在[60,
70)中的基本事件有3个:
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