九年级数学BS下345圆周角和圆心角的关系教案Word格式.docx
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=25°
.故选A.
方法总结:
解决问题的关键是熟练掌握圆周角定理.
【类型二】利用圆周角定理的推论求角的度数
如图,在⊙O中,
=
,∠A=30°
,则∠B=( )
A.150°
B.75°
C.60°
D.15°
因为
,根据“同弧或等弧所对的圆周角相等”得到∠B=∠C,因为∠A+∠B+∠C=180°
,所以∠A+2∠B=180°
,又因为∠A=30°
,所以30°
+2∠B=180°
,解得∠B=75°
.故选B.
解题的关键是掌握在同圆或等圆中,相等的两条弧所对的圆周角也相等.注意方程思想的应用.
【类型三】圆周角定理与垂径定理的综合
如图所示,AB是⊙O的一条弦,OD⊥AB,垂足为点C,交⊙O于点D,E在⊙O上.
(1)∠AOD=52°
,求∠DEB的度数;
(2)若AC=
,CD=1,求⊙O的半径.
(1)由OD⊥AB,根据垂径定理的推论可求得
,再由圆周角定理及其推论求∠DEB的度数;
(2)首先设⊙O的半径为x,然后由勾股定理得到方程解答.
解:
(1)∵AB是⊙O的一条弦,OD⊥AB,∴
,∴∠DEB=
∠AOD=
52°
=26°
;
(2)设⊙O的半径为x,则OC=OD-CD=x-1.∵OC2+AC2=OA2,∴(x-1)2+(
)2=x2,解得x=4,∴⊙O的半径为4.
本题综合考查了圆周角定理及其推论、垂径定理以及勾股定理.注意掌握数形结合思想与方程思想的应用.
【类型四】圆周角定理的推论与圆心角、弧、弦之间的关系的综合
如图,△ABC内接于⊙O,AB=AC,点D在弧AB上,连接CD交AB于点E,点B是
的中点,求证:
∠B=∠BEC.
由点B是
的中点,得∠BCE=∠BAC,即可得∠BEC=∠ACB,然后由等腰三角形的性质,证得结论.
证明:
∵B是
的中点,∴
,∴∠BCE=∠BAC.∵∠BEC=180°
-∠B-∠BCE,∠ACB=180°
-∠BAC-∠B,∴∠BEC=∠ACB.∵AB=AC,∴∠B=∠ACB,∴∠B=∠BEC.
此题考查了圆周角定理的推论以及等腰三角形的性质.解答时一定要结合图形.
【类型五】圆周角定理的推论与三角形知识的综合
如图,A、P、B、C是⊙O上四点,且∠APC=∠CPB=60°
.连接AB、BC、AC.
(1)试判断△ABC的形状,并给予证明;
(2)求证:
CP=BP+AP.
(1)利用圆周角定理可得∠BAC=∠CPB,∠ABC=∠APC,而∠APC=∠CPB=60°
,所以∠BAC=∠ABC=60°
,从而可判断△ABC的形状;
(2)在PC上截取PD=AP,则△APD是等边三角形,然后证明△APB≌△ADC,证明BP=CD,即可证得.
(1)解:
△ABC是等边三角形.证明如下:
在⊙O中,∵∠BAC与∠CPB是
所对的圆周角,∠ABC与∠APC是
所对的圆周角,∴∠BAC=∠CPB,∠ABC=∠APC.又∵∠APC=∠CPB=60°
,∴∠ABC=∠BAC=60°
,∴△ABC为等边三角形;
(2)证明:
在PC上截取PD=AP,连接AD.又∵∠APC=60°
,∴△APD是等边三角形,∴AD=AP=PD,∠ADP=60°
,即∠ADC=120°
.又∵∠APB=∠APC+∠BPC=120°
,∴∠ADC=∠APB.在△APB和△ADC中,
∴△APB≌△ADC(AAS),∴BP=CD.又∵PD=AP,∴CP=BP+AP.
本题考查了圆周角定理的理论以及三角形的全等的判定与性质,正确作出辅助线是解决问题的关键.
【类型六】圆周角定理的推论与相似三角形的综合
如图,点E是
的中点,点A在⊙O上,AE交BC于D.求证:
BE2=AE·
DE.
点E是
的中点,根据圆周角定理的推论可得∠BAE=∠CBE,可证得△BDE∽△ABE,然后由相似三角形的对应边成比例得结论.
∵点E是
的中点,即
,∴∠BAE=∠CBE.∵∠E=∠E(公共角),∴△BDE∽△ABE,∴BE∶AE=DE∶BE,∴BE2=AE·
圆周角定理的推论是和角有关系的定理,所以在圆中,解决相似三角形的问题常常考虑此定理.
板书设计
圆周角和圆心角的关系
1.圆周角的概念
2.圆周角定理
3.圆周角定理的推论
教学反思:
本节课的重点是圆周角与圆心角的关系,难点是应用所学知识灵活解题.在本节课的教学中,学生对圆周角的概念和“同弧所对的圆周角相等”这一性质较容易掌握,理解起来问题也不大,而对圆周角与圆心角的关系理解起来则相对困难,因此在教学过程中要着重引导学生对这一知识的探索与理解.还有些学生在应用知识解决问题的过程中往往会忽略同弧的问题,在教学过程中要对此予以足够的强调,借助多媒体加以突出.
第2课时圆周角和直径的关系及圆内接四边形
1.掌握圆周角和直径的关系,会熟练运用解决问题;
2.培养学生观察、分析及理解问题的能力,经历猜想、推理、验证等环节,获得正确的学习方式.(难点)
你喜欢看足球比赛吗?
你踢过足球吗?
如图②所示,甲队员在圆心O处,乙队员在圆上C处,丙队员带球突破防守到圆上C处,依然把球传给了甲,你知道为什么吗?
你能用数学知识解释一下吗?
探究点一:
圆周角和直径的关系
【类型一】利用直径所对的圆周角是直角求角的度数
如图,BD是⊙O的直径,∠CBD=30°
,则∠A的度数为( )
A.30°
B.45°
D.75°
∵BD是⊙O的直径,∴∠BCD=90°
.∵∠CBD=30°
,∴∠D=60°
,∴∠A=∠D=60°
.故选C.
在圆中,如果有直径,一般要找直径所对的圆周角,构造直角三角形解题.
【类型二】作辅助线构造直角三角形解决问题
如图,点A、B、D、E在⊙O上,弦AE、BD的延长线相交于点C.若AB是⊙O的直径,D是BC的中点.
(1)试判断AB、AC之间的大小关系,并给出证明;
(2)在上述题设条件下,当△ABC为正三角形时,点E是否为AC的中点?
为什么?
(1)连接AD,先根据圆周角定理求出∠ADB=90°
,再根据线段垂直平分线性质判断;
(2)连接BE,根据圆周角定理求出∠AEB=90°
,根据等腰三角形性质求解.
(1)AB=AC.证明如下:
连接AD,∵AB是⊙O的直径,∴∠ADB=90°
,即AD⊥BC.∵BD=DC,∴AD垂直平分BC,∴AB=AC;
(2)当△ABC为正三角形时,E是AC的中点.理由如下:
连接BE,∵AB为⊙O的直径,∴∠BEA=90°
,即BE⊥AC.∵△ABC为正三角形,∴AE=EC,即E是AC的中点.
在解决圆的问题时,如果有直径往往考虑作辅助线,构造直径所对的圆周角.
探究点二:
圆内接四边形
【类型一】圆内接四边形性质的运用
如图,四边形ABCD内接于⊙O,点E是CB的延长线上一点,∠EBA=125°
,则∠D=( )
A.65°
B.120°
C.125°
D.130°
∵∠EBA=125°
,∴∠ABC=180°
-125°
=55°
.∵四边形ABCD内接于⊙O,∴∠D+∠ABC=180°
,∴∠D=180°
-55°
=125°
解决问题关键是掌握圆内接四边形的对角互补这一性质.
【类型二】圆内接四边形与圆周角的综合
如图,在⊙O的内接四边形ABCD中,∠BOD=120°
,那么∠BCD是( )
A.120°
B.100°
C.80°
D.60°
∵∠BOD=120°
,∴∠A=60°
,∴∠C=180°
-60°
=120°
,故选A.
解决问题关键是掌握圆内接四边形的对角互补和圆周角的性质.
【类型三】圆内接四边形与垂径定理的综合
如图,AB为⊙O的直径,CF⊥AB于E,交⊙O于D,AF交⊙O于G.求证:
∠FGD=∠ADC.
利用圆内接四边形的性质求得∠FGD=∠ACD,然后根据垂径定理推知AB是CD的垂直平分线,则∠ADC=∠ACD.故∠FGD=∠ADC.
∵四边形ACDG内接于⊙O,∴∠FGD=∠ACD.又∵AB为⊙O的直径,CF⊥AB于E,∴AB垂直平分CD,∴AC=AD,∴∠ADC=∠ACD,∴∠FGD=∠ADC.
圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据.
【类型四】圆内接四边形、圆周角、相似三角形和三角函数的综合
如图,四边形ABCD内接于⊙O,AB为⊙O的直径,点C为
的中点,AC、BD交于点E.
(1)求证:
△CBE∽△CAB;
(2)若S△CBE∶S△CAB=1∶4,求sin∠ABD的值.
(1)利用圆周角定理得出∠DBC=∠BAC,根据两角对应相等得出两三角形相似,直接证明即可;
(2)利用相似三角形的性质面积比等于相似比的平方,得出AC∶BC=BC∶EC=2∶1,再利用三角形中位线的性质以及三角函数知识得出答案.
(1)证明:
∵点C为
的中点,∴∠DBC=∠BAC.在△CBE与△CAB中,∠DBC=∠BAC,∠BCE=∠ACB,∴△CBE∽△CAB;
(2)解:
连接OC交BD于F点,则OC垂直平分BD.∵S△CBE∶S△CAB=1∶4,△CBE∽△CAB,∴AC∶BC=BC∶EC=2∶1,∴AC=4EC,∴AE∶EC=3∶1.∵AB为⊙O的直径,∴∠ADB=90°
,∴AD∥OC,则AD∶FC=AE∶EC=3∶1.设FC=a,则AD=3a.∵F为BD的中点,O为AB的中点,∴OF是△ABD的中位线,则OF=
AD=1.5a,∴OC=OF+FC=1.5a+a=2.5a,则AB=2OC=5a.在Rt△ABD中,sin∠ABD=
.
圆内接四边形、圆周角等知识都是和角有关的定理,在圆中解决这方面的问题时考虑相等的角.
板书设计:
圆周角和直径的关系及圆内接四边形
1.圆周角和直径的关系
2.圆内接四边形的概念和性质
本节课采用问题情境——自主探究——拓展应用的课堂教学模式,以问题为主,配合多媒体辅助教学,引导学生进行有效思考.在教学过程中,通过问题串启发引导,学生自主探究,创设情境等多种教学方式,激发学生学习兴趣,调动课堂气氛,收到了很好的教学效果.
3.5确定圆的条件
1.理解平面内确定一个圆的条件,掌握经过不在同一直线上三个点作圆的方法;
2.理解三角形的外接圆、三角形外心等概念;
3.利用三角形外心解决实际问题.(难点)
经过一点可以作无数条直线.经过两点只能作一条直线.那么经过一点能作几个圆?
经过两点、三点呢?
确定圆的条件
【类型一】判断确定圆的条件
下列关于确定一个圆的说法中,正确的是( )
A.三个点一定能确定一个圆
B.以已知线段为半径能确定一个圆
C.以已知线段为直径能确定一个圆
D.菱形的四个顶点能确定一个圆
A.不在同一直线上的三点可确定一个圆,没有强调不在同一直线上,错误;
B.以已知线段为半径能确定2个圆,分别以线段的两个端点为圆心,错误;
C.以已知线段为直径能确定一个圆,此时圆心为线段的中点,半径为线段长度的一半,正确;
D.菱形的四个顶点不一定能确定一个圆,错误.故选C.
解答本题的关键是仔细分析各个选项能否满足确定一个圆的条件.
【类型二】经过不在同一直线上的三个点作一个圆
已知:
不在同一直线上的三个已知点A,B,C(如图),求作:
⊙O,使它经过点A,B,C.
根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等,作出边AB、BC的垂直平分线并相交于点O,以O为圆心,以OA为半径,作出圆即可.
(1)连接AB、BC;
(2)分别作出线段AB、BC的垂直平分线DE、GF,两垂直平分线相交于点O,则点O就是所求作的⊙O的圆心;
(3)以点O为圆心,OC长为半径作圆.则⊙O就是所求作的圆.
线段垂直平分线的作法,需熟练掌握.
三角形的外接圆
【类型一】利用三角形的外接圆、外心求角的度数
如图,在△ABC中,点O在边AB上,且点O为△ABC的外心,求∠ACB的度数.
由点O为△ABC的外心,可得OA=OB=OC,由等边对等角的性质可得∠OAC=∠OCA,∠OCB=∠OBC,又由三角形内角和定理,可求得∠ACB=90°
∵点O为△ABC的外心,∴OA=OB=OC,∴∠OAC=∠OCA,∠OCB=∠OBC.∵∠OAC+∠OCA+∠OCB+∠OBC=180°
,∴∠OCA+∠OCB=90°
,即∠ACB=90°
熟记三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等是解题的关键.
【类型二】三角形外接圆在平面直角坐标系中的应用
如图,将△AOB置于平面直角坐标系中,O为原点,∠ABO=60°
,若△AOB的外接圆与y轴交于点D(0,3).
(1)求∠DAO的度数;
(2)求点A的坐标和△AOB外接圆的面积.
(1)利用圆周角定理的推论即可直接求解;
(2)在直角△AOD中利用三角函数即可求得OA和AD的长,则A的坐标即可求得,然后利用圆的面积公式求解.
(1)∵∠ADO=∠ABO=60°
,∠DOA=90°
,∴∠DAO=30°
(2)∵点D的坐标是(0,3),∴OD=3.在直角△AOD中,OA=OD·
tan∠ADO=3
,AD=2OD=6,∴点A的坐标是(3
,0).∵∠AOD=90°
,∴AD是圆的直径,∴△AOB外接圆的面积是9π.
图形中求三角形外接圆的面积时,关键是确定外接圆的直径(或半径)长度.
1.确定圆的条件
经过不在同一直线的三个点确定一个圆.
2.三角形的外接圆和外心的概念
3.三角形的外接圆的应用
本节课通过问题导入激发了学生的学习兴趣,通过探究题的设计,调动了学生学习的积极性、主动性,提高了课堂效率.本堂课首先充分调动了学生的积极性,不论从回答问题还是画图点评都比预想的结果要好,碰到难题主动交流,小组合作非常默契.
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