6.抛物线x2=y的焦点到准线的距离是( )
A.2B.1
C.D.
答案 D
解析 抛物线标准方程x2=2py(p>0)中p的几何意义为:
抛物线的焦点到准线的距离.又p=,故选D.
7.已知双曲线-=1的一个焦点与抛物线y2=4x的焦点重合,且双曲线的离心率等于,则该双曲线的方程为( )
A.x2-=1B.-y2=1
C.x2-y2=1D.-=1
答案 B
解析 抛物线y2=4x的焦点为(,0),所以双曲线-=1中c=,=,所以a=3,b==1,所求方程为-y2=1,故选B.
8.已知抛物线y2=2px(p>0)与双曲线-=1有相同的焦点F,点A是两曲线的交点,且AF⊥x轴,则双曲线的离心率为( )
A.B.+1
C.+1D.
答案 B
解析 由抛物线与双曲线的焦点相同,得=c.①
又A是两曲线的交点,且AF⊥x轴,
则两曲线的半通径相等,得p=.②
由①,②消去p,得b2=2ac.
又∵c2=a2+b2,∴c2-a2-2ac=0.
又∵双曲线的离心率e>1,
∴e2-2e-1=0,∴e=+1.
9.直线4kx-4y-k=0与抛物线y2=x交于A,B两点,若|AB|=4,则弦AB的中点到直线x+=0的距离等于( )
A.B.2
C.D.4
答案 C
解析 直线4kx-4y-k=0,即y=k(x-),可知直线4kx-4y-k=0过抛物线y2=x的焦点(,0).设A(x1,y1),B(x2,y2),则|AB|=x1+x2+=4.故x1+x2=,则弦AB的中点的横坐标是,弦AB的中点到直线x+=0的距离是+=.
10.如图所示,过抛物线x2=4py(p>0)焦点的直线依次交抛物线与圆x2+(y-p)2=p2于点A,B,C,D,则·的值是( )
A.8p2B.4p2
C.2p2D.p2
答案 D
解析 ||=|AF|-p=yA,||=|DF|-p=yB,||·||=yAyB=p2.因为,的方向相同,所以·=||·||=yAyB=p2.
11.已知点M(-3,0),N(3,0),B(1,0),动圆C与直线MN切于点B,分别过点M,N且与圆C相切的两条直线相交于点P,则点P的轨迹方程为( )
A.x2-=1(x>1)B.x2-=1(x>0)
C.x2-=1(x>0)D.x2-=1(x>1)
答案 A
解析 如图,设两切线分别与圆切于点S,T,则|PM|-|PN|=(|PS|+|SM|)-(|PT|+|TN|)=|SM|-|TN|=|BM|-|BN|=2=2a,所以所求曲线为双曲线的右支且不能与x轴相交,a=1,c=3,所以b2=8,故点P的轨迹方程为x2-=1(x>1).
12.已知F为抛物线y2=x的焦点,点A,B在该抛物线上且位于x轴的两侧,·=2(其中O为坐标原点),则△ABO与△AFO面积之和的最小值是( )
A.2B.3
C.D.
答案 B
解析 设出直线AB的方程,用分割法表示出△ABO的面积,将S△ABO+S△AFO表示为某一变量的函数,选择适当方法求其最值.
设直线AB的方程为x=ny+m(如图),
A(x1,y1),B(x2,y2),∵·=2,
∴x1x2+y1y2=2.
又y=x1,y=x2,∴y1y2=-2.
联立得y2-ny-m=0.
∴y1y2=-m=-2,∴m=2,即点M(2,0).
又S△ABO=S△AMO+S△BMO=|OM||y1|+|OM||y2|=y1-y2,
S△AFO=|OF|·|y1|=y1,
∴S△ABO+S△AFO=y1-y2+y1
=y1+≥2=3.
当且仅当y1=时,等号成立.
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在题中横线上)
13.过点A(-1,0)且与直线2x-y+1=0平行的直线方程为________.
答案 2x-y+2=0
14.已知正方形ABCD,则以A,B为焦点,且过C,D两点的椭圆的离心率为________.
答案 -1
解析 令|AB|=2,则|AC|=2.
∴在椭圆中,c=1,2a=2+2⇒a=1+.
可得e===-1.
15.已知以y=±x为渐近线的双曲线D:
-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,若P为双曲线D右支上任意一点,则的取值范围是________.
答案
解析 依题意,|PF1|-|PF2|=2a,|PF1|+|PF2|≥2c,
所以0<≤=.又双曲线的渐近线方程y=±x,则=.
因此e==2,故0<≤.
16.已知椭圆C:
+=1(a>b>0)和圆O:
x2+y2=b2,若C上存在点P,使得过点P引圆O的两条切线,切点分别为A,B,满足∠APB=60°,则椭圆C的离心率的取值范围是________.
答案 [,1)
解析 ∵OA⊥AP,由∠APB=60°,知∠OPA=30°.
∴|OP|=2|OA|=2b.设P(x,y),则
消去x,得y2=.由y2≥0,得a2-4b2≥0.
即a2-4(a2-c2)≥0,≥,∴e≥.又e<1,
故椭圆C的离心率的取值范围是[,1).
三、解答题(本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分10分)
过点P(3,0)作一条直线,使它夹在两直线l1:
2x-y-2=0和l2:
x+y+3=0间的线段AB恰好被P平分,求此直线的方程.
答案 8x-y-24=0
解析 若直线AB无斜率,则其方程为x=3,
它与两直线的交点分别为(3,4),(3,-6),这两点的中点为(3,-1)不是点P,不合题意.
所以直线AB必有斜率,设为k(k≠2且k≠-1),
则直线AB的方程为y=k(x-3).
由解得y1=.
由解得y2=.
据题意=0,即+=0,解得k=0或8.
当k=0时,它与两直线的交点分别为(1,0),(-3,0),这两点的中点并不是点P,不符合题意,舍去.
当k=8时,它与两直线的交点分别为(,),(,-),这两点的中点是点P,符合题意.
∴直线AB的方程为y=8(x-3),即8x-y-24=0.
18.(本小题满分12分)
在平面直角坐标系xOy中,以O为圆心的圆与直线x-y=4相切.
(1)求圆O的方程;
(2)圆O与x轴相交于A,B两点,圆O内的动点P使|PA|,|PO|,|PB|成等比数列,求·的取值范围.
答案
(1)x2+y2=4
(2)[-2,0)
解析
(1)依题设,圆O的半径r等于原点O到直线x-y-4=0的距离,即r==2,得圆O的方程为x2+y2=4.
(2)不妨设A(x1,0),B(x2,0),x1由x2=4,即得A(-2,0),B(2,0).
设P(x,y),由|PA|,|PO|,|PB|成等比数列,得
·=x2+y2,即x2-y2=2.
·=(-2-x,-y)·(2-x,-y)=x2-4+y2=2(y2-1).
由于点P在圆O内,故由此得y2<1.
所以·的取值范围为[-2,0).
19.(本小题满分12分)
已知椭圆C1:
+y2=1,椭圆C2以C1的长轴为短轴,且与C1有相同的离心率.
(1)求椭圆C2的方程;
(2)设O为坐标原点,点A,B分别在椭圆C1和C2上,=2,求直线AB的方程.
答案
(1)+=1
(2)y=±x
解析
(1)由已知可设椭圆C2的方程为+=1(a>2),
其离心率为,故=,解得a=4.
故椭圆C2的方程为+=1.
(2)方法一:
A,B两点的坐标分别记为(xA,yA),(xB,yB),
由=2及
(1)知,O,A,B三点共线且点A,B不在y轴上,因此可设直线AB的方程为y=kx.
将y=kx代入+y2=1中,得(1+4k2)x2=4.
所以x=.将y=kx代入+=1中,得(4+k2)x2=16,所以x=.又由=2,得x=4x,即=,解得k=±1.
故直线AB的方程为y=x或y=-x.
方法二:
A,B两点的坐标分别记为(xA,yA),(xB,yB),
由=2及
(1)知,O,A,B三点共线且点A,B不在y轴上,因此可设直线AB的方程为y=kx.
将y=kx代入+y2=1中,得(1+4k2)x2=4.
所以x=.
由=2,得x=,y=.
将x,y代入+=1中,得=1,
即4+k2=1+4k2,解得k=±1.
故直线AB的方程为y=x或y=-x.
20.(本小题满分12分)
已知中心在原点,焦点在坐标轴上的双曲线C经过A(-7,5),B(-1,-1)两点.
(1)求双曲线C的方程;
(2)设直线l:
y=x+m交双曲线C于M,N两点,且线段MN被圆E:
x2+y2-12x+n=0(n∈R)三等分,求实数m,n的值.
答案
(1)2y2-x2=1
(2)m=-2,n=26
解析
(1)设双曲线C的方程是λx2+μy2=1,依题意有解得所以所求双曲线的方程是2y2-x2=1.
(2)将l:
y=x+m代入2y2-x2=1,得
x2+4mx+(2m2-1)=0.①
Δ=(4m)2-4(2m2-1)=8m2+4>0.
设M(x1,y1),N(x2,y2),MN的中点P(x0,y0),则
x1+x2=-4m,x1x2=2m2-1.
所以x0==-2m,y0=x0+m=-m,所以P(-2m,-m).
又圆心E(6,0),依题意kPE=-1,故=-1,即m=-2.
将m=-2代入①式,得x2-8x+7=0,解得x1=1,x2=7.
所以|MN|=|x1-x2|=6.
故直线l截圆E所得弦长为|MN|=2.
又E(6,0)到直线l的距离d=2,
所以圆E的半径r==.
所以圆E的方程是(x-6)2+y2=10.所以m=-2,n=26.
21.(本小题满分12分)
(2014·陕西理)如图,曲线C由上半椭圆C1:
+=1(a>b>0,y≥0)和部分抛物线C2:
y=