数学不等式高考真题doc.docx
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数学不等式高考真题doc
1.(2018•卷Ⅱ)设函数
(1) 当时,求不等式的解集;
(2)若,求的取值范围
2.(2013•辽宁)已知函数f(x)=|x﹣a|,其中a>1
(1)当a=2时,求不等式f(x)≥4﹣|x﹣4|的解集;
(2)已知关于x的不等式|f(2x+a)﹣2f(x)|≤2的解集{x|1≤x≤2},求a的值.
3.(2017•新课标Ⅲ)[选修4-5:
不等式选讲]
已知函数f(x)=|x+1|﹣|x﹣2|.
(Ⅰ)求不等式f(x)≥1的解集;
(Ⅱ)若不等式f(x)≥x2﹣x+m的解集非空,求m的取值范围.
4.(2017•新课标Ⅱ)[选修4-5:
不等式选讲]
已知a>0,b>0,a3+b3=2,证明:
(Ⅰ)(a+b)(a5+b5)≥4;
(Ⅱ)a+b≤2.
5.(2017•新课标Ⅰ卷)[选修4-5:
不等式选讲]
已知函数f(x)=﹣x2+ax+4,g(x)=|x+1|+|x﹣1|.(10分)
(1)当a=1时,求不等式f(x)≥g(x)的解集;
(2)若不等式f(x)≥g(x)的解集包含[﹣1,1],求a的取值范围.
6.(2017•新课标Ⅱ)[选修4-5:
不等式选讲]
已知a>0,b>0,a3+b3=2,证明:
(Ⅰ)(a+b)(a5+b5)≥4;
(Ⅱ)a+b≤2.
7.(2018•卷Ⅰ)已知
(1)当时,求不等式的解集
(2)若时,不等式成立,求的取值范围
8.(2018•卷Ⅰ)已知f(x)=|x+1|-|ax-1|
(1)当a=1时,求不等式f(x)>1的解集
(2)若x∈(0,1)时不等式f(x)>x成立,求a的取值范围
9.(2017•新课标Ⅲ)[选修4-5:
不等式选讲]
已知函数f(x)=|x+1|﹣|x﹣2|.
(1)求不等式f(x)≥1的解集;
(2)若不等式f(x)≥x2﹣x+m的解集非空,求m的取值范围.
10.(2014•新课标II)设函数f(x)=|x+|+|x﹣a|(a>0).
(1)证明:
f(x)≥2;
(2)若f(3)<5,求a的取值范围.
11.(2015·福建)选修4-5:
不等式选讲
已知,函数的最小值为4.
(1)求的值;
(2)求的最小值.
12.(2014•新课标I)若a>0,b>0,且+=.
(1)求a3+b3的最小值;
(2)是否存在a,b,使得2a+3b=6?
并说明理由.
13.(2017•新课标Ⅲ)已知函数f(x)=lnx+ax2+(2a+1)x.(12分)
(1)讨论f(x)的单调性;
(2)当a<0时,证明f(x)≤﹣﹣2.
14.(2017•新课标Ⅲ)已知函数f(x)=x﹣1﹣alnx.
(Ⅰ)若f(x)≥0,求a的值;
(Ⅱ)设m为整数,且对于任意正整数n,(1+)(1+)…(1+)<m,求m的最小值.
15.(2018•卷Ⅲ)设函数
(1)画出的图像
(2)当时,,求的最小值。
16.(2013•福建)设不等式|x﹣2|<a(a∈N*)的解集为A,且
(1)求a的值
(2)求函数f(x)=|x+a|+|x﹣2|的最小值.
17.(2013•新课标Ⅰ)(选修4﹣5:
不等式选讲)
已知函数f(x)=|2x﹣1|+|2x+a|,g(x)=x+3.
(1)当a=﹣2时,求不等式f(x)<g(x)的解集;
(2)设a>﹣1,且当时,f(x)≤g(x),求a的取值范围.
18.(2016•全国)选修4—5:
不等式选讲
已知函数f(x)=∣x-∣+∣x+∣,M为不等式f(x)<2的解集.
(1)求M;
(2)证明:
当a,b∈M时,∣a+b∣<∣1+ab∣。
19.(2016•全国)[选修4-5:
不等式选讲]已知函数f(x)=|2x﹣a|+a.
(1)当a=2时,求不等式f(x)≤6的解集;
(2)设函数g(x)=|2x﹣1|,当x∈R时,f(x)+g(x)≥3,求a的取值范围.
20.(2012•新课标)已知函数f(x)=|x+a|+|x﹣2|
(1)当a=﹣3时,求不等式f(x)≥3的解集;
(2)若f(x)≤|x﹣4|的解集包含[1,2],求a的取值范围.
21.(2012•辽宁)选修4﹣5:
不等式选讲
已知f(x)=|ax+1|(a∈R),不等式f(x)≤3的解集为{x|﹣2≤x≤1}.
(1)求a的值;
(2)若恒成立,求k的取值范围.
答案解析部分
一、解答题
1.【答案】
(1)a=1时,时,由
当x≥2时,由f(x)≥0得:
6-2x≥0,解得:
x≤3;
当-1<x<x时,f(x)≥0;
当x≤-1时,由f(x)≥0得:
4+2x≥0,解得x≥-2
所以f(x)≥0的解集为{x|-2≤x≤3}
(2)若f(x)≤1,即恒成立
也就是x∈R,恒成立
当x=2时取等,所以x∈R,等价于
解得:
a≥2或a≤-6
所以a的取值范围(-∞,-6]∪[2,+∞)
【解析】【分析】
(1)由绝对值不等式的解法易得;
(2)由绝对值几何意义转化易得.
2.【答案】
(1)解:
当a=2时,f(x)≥4﹣|x﹣4|可化为|x﹣2|+|x﹣4|≥4,
当x≤2时,得﹣2x+6≥4,解得x≤1;
当2<x<4时,得2≥4,无解;
当x≥4时,得2x﹣6≥4,解得x≥5;
故不等式的解集为{x|x≥5或x≤1}
(2)解:
设h(x)=f(2x+a)﹣2f(x),则h(x)=
由|h(x)|≤2得,
又已知关于x的不等式|f(2x+a)﹣2f(x)|≤2的解集{x|1≤x≤2},
所以,
故a=3.
【解析】【分析】
(1)当a=2时,f(x)≥4﹣|x﹣4|可化为|x﹣2|+|x﹣4|≥4,直接求出不等式|x﹣2|+|x﹣4|≥4的解集即可.
(2)设h(x)=f(2x+a)﹣2f(x),则h(x)=.由|h(x)|≤2解得,它与1≤x≤2等价,然后求出a的值.
3.【答案】解:
(Ⅰ)∵f(x)=|x+1|﹣|x﹣2|=,f(x)≥1,
∴当﹣1≤x≤2时,2x﹣1≥1,解得1≤x≤2;
当x>2时,3≥1恒成立,故x>2;
综上,不等式f(x)≥1的解集为{x|x≥1}.
(Ⅱ)原式等价于存在x∈R使得f(x)﹣x2+x≥m成立,
即m≤[f(x)﹣x2+x]max,设g(x)=f(x)﹣x2+x.
由
(1)知,g(x)=,
当x≤﹣1时,g(x)=﹣x2+x﹣3,其开口向下,对称轴方程为x=>﹣1,
∴g(x)≤g(﹣1)=﹣1﹣1﹣3=﹣5;
当﹣1<x<2时,g(x)=﹣x2+3x﹣1,其开口向下,对称轴方程为x=∈(﹣1,2),
∴g(x)≤g()=﹣+﹣1=;
当x≥2时,g(x)=﹣x2+x+3,其开口向下,对称轴方程为x=<2,
∴g(x)≤g
(2)=﹣4+2=3=1;
综上,g(x)max=,
∴m的取值范围为(﹣∞,].
【解析】【分析】(Ⅰ)由于f(x)=|x+1|﹣|x﹣2|=,解不等式f(x)≥1可分﹣1≤x≤2与x>2两类讨论即可解得不等式f(x)≥1的解集;
(Ⅱ)依题意可得m≤[f(x)﹣x2+x]max,设g(x)=f(x)﹣x2+x,分x≤1、﹣1<x<2、x≥2三类讨论,可求得g(x)max=,从而可得m的取值范围.
4.【答案】证明:
(Ⅰ)由柯西不等式得:
(a+b)(a5+b5)≥(+)2=(a3+b3)2≥4,
当且仅当=,即a=b=1时取等号,
(Ⅱ)∵a3+b3=2,
∴(a+b)(a2﹣ab+b2)=2,
∴(a+b)[(a+b)2﹣3ab]=2,
∴(a+b)3﹣3ab(a+b)=2,
∴=ab,
由均值不等式可得:
=ab≤()2,
∴(a+b)3﹣2≤,
∴(a+b)3≤2,
∴a+b≤2,当且仅当a=b=1时等号成立.
【解析】【分析】(Ⅰ)由柯西不等式即可证明,
(Ⅱ)由a3+b3=2转化为=ab,再由均值不等式可得:
=ab≤()2,即可得到(a+b)3≤2,问题得以证明.
5.【答案】
(1)解:
(1)当a=1时,f(x)=﹣x2+x+4,是开口向下,对称轴为x=的二次函数,
g(x)=|x+1|+|x﹣1|=,
当x∈(1,+∞)时,令﹣x2+x+4=2x,解得x=,g(x)在(1,+∞)上单调递增,f(x)在(1,+∞)上单调递减,∴此时f(x)≥g(x)的解集为(1,];
当x∈[﹣1,1]时,g(x)=2,f(x)≥f(﹣1)=2.
当x∈(﹣∞,﹣1)时,g(x)单调递减,f(x)单调递增,且g(﹣1)=f(﹣1)=2.
综上所述,f(x)≥g(x)的解集为[﹣1,];
(2)
(2)依题意得:
﹣x2+ax+4≥2在[﹣1,1]恒成立,即x2﹣ax﹣2≤0在[﹣1,1]恒成立,则只需,解得﹣1≤a≤1,
故a的取值范围是[﹣1,1].
【解析】【分析】(1.)当a=1时,f(x)=﹣x2+x+4,g(x)=|x+1|+|x﹣1|=,分x>1、x∈[﹣1,1]、x∈(﹣∞,﹣1)三类讨论,结合g(x)与f(x)的单调性质即可求得f(x)≥g(x)的解集为[﹣1,];
(2.)依题意得:
﹣x2+ax+4≥2在[﹣1,1]恒成立⇔x2﹣ax﹣2≤0在[﹣1,1]恒成立,只需,解之即可得a的取值范围.
6.【答案】证明:
(Ⅰ)由柯西不等式得:
(a+b)(a5+b5)≥(+)2=(a3+b3)2≥4,
当且仅当=,即a=b=1时取等号,
(Ⅱ)∵a3+b3=2,
∴(a+b)(a2﹣ab+b2)=2,
∴(a+b)[(a+b)2﹣3ab]=2,
∴(a+b)3﹣3ab(a+b)=2,
∴=ab,
由均值不等式可得:
=ab≤()2,
∴(a+b)3﹣2≤,
∴(a+b)3≤2,
∴a+b≤2,当且仅当a=b=1时等号成立.
【解析】【分析】(Ⅰ)由柯西不等式即可证明,
(Ⅱ)由a3+b3=2转化为=ab,再由均值不等式可得:
=ab≤()2,即可得到≤2,问题得以证明.
7.【答案】
(1)解:
当时,,即故不等式的解集为.
(2)解:
当时成立等价于当时成立.
若,则当时;
若,的解集为,所以,故.
综上,的取值范围为.
【解析】【分析】
(1)通过对x分类讨论去掉绝对值,解不等式,求出解集;
(2)不等式恒成立等价于f(x)-x>0对于恒成立,即函数f(x)-x的最小值大于0,由此求出a的范围.
8.【答案】
(1)解:
当a=1时,
当时,-2>1舍
当时,2x>1
∴
当时,2>1,成立,综上所述结果为
(2)解:
∵
∴
∵ax>0
∴a>0.
ax<2
又所以
综上所述
【解析】【分析】通过对x分类讨论去掉绝对值,解不等式,求出解集;
(2)不等式恒成立等价于f(x)-x>0对于恒成立,即函数f(x)-x的最小值大于0,由此求出a的范围.
9.【答案】
(1)解:
∵f(x)=|x+1|﹣|x﹣2|=,f(x)≥1,
∴当﹣1≤x≤2时,2x﹣1≥1,解得1≤x≤2;
当x>2时,3≥1恒成立,故x>2;
综上,不等式f(x)≥1的解集为{x|x≥1}.
(2)原式等价于存在x∈R使得f
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