梯形 辅助线作法经典难题复习巩固教案Word文档下载推荐.docx
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(1)梯形的底:
梯形中平行的两边叫做梯形的底,
通常把较短的底叫上底,较长的底叫下底.
(2)梯形的腰:
梯形中不平行的两边叫梯形的腰.
(3)梯形的高:
梯形两底的距离是梯形的高.
3.特殊梯形的定义:
(1)等腰梯形:
两腰相等的梯形
(2)直角梯形:
一腰垂直于底的梯形.
4等腰梯形的性质?
从角看:
等腰梯形同一底上的两个内角相等;
?
从边看:
等腰梯形两腰相等;
从对角线看:
等腰梯形两条对角线相等。
5.等腰梯形的判定:
(1)两条腰相等的梯形是等腰梯形.
(2)在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形.
(3)对角线相等的梯形是等腰梯形.
6、梯形的辅助线作法
作法
图形
平移腰,转化为三角形、平行四边形
平移对角线,转化为三角形、平行四边形
延长两腰,转化为三角形
作高,转化为三角形和矩形
中位线与腰的中点
3、考点讲解:
专题一:
平移梯形一腰或两腰,把梯形的腰、两底角等转移到一个三角形中,同时还得到平行四边形
例1如图,梯形ABCD中,AB∥DC,∠ADC+∠BCD=90°
,且DC=2AB,分别以DA、AB、BC为边向梯形外作正方形,其面积分别为S1、S2、S3,则S1、S2、S3之间的关系为__________。
例2、(希望杯邀请赛)如如图,在四边形ABCD中,AB//CD,∠D=2∠B,若AD=a,AB=b,则CD的长为____________。
例3如图,在梯形ABCD中,AD//BC,AD<
BC,E、F分别为AD,BC的中点,
且EF¡
Í
BC,求证:
¡
Ï
B=¡
C。
例4已知一个梯形的4条边长分别是1、2、3、4,则此梯形的面积等于_______。
【变式练习】1、如图,梯形ABCD中,AB∥CD,∠D=70°
,∠C=40°
AB=4cm,CD=11cm,求BC。
2、在梯形ABCD中AD∥BCAD<
BCE、F分别为AD、BC的中点且EF⊥BC梯形ABCD是等腰梯形吗?
为什么?
3、在梯形ABCD中,AD//BC,∠A+∠D90°
,M,N分别是BC和AD的中点,.已知AD=7,BC=2,试MN长。
专题二:
平移一条对角线与另一底所在直线相交,把梯形两条对角线和上下底之和集中在一个三角形中,然后在这个三角形中应用有关定理
例1(2011乐山)如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,对角线AC、BD相交于点O,AD=2,BC=BD=3,AC=4。
求证:
AC⊥BD
例题2、如图,等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AB=CD,对角线AC⊥BD,AD=4cm,BC=10cm,求梯形的面积。
【变式练习】在梯形ABCD中,AD∥BC,AC=20cm,BD=15cm,梯形高为12cm,求梯形的面积。
专题三:
取一腰的中点连接顶点和这个中点并延长与对边的延长线相交,构造两个全等的三角形
例题1、(2011•贵港)如图所示,在梯形ABCD中,AB∥CD,E是BC的中点,EF⊥AD于点F,AD=4,EF=5,求梯形ABCD的面积。
例题2、例2已知:
如图,在梯形
中,
是
的中点,且
.求证:
.
【变式练习】1已知:
是CD的中点.求证:
.
2.如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,AB=AD+BC,E是CD的中点,求证:
AE、BE分别平分∠DAB和∠CBA。
专题四:
延长两腰,构造三角形
例1(2011•呼和浩特)如图所示,在梯形ABCD中,AD∥BC,CE是∠BCD的平分线,且CE⊥AB,E为垂足,BE=2AE,若四边形AECD的面积为1,则梯形ABCD的面积为。
例2如图,在等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AB=DC,点P为BC边上一点,PE⊥AB于点E,PF⊥DC于点F,BG⊥CD于点G,试说明PE+PF=BG.
(分别延长BA、CD用面积法可以证明,或者截长补短法证明)
【变式练习】如图所示,四边形ABCD中,AD不平行于BC,AC=BD,AD=BC.判断四边形ABCD的形状,并证明你的结论.
解:
四边形ABCD是等腰梯形.
证明:
延长AD、BC相交于点E,如图所示.
∵AC=BD,AD=BC,AB=BA,
∴△DAB≌△CBA.
∴∠DAB=∠CBA.
∴EA=EB.
又AD=BC,∴DE=CE,∠EDC=∠ECD.
而∠E+∠EAB+∠EBA=∠E+∠EDC+∠ECD=180°
,
∴∠EDC=∠EAB,∴DC∥AB.
又AD不平行于BC,
∴四边形ABCD是等腰梯形.
专题五:
从梯形上底的两端向下底引垂线做高,把梯形构造成直角三角形和矩形
例1(2011长沙)如图,梯形ABCD中,AD∥BC,∠B=45°
,AD=2,BC=4,求梯形ABCD的面积。
例3(2011•南充)如图,等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AD=AB=CD=2,∠C=60°
,M是BC的中点.
(1)求证:
△MDC是等边三角形;
(2)将△MDC绕点M旋转,当MD(即MD′)与AB交于一点E,MC(即MC′)同时与AD交于一点F时,点E,F和点A构成△AEF.试探究△AEF的周长是否存在最小值?
如果不存在,请说明理由;
如果存在,请计算出△AEF周长的最小值.
【变式练习】1、如图,在直角梯形ABCD中,AB//DC,∠ABC=90°
,AB=2DC,对角线AC⊥BD,垂足为F,过点F作EF//AB,交AD于点E,求证:
四边形ABFE是等腰梯形。
证:
过点D作DG⊥AB于点G,
则易知四边形DGBC是矩形,所以DC=BG。
因为AB=2DC,所以AG=GB。
从而DA=DB,于是∠DAB=∠DBA。
又EF//AB,所以四边形ABFE是等腰梯形。
2、在梯形ABCD中,AD为上底,AB>
CD,求证:
BD>
AC。
作AE⊥BC于E,作DF⊥BC于F,则易知AE=DF。
在Rt△ABE和Rt△DCF中,
因为AB>
CD,AE=DF。
所以由勾股定理得BE>
CF。
即BF>
CE。
在Rt△BDF和Rt△CAE中
由勾股定理得BD>
AC
4、巩固练习:
1、(2010•丹东)把长为8cm的矩形按虚线对折,按图中的虚线剪出一个直角梯形,打开得到一个等腰梯形,剪掉部分的面积为6cm2,则打开后梯形的周长是
2、(2010•重庆)已知:
如图,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°
.点E是DC的中点,过点E作DC的垂线交AB于点P,交CB的延长线于点M.点F在线段ME上,且满足CF=AD,MF=MA.
(1)若∠MFC=120°
,求证:
AM=2MB;
(2)求证:
∠MPB=90°
-
∠FCM.
3.(2010•盐城)如图1所示,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,AB⊥BC,∠DCB=75°
,以CD为一边的等边△DCE的另一顶点E在腰AB上.
(1)求∠AED的度数;
AB=BC;
(3)如图2所示,若F为线段CD上一点,∠FBC=30°
,求
的值.
4、(2009•重庆)已知:
,DE⊥AC于点F,交BC于点G,交AB的延长线于点E,且AE=AC.
BG=FG;
(2)若AD=DC=2,求AB的长.
5、如图,梯形ABCD中,AD∥BC,DE=EC,EF∥AB交BC于点F,EF=EC,连接DF.
(1)试说明梯形ABCD是等腰梯形;
(2)若AD=1,BC=3,DC=
,试判断△DCF的形状;
(3)在条件
(2)下,射线BC上是否存在一点P,使△PCD是等腰三角形,若存在,请直接写出PB的长;
若不存在,请说明理由.
6.(2011•新疆)如图,在等腰梯形ABCD中,AD=4,BC=9,∠B=45°
.动点P从点B出发沿BC向点C运动,动点Q同时以相同速度从点C出发沿CD向点D运动,其中一个动点到达端点时,另一个动点也随之停止运动.
(1)求AB的长;
(2)设BP=x,问当x为何值时△PCQ的面积最大,并求出最大值;
(3)探究:
在AB边上是否存在点M,使得四边形PCQM为菱形?
请说明理由.
五、反思总结:
6、拓展训练
1、(2010•武汉)如图,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°
,BD⊥DC,BD=DC,CE平分∠BCD,交AB于点E,交BD于点H,EN∥DC交BD于点N.求证:
CH=
EH;
2.(2011•龙岩)如图,在直角梯形ABCD中,∠D=∠BCD=90°
,∠B=60°
,AB=6,AD=9,点E是CD上的一个动点(E不与D重合),过点E作EF∥AC,交AD于点F(当E运动到C时,EF与AC重合).把△DEF沿EF对折,点D的对应点是点G,设DE=x,△GEF与梯形ABCD重叠部分的面积为y.
(1)求CD的长及∠1的度数;
(2)若点G恰好在BC上,求此时x的值;
当堂过手训练(快练5分钟,稳准建奇功)
1.(2011•台湾)如图为菱形ABCD与正方形EFGH的重迭情形,其中E在CD上,AD与GH相交于I点,且AD∥HE.若∠A=60°
,且AB=7,DE=4,HE=5,则梯形HEDI的面积为何?
( )
2、(2010•内江)如图,梯形ABCD中,AD∥BC,点E在BC上,AE=BE,点F是CD的中点,且AF⊥AB,若AD=2.7,AF=4,AB=6,则CE的长为
3、(2009•遂宁)如图,在梯形ABCD中,AB∥DC,∠D=90°
,AD=DC=4,AB=1,F为AD的中点,则点F到BC的距离是
4、(2010•咸宁)如图,菱形ABCD由6个腰长为2,且全等的等腰梯形镶嵌而成,则线段AC的长为
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