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(1)正弦定理
a/SinA=b/SinB=c/SinC=2R(R为三角形外接圆半径)。
(2)余弦定理
a^2=b^2+c^2-2bc*CosA;
b^2=a^2+c^2-2ac*CosB;
c^2=a^2+b^2-2ab*CosC。
备注:
勾股定理其实是余弦定理的一种特殊情况。
(3)余弦定理变形公式
cosA=(b^2+C^2-a^2)/2bc;
cosb=(a^2+c^2-b^2)/2ac;
cosC=(a^2+b^2-C^2)/2ab。
编辑本段性质
1.三角形的两边的和一定大于第三边,由此亦可证明得三角形的两边的差一定小于第三边。
2.三角形内角和等于180度。
3.等腰三角形的顶角平分线,底边的中线,底边的高重合,即三线合一。
4.直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方--勾股定理。
直角三角形斜边的中线等于斜边的一半。
5.三角形的外角(三角形内角的一边与其另一边的延长线所组成的角)等于与其不相邻的两个内角之和。
6.一个三角形的3个内角中最少有2个锐角。
7.三角形的三条角平分线交于一点,三条高线的所在直线交于一点,三条中线交于一点。
8.勾股定理逆定理:
如果三角形的三边长a,b,c有下面关系:
a^2+b^2=c^2。
那么这个三角形就一定是直角三角形。
9.三角形的外角和是360°
。
10.等底同高的三角形面积相等。
11.底相等的三角形的面积之比等于其高之比,高相等的三角形的面积之比等于其底之比。
12.三角形三条中线的长度的平方和等于它的三边的长度平方和的3/4。
13.在△ABC中恒满足tanAtanBtanC=tanA+tanB+tanC。
14.三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角。
15.全等三角形对应边相等,对应角相等。
16.在三角形中至少有一个角大于等于60度,也至少有一个角小于等于60度。
(包括等边三角形)
17.△ABC,恒有【tan(A/2)+tan(B/2)】【tan(A/2)+tan(C/2)】=【sec(A/2)】^2。
18.三角形的重心是三角形三条中线的交点。
19.三角形的内心是三角形三条内角平分线的交点。
20.三角形的外心是指三角形三条边的垂直平分线的交点。
21.三角形的三条高所在直线的交点叫做三角形的垂心。
22.三角形的任意一条中线将这个三角形分为两个面积相等的三角形。
23.三角形具有稳定性。
编辑本段内角和
在欧几里得的几何体系中,三角形都是平面上的,所以三角形的内角和为180度;
三角形的一个外角等于两个不相邻的内角的和;
三角形的一个外角大于其他两内角的任一个角。
(注:
在非欧几何中,三角形的内角和有可能大于180度也有可能小于180度,此时的三角形也从平面也变为了球面或者伪球面)
证明:
根据三角形的外角和等于内角可以证明,详细参见《培优:
走进三角形》
如何证明三角形的内角和等于180°
方法1:
将三角形的三个角撕下来拼在一起,可求出内角和为180°
方法2:
在三角形任意一个顶点处做辅助线,可求出内角和为180°
例题:
已知有一△ABC,求证∠ABC+∠BAC+∠BCA=180°
做BC的延长线至点D,过点C作AB的平行线至点E
∵AB∥CE(已知)
∴∠ABC=∠ECD(两直线平行,同位角相等),∠BAC=∠ACE(两直线平行,内错角相等)
∵∠BCD=180°
∴∠ACB+∠ACE+∠ECD=∠BCD=180°
(等式的性质)
∴∠ABC+∠BAC+∠BCA=180°
(等量代换)
编辑本段全等
定义
两个能够完全重合的三角形称为全等三角形。
变化的方式
1.轴对称。
2.平移。
3.旋转。
4.翻折。
5.多种变换叠加。
全等的条件
1.两个三角形对应的三条边相等,两个三角形全等,简称“边边边”或“SSS"
2.两个三角形对应的两边及其夹角相等,两个三角形全等,简称“边角边”或“SAS”。
3.两个三角形对应的两角及其夹边相等,两个三角形全等,简称“角边角”或“ASA”。
4.两个三角形对应的两角及其一角的对边相等,两个三角形全等,简称“角角边”或“AAS”。
5.两个直角三角形对应的一条斜边和一条直角边相等,两个直角三角形全等,简称“直角边、斜边”或“HL”。
注意,证明三角形全等没有“SSA”或“边边角”的方法,即两边与其中一边的对角相等无法证明这两个三角形全等,但从意义上来说,直角三角形的“HL”证明等同“SSA”。
五心坐标
三角形的五心、四圆、三点、一线
三角形的五心四圆三点一线
这些是三角形的全部特殊点,以及基于这些特殊点的相关几何图形。
“五心”指重心(barycenter)、垂心、内心(incenter)、外心(circumcenter)和旁心;
“四圆”为内切圆、外接圆、旁切圆和欧拉圆;
“三点”是勒莫恩点、奈格尔点和欧拉点;
“一线”即欧拉线。
以下记三角形的三个顶点为A、B、C,相应的对边边长为a、b、c,系数K(a)=-a^2+b^2+c^2,K(b)、K(c)类推。
三线坐标各分量直接乘以相应边长即可转换为面积坐标,以某点的面积坐标结合三顶点坐标计算该点平面直角坐标的方法:
记某点面积坐标为(μa,μb,μc),三分量之和为μ,则有Px=(μa·
Xa+μb·
Xb+μc·
Xc)/μ,Py类推。
名称
三线坐标
(内心坐标)
面积坐标
(重心坐标)
重心
三条中线(顶点到对边中点连线)的交点
1/a:
1/b:
1/c
1:
1:
1
垂心
三条高(顶点到对边的垂线)的交点
secA:
secB:
secC
1/K(a):
1/K(b):
1/K(c)或
tan(A):
tan(B):
tan(C)
内心
三条内角平分线的交点
a:
b:
c
外心
三边中垂线的交点
cosA:
cosB:
cosC
a^2·
K(a):
b^2·
K(b):
c^2·
K(c)
旁心
一内角平分线和另两角外角平分线的交点
-1:
1,余类推
-a:
c,余类推
四圆
内切圆:
以内心为圆心,以内心到边的距离为半径的圆,与三角形三边都相切。
外接圆:
以外心为圆心,以外心到顶点的距离为半径的圆,三角形三个顶点都在圆周上。
旁切圆:
以旁心为圆心,以旁心到边的距离为半径的圆,与三角形一边及另两边延长线相切。
欧拉圆:
又称“九点圆”,即3个欧拉点、三边中点和三高垂足九点共圆。
九点圆圆心为垂心与外心连线中点,三线坐标为:
cos(B-C):
cos(C-A):
cos(A-B),半径为外接圆半径的一半。
内切圆与欧拉圆在某一欧拉点相切。
三点
三线坐标
勒莫恩点
三个顶点与内切圆切点连线的交点,又称类似重心
奈格尔点
三个顶点与旁切圆切点连线的交点,又称界心
csc^2(A/2):
csc^2(B/2):
csc^2(C/2)
欧拉点
三个顶点到垂心连线的中点,又称费尔巴哈点
cos(B-C):
cos(C-A):
cos(A-B)
一线
垂心、重心、外心和九点圆圆心四点共线,这条直线称为欧拉线。
界心(不常见)
三角形三条周界中线的交点叫做三角形的界心。
三角形界心性质:
设点D、E、F分别为⊿ABC的BC、CA、AB边上的周界中点,R、r分别为⊿ABC的
外接圆和内切圆的半径,则
(1)S⊿DEF/S⊿ABC=r/2R;
(2)S⊿DEF≤S⊿ABC/4。
五心的距离
OH^2=9R^2–(a^2+b^2+c^2),
OG^2=R^2–(a^2+b^2+c^2)/9,
OI^2=R^2–abc/(a+b+c)=R^2–2Rr
GH^2=4OG^2
GI^2=(p^2+5r^2–16Rr)/9,
HI^2=4R^2-p^2+3r^2+4Rr=4R^2+2r^2-(a^2+b^2+c^2)/2,
编辑本段稳定性
证明
任取三角形两条边,则两条边的非公共端点被第三条边连接。
埃菲尔铁塔
∵第三条边不可伸缩或弯折,
∴两端点距离固定,
∴这两条边的夹角固定;
∵这两条边是任取的,
∴三角形三个角都固定,进而将三角形固定,
∴三角形有稳定性。
任取n边形(n≥4)两条相邻边,则两条边的非公共端点被不止一条边连接
∴两端点距离不固定,
∴这两边夹角不固定,
∴n边形(n≥4)每个角都不固定,所以n边形(n≥4)没有稳定性。
作用
三角形的稳定性使其不像四边形那样易于变形,有着稳固、坚定、耐压的特点。
三角形结构的在工程上有广泛的应用。
许多建筑都是三角形的结构,如:
埃菲尔铁塔。
金字塔等等。
编辑本段边角关系
(1)三角形三内角和等于180°
,这个定理的证明方法有很多种(即辅助线的做法),体现了几何中的一题多解的思维方法,这也是几何与众不同的地方。
(2)三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和。
(3)三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。
(4)三角形两边之和大于第三边,两边之差小于第三边。
(5)在同一个三角形内,大边对大角,大角对大边。
(6)三角形中的四条特殊的线段:
角平分线,中线,高,中位线。
(注①:
等腰三角形中,顶角平分线,中线,高三线互相重叠;
②:
三角形的中位线是两边中点的连线,它平行于第三边且等于第三边的一半)
(7)三角形的角平分线的交点叫做三角形的内心,它是三角形内切圆的圆心,它到各边的距离相等.
(8)三角形的外接圆圆心,即外心,是三角形三边的垂直平分线的交点,它到三个顶点的距离相等。
(9)三角形的三条中线的交点叫三角形的重心,它到每个顶点的距离等于它到对边中点的距离的2倍。
(10)三角形的三条高的交点叫做三角形的垂心。
(11)三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的1/2。
(12)三角形的一边与另一边延长线的夹角叫做三角形的外角。
注意:
①三角形的内心、重心都在三角形的内部。
②钝角三角形垂心、外心在三角形外部。
(三条高的延长线交于一点,在三角形的外部)
③直角三角形垂心、外心在三角形的边上。
(直角三角形的垂心为直角顶点,外心为斜边中点。
)
④锐角三角形垂心、外心在三角形内部。
三角形两边之和大于第三边,两边之差小于第三边,的一则应用!
《周长固定三角形面积的最大值》
——数学建模一例
谈到,周长固定围成面积的问题,许多人会想到正方形和二次函数。
好吧,就从矩形开始吧!
问题是这样的,说有一根长度固定为L的绳子,现在要围成一个矩形,问:
什么样的矩形面积才是最大的?
首先,我们要建立数学模型!
那么什么是矩形呢?
它有些什么性质呢?
初等几何说:
有一个角位直角(90°
或者π/2)的平行四边形,叫做矩形。
那么什么是平行四边形呢?
几何又说:
两组对边分别平行的四边形,叫做平行四边形。
其中,平行四边形有一条重要的性质:
平行四边形的对边相等。
现在我们对矩形也有一个印象了。
简单来说是一个,四条互相垂直的线段组成的东西。
而且我们知道它的面积公式:
s=a*b,由平行四边形的性质:
可知它的周长公式:
L=2*(a+b)。
有了这些,就可以建模分析了:
首先,我们分析L=2*(a+b),经过简单的变形处理(+、-、*、/)有:
b=L/2-a要注意条件,a是不为0的,即(a>
0)。
现在,把b=L/2-a代入s=a*b就有:
s=a*(L/2-a)=-a^2+(L/2)*a(a>
0);
这是关于a的一个二次函数,并且A=-1<
0,函数s有最大值。
微积分的解法:
因为:
s=-a^2+(L/2)*a(a>
0),所以s`=-2a+L/2(a>
0)令s`=0有:
2a=L/2所以a=L/4。
所以Smax=L/4(L/2-L/4)=L^2/16max:
最大值b=a=L/4(此时,矩形为正方形)
也可以用不等式:
因为(a-b)^2≥0,又因(a-b)^2=(a+b)^2-4ab,所以有:
(a+b)^2-4ab≥0即a*b≤(a+b)^2/4当a=b,去“=”,s有最大值
因为:
a+b=L/2,s=a*b所以:
s≤(L/2)^2/4=L^2/16。
现在,来谈一谈周长固定三角形面积的问题,说有一根长度固定为L的绳子,现在要围成一个三角形,问:
什么样的三角形面积才是最大的?
好像,一般三角形的性质并不多,一个三边关系定理:
三角形两边之和大于第三边。
和一个内角和定理:
三角形三个内角的和等于180°
还有个推论:
三角形两边之差小于第三边。
不妨设绳子L,围成的三角形一边为x,则另外两边之和为L-x。
根据三边关系定理有:
x<
L-x,于是有:
(0<
L/2)物理学中在处理问题时,不是常用控制变量法吗!
我们何不使用呢?
假设x为一个常量,则L-x也为常量。
且x<
L-x总成立,满足解析几何中椭圆的定义:
2a=L-x,2c=x,且有:
2a>
2c。
可以,以2c=x的中点建立坐标系,则:
a^2=(L-x/2)^2,b^2=(L-x/2)^2-(x/2)^2=L(L-2x)/。
三角形与椭圆
所以椭圆方程为:
X^2/(L-x/2)^2+Y^2/L(L+2x)/4=1
函数图像的直观反映
,三角形的面积为:
s=(1/2)*(2c)*Y,因为,x=2c是固定的,所以s取决于Y,当Y取max时,即Y=b时,s有最大值。
即:
S=s(x)max(且此时,该三角形为等要三角形)
=c*[(L^2-2Lx)/4]^1/2
=(1/4)*x(L^2-2Lx)^1/2(0<
L/2)
现在,我们得到了一个关于s最大值的函数,或者说以最大值s为自变量的函数S=s(x),可以说我们的目标是,函数最大值的最大值!
Smax=max[s(x)max],剩下的就是微积分的技巧了,对S=s(x)max,求导:
S`=-LX/(L^2-2Lx)^1/2+(L^2-2Lx)^1/2令S`=0有:
LX/(L^2-2Lx)^1/2=(L^2-2Lx)^1/2,则LX=L^2-2Lx解之得:
x=L/3,且有,x=L/3<
L/2满足三角形条件。
此时的三角形是一个正三角形!
Smax=max[s(x)max]=(3^1/2)*L^2/36,此模型的思想有点类似变分法,函数的函数(泛函),但还是有本质的差别。
也可以用海伦公式s=[p(p-a)*(p-b)*(p-c)]^1/2,其中p=(a+b+c)/2。
用不等式来解决!
或者用二元函数的偏导及拉格朗日乘法,来解解决也行。
不要以为,海伦公式s=[p(p-a)*(p-b)*(p-c)]^1/2比微积分简单一些,前提是你必须知道这个公式,而且能够证明!
我就给大家一个证明,这是我在分解因式中,遇到较麻烦的一次!
要证明海伦公式s=[p(p-a)*(p-b)*(p-c)]^1/2,首先,要知道余弦定理:
勾股定理的扩展——余弦定理
a^2=b^2+c^2-2bccosA,
则有:
cosA=(b^2+c^2-a^2)/2bc
所以,sinA={1-[(b^2+c^2-a^2)/2bc]^2}^1/2
={[(a^2+b^2+c^2)^2–2(a^4+b^4+c^4)]/(2bc)^2}^1/2
又因为,三角形面积公式:
s=(1/2)*bcsinA
=(1/2)*bc*{[(a^2+b^2+c^2)^2–2(a^4+b^4+c^4)]/(2bc)^2}^1/2
=(1/4)*[(a^2+b^2+c^2)^2–2(a^4+b^4+c^4)]^1/2(与角度A并无直接关系)
又∵[(a^2+b^2+c^2)^2–2(a^4+b^4+c^4)
=2a^2b^2+2a^2c^2+2b^2c^2-a^4-b^4-c^4
=b^2c^2+a^2c^2-b^4-a^4+2a^b^2+a^2c^2+b^2c^2-c^4
=b^2c^2-2abc^2+a^2c^2-(b^4+a^4-2a^b^2)+a^2c^2+b^2c^2+2abc^2-c^4(配方)
=c^2(b^2-2ab+a^2)-(b^2-a^2)+c^2(b^2+2ab+a^2)-c^4
=c^2(b-a)^2-[(b+a)(b-a)]^2+c^2(b+a)^2-c^4
=c^2(b-a)^2-c^4-(b+a)^2(b-a)^2+c^2(b+a)^2(分解因式)
=c^2[(b-a)^2-c^2]-(b+a)^2[(b-a)^2-c^2]
=[(b-a)^2-c^2]*[c^2-(b+a)^2](提公因式)
=-[(b-a)^2-c^2]*[(b+a)^2-c^2]
=[(b+a)^2-c^2]*(-1)*[(b-a)^2-c^2]
=[(b+a)^2-c^2]*(-1)(b-a+c)*(b-a-c)
=[(b+a)^2-c^2]*(b-a+c)*(a+c-b)
=(a+b+c)(a+b-c)(b+c-a)(a+c-b)
∴s=(1/4)[(a+b+c)(a+b-c)(b+c-a)(a+c-b)]^1/2
=[(a+b+c)/2*(a+b-c)/2*(b+c-a)/2*(a+c-b)/2]^1/2
={[(a+b+c)/2]*[(a+b+c)/2-c]*[(b+c+a)/2–b]*[(a+c+b)/2-a]}^1/2
在令:
p=(a+b+c)/2
就得到海伦公式:
s=[p(p-a)*(p-b)*(p-c)]^1/2
有了此公式,在利用不等式,问题就可以解决了。
需要知道的一个不等式:
(a+b+c)^3/27≥abc(a,b,c均为正数,当a=b=c时,取“=”)
∵(p-a)*(p-b)*(p-c)≤[3p-(a+b+c)]^3/27,又∵2p=a+b+c;
∴(p-a)*(p-b)*(p-c)≤p3/27
[(p-a)*(p-b)*(p-c)]^1/2≤p(p)^1/2/3(3)^1/2
所以:
p^1/2[(p-a)*(p-b)*(p-c)]^1/2≤p2/3(3)^1/2
s≤(3^1/2/36)p2,当p-a=p-b=p-c,即,a=b=c时,取“=”s有最大值(3^1/2/36)L^2
(2006全国卷l理科第11题)用长度分别为2、3、4、5、6(单位:
㎝)的5根细棒围成一个三角形(允许连接,但不许折断),能够得到的三角形的最大面积是……(B)
A8*5^1/2B6*10^1/2C3*55^1/2D20
分析:
首先,这几个整数成等差数列,公差为1,它们的和为20。
现在,要把这5个数任意的分成3组,然后围成三角形,最后找出这些三角形中面积最大的一个。
如果,真的去分组,在统计比较,时间上显然不够!
这个时候就需要你会建立,数学模型了,并且能够转化数学。
把离散组合,转化为连续的数学。
数学家在研究问题时,往往关注一些变中不变的东西,那往往是大规律、大道理,不以人的意志为之转移,带有根本性的。
把这5个数任意的分成3组,然后围成三角形。
无论怎么变化,有一条是不变的:
它们的和为20;
于是要解决的问题就是:
当三角形周长固定时:
上面研究过,正三角形的面积最大,并且由
S=s(x)max(且此时,该三角形为等腰三角形)
的函数图像可知,x在区间[0,L/3]]为增函数,在(L/3,L/2]为减函数。
所以,当三角形周长固定时:
越接近正三角形形状的三角形面积越大!
20/3≈6.6667,显然这里的5个数是组合不成6.6667的,只能退而求其次了,我们发现(猜出来的):
(2+5)、(3+4)、6的组合是最接近正三角形的,所以它的面积最大。
经过简单的计算,就知道结果了:
B6*10^1/2
我们在来做一件事,比较一下周长固定的面积最大的矩形与三角形的面积:
L^2/16与(3^1/2/36)L2。
为了方便比较,把它们换为小数:
0.0625L^2与0.048112522L^2我们发现四边形(正方形)的面积要大一些!
根据这中经验,是否可以数学归纳,提出猜想1:
在平面内曲线周长固定时,圆的面积最大!
猜想2:
在平面内曲线周长固定时,围成的n边形中,正n边形的面积最大!
事实上,第一个猜想是正确的,不过需要变分法来处理。
同样需要微积分来研究,不过是高等微积分了。
编辑本段特殊三角形
1.相似三角形
(1)形状相同但大小不同
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