二元一次不等式组的平面区域教案Word格式文档下载.docx
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教学重点:
会画出二元一次不等式所表示的平面区域.
教学难点:
二元一次不等式表示的平面区域的确定及怎样确定不等式Ax+By+c>0表示Ax+By+c=0的哪一侧区域.
课时安排
课时
教学过程
导入新
思路1.让学生阅读教材,自己得出二元一次不等式的概念,教师结合多媒体点出本节所要解决的问题,由此展开新课的进一步探究.
思路2.可采用与一元一次、一元二次不等式的类比引出,借助“类比”思想,通过与熟悉的一元一次不等式或一元二次不等式比较,引出二元一次不等式的概念.由此展开新课.
推进新
新知探究
提出问题
1让学生阅读教材,并回答什么是二元一次不等式组?
其解集是什么?
2二元一次不等式解集的几何意义是什么?
3怎样判断二元一次不等式Ax+By+c>
0表示的是直线Ax+By+c=0哪一侧的平面区域?
4直线Ax+By+c=0将平面内的点分成了哪几类?
活动:
教师引导学生得出二元一次不等式的概念后,借助多媒体进一步探究二元一次不等式解集的几何意义,以及如何求二元一次不等式在直角坐标平面上表示的区域,以直线l:
x+y-1=0为例.如图.
由直线方程的意义可知,直线l上的点的坐标都满足l的方程,并且直线l外的点的坐标都不满足l的方程.
事实上,在平面直角坐标系中,所有的点被直线x+y-1=0分为三类:
在直线x+y-1=0上;
在直线x+y-1=0右上方的平面区域内;
在直线x+y-1=0左下方的平面区域内.如、、、点的坐标代入x+y-1中,有x+y-1>0,、、、点在直线x+y-1=0的右上方.点的坐标代入x+y-1中,有x+y-1=0,点在直线x+y-1=0上.、、、点的坐标代入x+y-1中,有x+y-1<0,、、、点在直线x+y-1=0的左下方.如图.
因此,我们猜想,对直线x+y-1=0右上方的点,x+y-1>0成立;
对直线x+y-1=0左下方的点,x+y-1<0成立.这个结论不仅对这个具体的例子成立,而且对坐标平面内的任一条直线都成立.
一般地,直线l:
Ax+By+c=0把坐标平面内不在直线l上的点分为两部分.直线l的同一侧的点的坐标使式子Ax+By+c的值具有相同的符号,并且两侧的点的坐标使Ax+By+c的值的符号相反,一侧都大于0,另一侧都小于0.
由于对在直线Ax+By+c=0同一侧的所有点,实数Ax+By+c的符号相同,所以只需在此直线的某一侧取一个特殊点,由Ax0+By0+c的正、负就可判断Ax+By+c>0表示直线哪一侧的平面区域.当c≠0时,我们常把原点作为这个特殊点去进行判断.如把代入x+y-1中,x+y-1<0.这说明x+y-1<0表示直线x+y-1=0左下方原点所在的区域,就是说不等式所表示的区域与原点在直线x+y-1=0的同一侧.
如果c=0,直线过原点,原点坐标代入无法进行判断,则可另选一个易计算的点去进行判断.
讨论结果:
含有两个未知数,并且未知数的最高次数是1的不等式称为二元一次不等式.构成的不等式组称为二元一次不等式组.
二元一次不等式解集的几何意义为:
不等式表示的区域或不等式的图象.
取点验证.
将平面内的点分成了三类:
在直线上,在直线左右两侧.
应用示例
例1
通过本例要教给学生如何画出二元一次不等式所表示的区域.要严格要求学生按规定画图,并且画图时要细致、正确.注意开区域和闭区域边界的画法.教师要给出示范.直线画成虚线表示不包括边界,画成实线表示包括边界.
点评:
本例的关键是正确画出直线2x-y-3=0和3x+2y-6=0.阴影部分用短线表示,且短线要画得均匀美观.
变式训练
画出以下不等式表示的平面区域.
x-y+1<0;
x+3y-6>0;
x+-10≥0;
4x-3y≤12.
解:
例2画出不等式组x+3y+6≥0,x-y+20或x+2y+1>
0,x-y+40,x-y+40表示的区域,如下图.
不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集的交集,因而是各个不等式所表示的平面区域的公共部分.
.在平面直角坐标系中,由满足不等式组3x-y-8≤0,x≥y,x+y≥0的点组成的图形为F,则A、B、c三点中,在F内的所有点是________.
答案:
A、c
解析:
由题意,如图,A、c在区域内,B不在区域内.
.已知点A、B、c、D,其中不在不等式2x+y<4所表示的平面区域内的点是________.
c
不等式可变形为2x+y-4<0,对应的直线为2x+y-4=0.A点是坐标原点,代入2x+y-4得-4<0,即原点A在不等式所表示的区域内.把B、c、D点坐标依次代入2x+y-4,由所得值的正负来判断点是否与A点位于直线2x+y-4=0的同侧或异侧.
可判断出c符合条件.
此类型的题的解法,就是将点的坐标代入二元一次不等式,若不等式成立,则可得点在二元一次不等式所表示的区域内,否则就不在二元一次不等式所表示的区域内.例4
教材安排本例的目的是分散难点.首先让学生了解恰当地运用字母表示实际问题中的变量,就可以将复杂的实际问题中的变量关系转化为二元一次不等式组,然后利用下一节知识解决.教学时教师引导学生将题中的数量关系用不等式组表示出来.由于变量x、y题已经给出,学生仅是将文字语言转换为数学语言,难度不大,可由学生自己完成.
甲、乙、丙三种药品中毒素A、B的含量及成本如下表:
甲乙丙
毒素A600700400
毒素B800400500
成本4911
某药品研究所想用x千克甲种药品,y千克乙种药品,z千克丙种药品配成100千克新药,并使新药含有毒素A不超过56000单位,毒素B不超过63000单位.
用x、y表示新药的成本,并画出相应的平面区域.
由已知,得x+y+z=100,
∴=4x+9y+11z
=4x+9y+11
=1100-7x-2y.
又600x+700y+≤56000,
00x+400y+500≤63000,
∴2x+3y≤160,3x-y≤130,x+y≤100,x≥0,y≥0.
表示的区域如下图所示:
知能训练
.画出不等式2x+y-6<0表示的平面区域.
.某人上午7:
00乘汽车以匀速v1千米/时从A地出发到距300的B地,在B地不作停留,然后骑摩托车以匀速v2千米/时从B地出发到距50的c地,计划在当天16:
00至21:
00到达c地,设乘汽车、摩托车行驶的时间分别是x、y小时,则在xoy坐标系中,满足上述条件的x、y的范围阴影部分表示正确的是
.在平面直角坐标系中,不等式组x+y-2≥0,x-y+2≥0,x≤2表示的平面区域的面积是
A.42B.4c.22D.2
.若a≥0,b≥0,当且仅当x≥0,y≥0,x+y≤1时,恒有ax+by≤1,则以a,b为坐标点P所形成的平面区域的面积等于
A.12B.π4c.1D.π2
.本节探索与研究
本节后的探索与研究宜针对较好的学生进行,让其明白其结论的原理.在向量知识的基础上明白道理不是太困难的事.实际画图时,也并不需要画出直线的法向量,只需取点验证即可.因此本内容不宜对一般学生进行,以免冲淡了本节的主题.
.解:
先画直线2x+y-6=0.取原点代入2x+y-6,
因为2×
0+0-6=-6<0,
所以原点在2x+y-6<0表示的平面区域内,不等式2x+y-6<0表示的区域如左下图所示.
.B 解析:
由题意得xv1=300,yv2=50,9≤x+y≤14,而30≤v1≤100,4≤v2≤20,则不等式组变化为3≤x≤10,2.5≤y≤12.5,9≤x+y≤14.
画出不等式组表示的平面区域如图.
可知面积=12×
4×
2=4.
.c 解析:
由ax+by≤1恒成立知,当x=0时,by≤1恒成立,∴0≤b≤1;
同理0≤a≤1,∴以a,b为坐标点P所形成的平面区域是一个边长为1的正方形,其面积为1.
课堂小结
.由学生自己回顾本节课的探究过程,整合二元一次不等式组与平面区域的关系,注意如何表示边界的虚与实,明确不等式Ax+By+c>0表示直线Ax+By+c=0的某一侧的平面区域.
.教师画龙点睛.比较是最好的学习方法,通过两个不等式的比较,寻找出共同的规律,进而发现二元一次不等式表示平面区域的主要性质及结论.画图是我们的弱点,而准确画图是学好这部分内容的关键,要有意识地加强这方面的训练.
作业
习题3—5A组1、2;
习题3—5B组1.
设计感想
.本小节设计注重了学生的动手操作能力,因为技能的学习必须亲身体验获得.强化格式的规范也相当重要,在学生的动手操作过程中这些都可以得到充分体现.
.本小节设计注重了方法的启发引导:
从特殊到一般,化陌生为熟悉,先研究特殊的二元一次不等式所表示的平面区域.让学生经历“观察、归纳、猜想及证明”的全过程,这是本节的主要环节.
备课资料
一、备用习题
.已知点P1、P2、P3,则在3x+2y-1≥0表示的平面区域内的点是
A.P1、P2
B.P1、P3
c.P2、P3
D.P2
.不等式x-2y+6>0表示的平面区域在直线x-2y+6=0的
A.右上方B.右下方c.左上方D.左下方
.不等式组x-y+5x+y≥0,0≤x≤3表示的平面区域是一个
A.三角形B.矩形c.梯形D.直角梯形
.不等式|x-2|+|y-2|≤2表示的平面区域的面积为________.
.直线3x+y-3=0上位于x轴下方的一点P到直线x-y-1=0的距离为32,则P点坐标为________.
.用三条直线x+2y=2,2x+y=2,x-y=3围成一个三角形,则三角形内部区域可用不等式组________表示.
.画出不等式x2+xy-2y2+3y-1<0表示的平面区域.
.某用户计划购买单价分别为60元、70元的单片软件和盒装磁盘,使用资金不超过500元,根据需要,软件至少买3片,磁盘至少买2盒.问:
软件数与磁盘数应满足什么条件?
参考答案:
将点代入验证.
取特殊点验证.
不等式组x-y+5x+y≥0,0≤x≤3,可转化为x-y+5≥0,x+y≥0,0≤x≤3或x-y+5≤0,x+y≤0,0≤x≤3,画图即可.
.8 解析:
去掉绝对值符号后,可得该不等式表示的区域面积为12×
2×
4=8.
. 解析:
设P,P在x轴下方,则3-3t<0.
∴t>1,d=|t-3-3t-1|2=32,|t-1|=32.
由t>1,得t=52.于是P.
x+2y2x-y0,x+2y-10.其表示的平面区域如图阴影部分所示.
设软件数为x,磁盘数为y,根据题意可得60x+70y≤500,x≥3且x∈N,y≥2且y∈N.
二、二元一次方程组的图象解法
看一个二元一次方程y=2x+3,我们可以列表把这个方程的解表示出来:
在坐标平面内描点、画图.这样得出来的图形就是二元一次方程y=2x+3的图象.图象上每一个点的坐标,如就表示方程y=2x+3的一个解x=-3,y=-3.
对比一次函数的图象,不难知道,二元一次方程y=2x+3的图象就是一次函数y=2x+3的图象,它是一条直线.引申:
怎样利用图象解二元一次方程组呢?
看下面的例子:
x+y=3,①3x-y=5.②
先在同一直角坐标系内分别画出这两个二元一次方程的图象.
由方程①,有
过点与画出直线x+y=3.
由方程②,有
过点与画出直线3x-y=5.
两条直线有一个交点,交点的坐标就表示两个方程的公共解,交点坐标是,所以原方程组的解是x=2,y=1.
这与用代入法或加减法解得的结果相同.提问
在解二元一次方程组时,会遇到其中一个方程是x=3或y=2这种形式.
x=3或y=2的图象是怎样的呢?
方程x=3可以看成x+0•y=3,它的解列表为
X…3333…
y…-1012…
可以看到,无论y取什么数值,x的值都是3,所有表示方程x=3的解的点组成一条直线,这条直线过点,且平行于y轴.这条直线就是方程x=3的图象,即直线x=3.同样,方程y=2的图象是过点,且平行于x轴的一条直线,即直线y=2.
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