数与式贺同明 临朐四中Word格式.docx

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第5章实数；

八年级下册：

第7章二次根式

与华师大教材相比，青岛版教材将整式的乘法、分式、二次根式三部分知识依次前移，更有利于学生知识体系的系统化，更能体现知识内容的弹性与整体性。

课标要求：

课程标准依据数学课程的基本理念

（1）人人学有价值的数学

（2）人人都能获得必需的数学

（3）不同的人在数学上得到不同的发展

对于每章每节的内容都从知识与技能、数学思考、解决问题、情感与态度四个方面分别提出了具体的要求，对学生不仅提出了“了解、理解、掌握、灵活运用”等基本知识技能目标，而且也提出了“经历、感受、体验、探索、发展”等数学活动水平的过程性目标。

例如七年级上册第3章《有理数的运算》目标要求是：

（1）在具体情境中，经历探索有理数运算法则和运算律的过程，

理解有理数运算的意义，并体验数学与现实的密切联系。

（2）掌握有理数的加、减、乘、除、乘方及简单的混合运算，理解有理数的运算律，并能用运算律简化运算，掌握科学计数法。

（3）通过丰富的数学活动，体验分类、转化、归纳等数学思想方法，并能初步运用这些思想方法解决简单的实际问题。

（4）通过自主探究、合作交流的学习活动，在克服困难中，培养学生敢于提出问题、勇于解决问题的意志品质。

再如八年级下册：

2.1《平方差公式》的目标要求是：

（1）会推导平方差公式，了解公式的几何解释，运用公式进行计算。

（2）经历探索平方差公式的过程，发展符号感，体会“特殊---一般---特殊”的认识规律。

教材分析

一、纵向分析

从小学到初中，数的概念在算术数（自然数、整数、分数）的基础上扩充到有理数、无理数，运算关系也由原来的四则运算引入了乘方、开方运算。

对于负数，学生在六年级上册就有了初步的认识，本学段的又一次引入，将有利于学生建立数感、完善数学认知结构，同时，也体现了课程标准中对于教学难点“螺旋式上升、多次出现”这一具体要求。

无理数的引入，是数系的又一次扩张，同时也满足了开方运算的需要。

因此首先要引导学生逐步理清正数、负数、有理数、无理数、实数的意义，正确熟练地对实数进行分类，其次在熟练掌握实数运算法则和符号法则的基础上，实数的运算即可轻而易举。

七年级第五章引进了《代数式的初步认识》，接着第六章《整式的加减》和第十四章《整式的乘法》研究有理式的运算，承接整式的乘法运算，在八年级上册学习的是《乘法公式与因式分解》，类比分数的学习，又引入了第三章《分式》的学习，八年级下册的《二次根式》，是在学生学习过有理式（包括整式和分式）的基础上，进一步学习最基本最常用的无理式，这几块内容按由浅入深，由简单到复杂的原则穿插于初一、初二两个年级。

这种由数到式，就是从特殊的数到一般的抽象的含字母的代数式的过渡，是数学上的一个大的转折点，这是培养学生数学学习能力和思维能力的新起点。

这一转折，代数式的概念是关键。

具体的教学中引导学生由“数”到“式”的过渡，一方面要注意引导学生掌握好用字母表示数和数量关系的方法，另一方面又要注意挖掘中、小学数学教学内容本身的内在联系，如整数与整式、分数与分式等，引导学生通过观察、类比、归纳，找出它们之间的内在联系以及区别，在知识间架起衔接的桥梁，从而搞好知识间的过渡。

高中数学将在初中数学的基础上，进行多角度的提高、扩充、拓展。

在数与式的方面，将引入虚数，从而使数的家族从实数扩充到复数。

式也在代数式基础上增加了指数式、对数式、三角式等超越式。

运算在六种运算（加、减、乘、除、乘方、开方）基础上，增加指数运算、对数运算、三角运算、反三角运算等。

二、横向分析

《数学课程标准》指出：

教材要关注数学知识之间的联系，这包括同一领域内容之间的相互连接，也包括选择若干具体内容，体现不同领域内容之间的实质性关联，展示数学的整体性。

《有理数》一章，在点、直线、线段的度量和比较等知识点的基础上，以数轴为平台，通过数形结合，以形助数，将有理数用数轴上的点来表示，进而引入相反数和绝对值的概念，并借助数轴，深化绝对值、有理数大小比较的理解。

从而在抽象的数和直观的图形之间架起了桥梁，为进一步学习函数、解析几何等问题打下基础。

《实数》一章是将传统教材中的勾股定理和数的开方两部分整合而成的。

勾股定理和实数分别是“空间与图形”和“数与代数”两个领域的核心内容。

二者在内容上有着紧密的关联：

无理数使得勾股定理对于边长是任意正数的直角三角形都能成立，勾股定理使得无理数有了明确的几何解释。

从数学发展史的角度看，

等无理数都是伴随着勾股定理的发现而发现的，因此，二者的有机整合，揭示了二者之间的实质性关联，展示了数学的整体性和文化价值。

为了加深学生对无理数的认识，教材引导学生利用勾股定理探究长度是

等无理数的线段的几何作图方法，并在数轴上表示出来。

进而通过实验与探究发现直角三角形的判定方法---勾股定理的逆定理。

正是由于教材将这两部分内容环环相扣、有机结合，为本章后半部分的平方根、立方根、方根的估算以及实数概念的建立奠定了坚实的基础。

本章还将精确计算、近似计算、笔算、使用计算器计算进行了有机结合，以发展学生的运算技能，提高数学修养。

有关式的教学内容，除了让学生了解用字母表示数的基本思想，掌握基本性质和基本运算外，更多的是为学习方程、函数以及解决各种实际问题作基本知识和能力准备。

在传统的数学教学中，代数式与函数的知识都是分别独立出现的，并且函数概念在三年级才开始学习，国际数学课程改革的研究表明，对变化规律的探索、描述应该从低年级非正式开始，早期对函数的丰富经历对学生的发展是十分重要的，鉴于代数式与函数知识存在的逻辑关联，在初步认识代数式之后，引入了函数概念，由字母表示数到用字母表示常量和变量，由认识代数式到初步认识函数关系式，由代数式的值引出函数值的概念，实现了代数式与函数知识的有机整合，这不仅使学生较早地从函数的观点认识数学现象，并体现了代数与分析两个知识领域的内在联系，也为一次方程与一次函数的整合提供了必要的前提。

（课件）作为有理数、用字母表示数、代数式等知识的延伸，整式的加减包括整式的概念和加减运算两部分，整式的加减实际上是对整式实施两种重要的恒等变形：

一种是合并同类项;

另一种是去括号。

整式的恒等变形是数学中符号运算的基础，是解方程的工具。

这些内容是对有理数的概括与抽象，又是继续学习整式的乘除、分式和根式的运算、方程、不等式、函数等知识的基础，也是学习物理、化学等学科及其他科学技术不可缺少的工具。

同时它们也是培养和发展学生符号感的重要素材。

在学习整式的乘法时，学生已经具备了有理数的四则运算、字母表示数、多项式的加减法、合并同类项、去括号等知识，掌握了相应的方法，通过类比，学生自然会产生“整式是否也能进行乘除运算”等问题，为此教材首先安排了同底数幂的乘法和除法、积的乘方、幂的乘方，使学生了解幂的运算性质，其中同底数幂的乘法和除法为学习零指数负整数指数、单项式的乘法作了必要的知识铺垫，积的乘方与幂的乘方又为进一步学习单项式乘多项式、多项式乘多项式、乘法公式、因式分解等做了准备，此后，通过扩大同底数幂除法法则的使用范围，自然地引入零指数和负整数指数的概念，以及绝对值小于1的非零数的科学记数法，再由具体问题依次引入单项式乘单项式、单项式乘多项式、多项式乘多项式，利用数形结合、转化、乘法运算律、由特殊-一般-特殊等数学思想方法和认知规律，自主探索整式乘法的运算法则。

整式乘法是继续学习因式分解、分式、根式、一元二次方程的基础。

乘法公式与因式分解是“数与代数”领域的基本知识和基本技能，教材内容突出了由特殊到一般的认识过程和由一般到特殊的应用过程。

这一部分知识在分式的化简、根式运算、三角函数的恒等变形中经常用到。

在解一元二次方程、二元二次方程、一元二次不等式、高次方程和高次不等式时，因式分解是用于降次的常用方法。

由于能将和差形式转化为乘积形式，因式分解在对数运算中也经常用到。

分式是在已经学完整式的加、减、乘法运算和多项式的因式分解的基础上学习的，分式的概念与四则运算是分数概念与四则运算的发展，是对代数式的进一步研究，也是对二次根式、相似图形、方程、函数等内容的学习具有重要的铺垫作用。

与传统教材相比，本章内容更加重视数学知识之间的联系与综合。

例如，整式除法与分式约分相整合，既降低了教学难度，又体现了整式除法与分式之间深刻的内在联系。

比和比例与分式的整合，不仅反映了比和比例与分式之间的内在联系，同时也有利于增强学生的应用意识和解决问题的能力。

《二次根式》一章是在平方根、实数、整式与分式等知识基础上安排的，二次根式的混合运算是利用整式的乘法法则和乘法公式进行运算的过程。

整式、分式的运算都是二次根式运算的基础，它们的运算性质对于二次根式也都成立。

学好这部分知识不仅为以后将要学习的解直角三角形、一元二次方程、二次函数等内容打下必要的基础，也为继续学习高中数学知识提供了知识储备。

教学建议

1.重视知识的发生过程，发挥数学的育人功能。

本专题知识引入了较多新概念，概念多，易混淆，如乘方、开方，平方、立方、平方根、立方根、算术平方根、有理数、无理数、实数、单项式、多项式、指数、有效数字、科学计数法等等。

而这些概念的形成都源于生活实际和教学内容的需要，要让学生经历由具体到抽象、由特殊到一般，以及分析、综合、概括等概念的形成过程。

如学习无理数时，先让学生动手制作边长是1的等腰直角三角形，用刻度尺量出斜边长度的近似值，并利用勾股定理算出斜边的长是

，然后通过推理说明

不是有理数而是一种确实存在的新数，再运用估算、计算器让学生感受

是一个无限不循环小数，再举出数学中一些常见的无限不循环小数

0.1010010001……等，将它们同有限小数或无限循环小数相比较，从而引出无理数的概念。

教学中我们要充分展现概念形成的这一过程，组织学生参与实验、探究、交流、发现的数学活动，让学生不仅在活动中学到知识，同时还使他们体验到数学活动充满探索性和创造性，培养求知欲和好奇心，提高思维品质和思维水平。

再如七（上）6.3《去括号》的教学，由两个实际问题所列的代数式出发，通过创设情境---提出问题---自主探索---合作交流，让学生在数学活动中经历整式概念的建立与整式加减运算法则的探索过程，引导学生从关注数学学习的结果转向数学学习的过程。

从而使学生在观察、比较、归纳、猜测、验证、推理、交流的过程中探索新知，变“学科本位”为“以学生的发展为本”，发挥数学的育人功能。

2.淡化形式，注重实质，强化学生基本运算技能。

本专题知识重在培养学生的“数感”和“符号感”，在具体的数与式的运算中，重点应侧重于学生对算理的理解，关注学生运用性质法则的过程，让学生尝试说出每一步依据，有意识地培养学生有条理地思考能力和语言表达能力，避免机械地重复地笔算训练，提倡算法多样性。

例如，在学习二次根式

的化简时，要让学生掌握不同的化简方法，并且说出每一步依据，根据课标要求，对分母有理化的概念不作要求，也不可过多的挖掘和过高的要求。

分式的化简、求值、运算是代数运算的基础，按照课程标准的要求，教学中应适当控制运算的难度，类比分数的化简、求值、运算，把重点放在对算理的理解方面。

在比和比例一节中，对于比例的定义，教材采用了淡化概念的方式引入（表示两个比相等的式子叫做比例式），严格地说，应该是“如果a,b.c,d是四个数（bd≠0）,并且a:

b=c:

d,则称a,b,c,d四个数成比例。

表示两个比相等的式子叫做比例式。

”

3.注重数学知识与现实生活相联系，在具体情境中提炼数学知识。

立足于学生的生活经验和已有的数学活动经验，把“身边”的数学引入课堂，创设一个有利于学生活动、探索、交流的空间。

为此，要充分利用教材中丰富的现实背景，挖掘生活素材，融合数学知识，培养应用意识。

如有理数的加法法则的探索，以海水的升降、物体的直线运动作为引例，联系得失、盈亏、收支等生活实例，不仅使学生体会加法的实际背景，还渗透了有向线段、向量的思想，有利于加法法则的理解与运用。

4.注重代数知识与几何知识的有机结合

代数知识和几何知识分别侧重抽象思维和形象思维，二者的有机结合，能促进学生思维的跳跃式发展。

比如借助图形直观解释乘法公式。

还有，利用长方形面积等积法，探索整式乘法法则。

勾股定理的探索与验证。

利用勾股定理，说明无理数的几何意义。

在引入平方根概念时，联系几何里已知面积求边长的需要；

在引入立方根概念时，联系几何里已知体积求边长的需要。

这样将它们有机结合，有助于学生从整体上去把握数学知识，。

5.注重数学思想方法的应用，培养学生合情推理能力。

在数与式这一专题学习中，渗透了多种数学思想方法，比如利用数轴学习实数、相反数、绝对值体现的数形结合思想、对实数、代数式进行分类所体现的分类思想、进行有理数减法运算时运用的转化思想、求代数式的值和整式、分式运算时体现的整体思想、学习分式一章中利用的类比思想等。

这是转化思想在学习中的多次体现。

这是在突破零指数幂这一难点时比较方法的运用，这样通过两种方法的对比教学，既复习了旧知，让学生体验数学知识之间内在联系及应用灵活性的同时，又自然地突破了难点。

类比零指数幂的学习，理解学习负整数指数幂的意义，也是类比思想的体现。

。

对数学思想方法的提炼应用，将有助于提高学生数学综合素养，提高分析问题、解决问题的能力。

6.关注学生在在数学活动中的参与程度、合作交流意识、独立思考的习惯、逻辑思维水平。

教师应适时适当地引导和点拨，鼓励学生自主思考、实践以及与他人交流获得数学知识。

尊重每一个学生的个性特征，允许不同的学生从不同的角度认识问题，采用不同的方式表达自己的想法，用不同的思路与方法解决问题，有意识地培养学生产生求异思维的火花和不断创新的欲望，满足学生多样化的学习要求。

考点分析

分析近年来的中考试题，本专题知识除直接体现在选择题和填空题的低中档题外，还几乎渗透进了每道考题的解答中。

主要有：

考点1：

实数及有关概念的考查（包括有理数、数轴、相反数、无理数、绝对值）。

如2010年潍坊市中考试题第3题 

如图，数轴上A、B两点对应的实数分别是1和

，若点A关于

点B的对称点为点C，则点C所对应的实数为

（A）2

1

（B）1

（

C）2

（D）2

1。

数轴的建立是数形结合思想的重要体现。

这一题“以形启数”、“以数助形”，考查的是实数的有关概念和计算。

考点2：

科学记数法、近似数、有效数字的考查。

科学记数法是考必考内容，根据新课程理念，知识的学习要联系生产、生活实际。

因此，此类题目一般都有实际背景。

如2009年潍坊市中考试题第3题 

太阳内部高温核聚变反应释放的辐射能功率为

千瓦，到达地球的仅占20亿分之一，到达地球的辅射能功率为（）千瓦．（用科学计数法表示，保留2个有效数字）

A．

B．

C．

D．

如2010年潍坊市中考试题第2题 

将5.62108用小数表示为（A）0.00000000562（B）0.0000000562（C）0.000000562

（D）0.000000000562。

如2011年潍坊市中考试题第2题 

我国以2010年11月1日零时为标准时点迸行了第六次全国人口普查．普查得到全国总人口为l370536875人，该数用科学记数法表示为（）．（保留3个有效数字）

A．13.7亿B．

C．

'

D．

考点3：

数与式的运算技能的考查。

运算技能是数学学习的基本技能，理解数学概念、熟练掌握运算法则、明确运算性质、认真审题，看清运算符号是解答此类题目的关键。

这几道考题是对数与式运算技能的直接考查，其它考题的解答几乎都渗透了数与式运算技能的考查。

2009年潍坊市中考试题第1题 

下列运算正确的是（）

B．

C．

D．

2010年潍坊市中考试题第1题 

下列运算正确是

（A）6

=

（B）2

（C）a2

（D）

2011年潍坊市中考试题第1题 

下面计算正确的是（）．

B、

D．

考点4：

因式分解

如2009年潍坊市中考试题第13题 

分解因式：

．

如2010年潍坊市中考试题第14题 

_________.

如2011年潍坊市中考试题第13题 

________________．

近三年对于因式分解的考查都是填空题，题目难度不大，都涉及到了提公因式法、公式法、分组分解法，这一知识点的教学关键是正确理解乘法公式和因式分解的意义，认识乘法公式的结构特征以及字母的广泛含义。

同时补充因式分解中的分组分解法、十字相乘法，以便为初三学习一元二次方程，为高中学二元二次方程、二元二次方程组，一元二次不等式，高次方程、高次不等式等知识奠定基础。

以上是我对初中数学“数与式”这一部分教学内容的简要分析。

总之，教师作为课堂教学的组织者、合作者和引导者，不仅要进行教学方法的反思与研究，进行学习方法的研究，而且更应该钻研教材，用“活”教材，恰当地创造性地运用教材，激活学生的创新思维，以展开想象的翅膀，体验学习的乐趣，数学课堂才会生机勃勃。

在遵循新课程标准，按照“纲要”要求，注重落实掌握基本知识，领悟基本思想方法，应用基本技能的同时，还要灵活整合各个知识点，依题建模，分类剖析，关注生活实例，关注社会热点问题，增强学生对数学的应用意识，提高解决实际问题的能力。