人教版学年高中数学第一章立体几何初步122第1课时平行直线学案新人教B版必修2Word格式文档下载.docx
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解 在△PAB中,因为E,F分别是PA,PB的中点,
所以EF∥AB,EF=
AB,同理GH∥DC,GH=
DC.
因为四边形ABCD是平行四边形,
所以AB∥CD,AB=CD.
所以EF∥GH,EF=GH.
所以四边形EFGH是平行四边形.
反思与感悟 证明两条直线平行的两种方法
(1)利用平行线的定义:
证明两条直线在同一平面内且无公共点.
(2)利用基本性质4:
寻找第三条直线,然后证明这两条直线都与所找的第三条直线平行,根据基本性质4,显然这两条直线平行.若题设条件中含有中点,则常利用三角形的中位线性质证明直线平行.
跟踪训练1 如图所示,E,F分别是长方体A1B1C1D1-ABCD的棱A1A,C1C的中点.
求证:
四边形B1EDF是平行四边形.
证明 设Q是DD1的中点,连接EQ,QC1.
∵E是AA1的中点,
∴EQ綊A1D1.
又在矩形A1B1C1D1中,
A1D1綊B1C1,
∴EQ綊B1C1(基本性质4).
∴四边形EQC1B1为平行四边形,
∴B1E綊C1Q.
又∵Q,F是DD1,C1C的中点,
∴QD綊C1F.
∴四边形QDFC1为平行四边形.
∴C1Q綊DF,∴B1E綊DF.
∴四边形B1EDF为平行四边形.
类型二 等角定理的应用
例2 如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,M1分别是棱AD和A1D1的中点.
(1)四边形BB1M1M为平行四边形;
(2)∠BMC=∠B1M1C1.
证明
(1)在正方形ADD1A1中,M,M1分别为AD,A1D1的中点,
∴A1M1綊AM,
∴四边形AMM1A1是平行四边形,
∴A1A綊M1M.
又∵A1A綊B1B,∴M1M綊B1B,
∴四边形BB1M1M为平行四边形.
(2)由
(1)知四边形BB1M1M为平行四边形,
∴B1M1∥BM.
同理可得四边形CC1M1M为平行四边形,
∴C1M1∥CM.
由平面几何知识可知,
∠BMC和∠B1M1C1都是锐角.
∴∠BMC=∠B1M1C1.
反思与感悟 有关证明角相等问题,一般采用下面三种途径
(1)利用等角定理及其推论.
(2)利用三角形相似.
(3)利用三角形全等.本例是通过第一种途径来实现的.
跟踪训练2 已知棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是棱CD,AD的中点.求证:
(1)四边形MNA1C1是梯形;
(2)∠DNM=∠D1A1C1.
证明
(1)如图,连接AC,
在△ACD中,
∵M,N分别是CD,AD的中点,
∴MN是△ACD的中位线,
∴MN∥AC,MN=
AC.
由正方体的性质,得AC∥A1C1,AC=A1C1.
∴MN∥A1C1,且MN=
A1C1,即MN≠A1C1,
∴四边形MNA1C1是梯形.
(2)由
(1)可知MN∥A1C1,又∵ND∥A1D1,
∴∠DNM与∠D1A1C1相等或互补.
而∠DNM与∠D1A1C1均是直角三角形的一个锐角,
∴∠DNM=∠D1A1C1.
类型三 空间四边形的认识
例3 如图,设E,F,G,H分别是四面体A-BCD的棱AB,BC,CD,DA上的点,且
=
=λ,
=μ,求证:
(1)当λ=μ时,四边形EFGH是平行四边形;
(2)当λ≠μ时,四边形EFGH是梯形.
证明
(1)∵
=λ,∴EH∥BD,∴
=λ.
同理,GF∥BD,
=μ.
又∵λ=μ,∴EH=GF,∴EH綊GF.
∴四边形EFGH是平行四边形.
(2)由
(1)知EH∥GF,又∵λ≠μ,∴EH≠GF.
∴四边形EFGH是梯形.
反思与感悟 因空间图形往往包含平面图形,在解题时容易混淆,所以把相似的概念辨析一下,区分异同,有利于解题时不出错,如本例中明确给出了“空间四边形ABCD”,不包含平面四边形,说明“A,B,C,D四点必不共面”,不能因直观图中AD与BC看似平行的关系认为它们是平行的.
跟踪训练3 已知空间四边形ABCD中,AB≠AC,BD=BC,AE是△ABC的边BC上的高,DF是△BCD的边BC上的中线,判定AE与DF的位置关系.
解 由已知,得E,F不重合.
设△BCD所在平面为α,
则DF⊂α,A∉α,E∈α,E∉DF,
所以AE与DF异面.
1.直线a∥b,直线b与c相交,则直线a,c一定不存在的位置关系是( )
A.相交B.平行C.异面D.无法判断
答案 B
解析 如图,a与c相交或异面.
2.下列四个结论中假命题的个数是( )
①垂直于同一直线的两条直线互相平行;
②平行于同一直线的两直线平行;
③若直线a,b,c满足a∥b,b⊥c,则a⊥c;
④若直线l1,l2是异面直线,则与l1,l2都相交的两条直线是异面直线.
A.1B.2C.3D.4
解析 ①④均为假命题.①可举反例,如a、b、c三线两两垂直.④如图甲时,c、d与异面直线l1、l2交于四个点,此时c、d异面;
当点A在直线l1上运动(其余三点不动)时,会出现点A与B重合的情形,如图乙所示,此时c、d共面相交.
3.下列结论正确的是( )
A.若两个角相等,则这两个角的两边分别平行
B.空间四边形的四个顶点可以在一个平面内
C.空间四边形的两条对角线可以相交
D.空间四边形的两条对角线不相交
答案 D
解析 空间四边形的四个顶点不在同一平面上,所以它的对角线不相交,否则四个顶点共面,故选D.
4.下面三个命题,其中正确的个数是( )
①三条相互平行的直线必共面;
②两组对边分别相等的四边形是平行四边形;
③若四边形有一组对角都是直角,则这个四边形是圆的内接四边形.
A.1B.2C.3D.0
解析 空间中三条平行线不一定共面,故①错;
当把正方形沿对角线折成空间四边形,这时满足两组对边分别相等,也满足有一组对角都是直角,故②、③都错,故选D.
5.两个三角形不在同一平面内,它们的边两两对应平行,那么这两个三角形( )
A.全等B.不相似
C.仅有一个角相等D.相似
解析 由等角定理知,这两个三角形的三个角分别对应相等,故选D.
1.判定两直线的位置关系的依据就在于两直线平行、相交、异面的定义.很多情况下,定义就是一种常用的判定方法.另外,我们解决空间有关线线问题时,不要忘了我们生活中的模型,比如说教室就是一个长方体模型,里面的线线关系非常丰富,我们要好好地利用它,它是我们培养空间想象能力的好工具.
3.注意:
等角定理的逆命题不成立.
一、选择题
1.已知AB∥PQ,BC∥QR,若∠ABC=30°
,则∠PQR等于( )
A.30°
B.30°
或150°
C.150°
D.以上结论都不对
解析 由等角定理可知∠PQR与∠ABC相等或互补,故答案为B.
2.分别和两条异面直线平行的两条直线的位置关系是( )
A.一定平行B.一定相交
C.一定异面D.相交或异面
3.若∠AOB=∠A1O1B1,且OA∥O1A1,OA与O1A1的方向相同,则下列结论中正确的是( )
A.OB∥O1B1且方向相同
B.OB∥O1B1
C.OB与O1B1不平行
D.OB与O1B1不一定平行
解析 等角定理的实质是角的平移,其逆命题不一定成立,OB与O1B1有可能平行,也可能不在同一平面内,位置关系不确定.
4.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是平面AA1D1D、平面CC1D1D的中心,G,H分别是线段AB,BC的中点,则直线EF与直线GH的位置关系是( )
A.相交B.异面
C.平行D.垂直
答案 C
解析 如图,连接AD1,CD1,AC,则E,F分别为AD1,CD1的中点.由三角形的中位线定理知,EF∥AC,GH∥AC,所以EF∥GH,故选C.
5.正方体ABCD-A1B1C1D1中,P,Q分别为AA1,CC1的中点,则四边形D1PBQ是( )
A.正方形B.菱形
C.矩形D.空间四边形
解析 设正方体棱长为2,直接计算可知四边形D1PBQ各边均为
,又D1PBQ是平行四边形,所以四边形D1PBQ是菱形.
6.已知在正方体ABCD-A1B1C1D1中(如图),l⊂平面A1B1C1D1,且l与B1C1不平行,则下列一定不可能的是( )
A.l与AD平行
B.l与AD不平行
C.l与AC平行
D.l与BD垂直
答案 A
解析 假设l∥AD,则由AD∥BC∥B1C1知,l∥B1C1,这与l与B1C1不平行矛盾,所以l与AD不平行.
7.长方体ABCD-A1B1C1D1的12条棱中,所在直线与棱AA1所在直线垂直的共有( )
A.6条B.8条C.10条D.12条
解析 所在直线与棱AA1所在直线垂直的有AB,BC,CD,DA,A1B1,B1C1,C1D1,D1A1,共8条.
8.异面直线a,b,有a⊂α,b⊂β且α∩β=c,则直线c与a,b的关系是( )
A.c与a,b都相交
B.c与a,b都不相交
C.c至多与a,b中的一条相交
D.c至少与a,b中的一条相交
解析 若c与a,b都不相交,∵c与a在α内,∴a∥c.
又c与b都在β内,∴b∥c.
由基本性质4,可知a∥b,与已知条件矛盾.
如图,只有以下三种情况.
二、填空题
9.空间两个角α、β,且α与β的两边对应平行且α=60°
,则β=________.
答案 60°
或120°
10.在正方体ABCD—A1B1C1D1中,判断下列直线的位置关系:
(1)直线A1B与直线D1C的位置关系是________;
(2)直线A1B与直线B1C的位置关系是________;
(3)直线D1D与直线D1C的位置关系是________;
(4)直线AB与直线B1C的位置关系是________.
答案
(1)平行
(2)异面 (3)相交 (4)异面
11.a,b,c是空间中三条直线,下面给出几个说法:
①若a∥b,b∥c,则a∥c;
②若a与b相交,b与c相交,则a与c也相交;
③若a,b分别在两个相交平面内,则这两条直线不可能平行.
则上述说法中正确的为________.(仅填序号)
答案 ①
解析 由基本性质4知①正确.
若a与b相交,b与c相交,则a与c可能平行,也可能相交或异面,②错误;
若平面α∩β=l,a⊂α,b⊂β,a∥l,b∥l,则a∥b,③错误.
三、解答题
12.如图所示,在长方体ABCD-A1B1C1D1中的面A1C1内有一点P,经过点P作棱BC的平行线,应该怎样画?
并说明理由.
解 如图所示,在面A1C1内过点P作直线EF∥B1C1,交A1B1于点E,交C1D1于点F,则直线EF即为所求.
理由:
因为EF∥B1C1,BC∥B1C1,所以EF∥BC.
13.如图所示,两个三角形△ABC和△A′B′C′的对应顶点的连线AA′,BB′,CC′交于同一点O,且
(1)证明:
AB∥A′B′,AC∥A′C′,BC∥B′C′;
(2)求
的值.
(1)证明 ∵AA′与BB′相交于O点,
且
,∴AB∥A′B′.
同理AC∥A′C′,BC∥B′C′.
(2)解 ∵AB∥A′B′,AC∥A′C′且AB和A′B′,AC和A′C′的方向相反,
∴∠BAC=∠B′A′C′.
同理∠ABC=∠A′B′C′,
因此△ABC∽△A′B′C′,
又
∴
2=
四、探究与拓展
14.如图所示,已知三棱锥A-BCD中,M,N分别为AB,CD的中点,则下列结论正确的是( )
A.MN≥
(AC+BD)
B.MN≤
C.MN=
D.MN<
解析 如图所示,取BC的中点E,连接ME,NE,则ME=
AC,
NE=
BD,
所以ME+NE=
(AC+BD).
在△MNE中,有ME+NE>
MN,
所以MN<
15.如图所示,四边形ABEF和ABCD都是直角梯形,∠BAD=∠FAB=90°
,BC綊
AD,BE綊
FA,G,H分别为FA,FD的中点.
四边形BCHG是平行四边形;
(2)判断C,D,F,E四点是否共面?
为什么?
(1)证明 由已知FG=GA,FH=HD,
可得GH綊
AD.又BC綊
AD,∴GH綊BC,
∴四边形BCHG为平行四边形.
(2)解 由BE綊
AF,G为FA的中点知,BE綊FG,
∴四边形BEFG为平行四边形,∴EF∥BG.
由
(1)知BG綊CH,∴EF∥CH,∴EF与CH共面.
又D∈FH,∴C,D,F,E四点共面.
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