RSA算法原理二Word文档下载推荐.docx
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爱丽丝就把61和53相乘。
n=61×
53=3233
n的长度就是密钥长度。
3233写成二进制是110010100001,一共有12位,所以这个密钥就是12位。
实际应用中,RSA密钥一般是1024位,重要场合则为2048位。
第三步,计算n的欧拉函数φ(n)。
根据公式:
φ(n)=(p-1)(q-1)
爱丽丝算出φ(3233)等于60×
52,即3120。
第四步,随机选择一个整数e,条件是1<
e<
φ(n),且e与φ(n)互质。
爱丽丝就在1到3120之间,随机选择了17。
(实际应用中,常常选择65537。
第五步,计算e对于φ(n)的模反元素d。
所谓"
模反元素"
就是指有一个整数d,可以使得ed被φ(n)除的余数为1。
ed≡1(modφ(n))
这个式子等价于
ed-1=kφ(n)
于是,找到模反元素d,实质上就是对下面这个二元一次方程求解。
ex+φ(n)y=1
已知e=17,φ(n)=3120,
17x+3120y=1
这个方程可以用"
扩展欧几里得算法"
求解,此处省略具体过程。
总之,爱丽丝算出一组整数解为(x,y)=(2753,-15),即d=2753。
至此所有计算完成。
第六步,将n和e封装成公钥,n和d封装成私钥。
在爱丽丝的例子中,n=3233,e=17,d=2753,所以公钥就是(3233,17),私钥就是(3233,2753)。
实际应用中,公钥和私钥的数据都采用ASN.1格式表达(实例)。
七、RSA算法的可靠性
回顾上面的密钥生成步骤,一共出现六个数字:
p
q
n
φ(n)
e
d
这六个数字之中,公钥用到了两个(n和e),其余四个数字都是不公开的。
其中最关键的是d,因为n和d组成了私钥,一旦d泄漏,就等于私钥泄漏。
那么,有无可能在已知n和e的情况下,推导出d?
(1)ed≡1(modφ(n))。
只有知道e和φ(n),才能算出d。
(2)φ(n)=(p-1)(q-1)。
只有知道p和q,才能算出φ(n)。
(3)n=pq。
只有将n因数分解,才能算出p和q。
结论:
如果n可以被因数分解,d就可以算出,也就意味着私钥被破解。
可是,大整数的因数分解,是一件非常困难的事情。
目前,除了暴力破解,还没有发现别的有效方法。
维基百科这样写道:
"
对极大整数做因数分解的难度决定了RSA算法的可靠性。
换言之,对一极大整数做因数分解愈困难,RSA算法愈可靠。
假如有人找到一种快速因数分解的算法,那么RSA的可靠性就会极度下降。
但找到这样的算法的可能性是非常小的。
今天只有短的RSA密钥才可能被暴力破解。
到2008年为止,世界上还没有任何可靠的攻击RSA算法的方式。
只要密钥长度足够长,用RSA加密的信息实际上是不能被解破的。
"
举例来说,你可以对3233进行因数分解(61×
53),但是你没法对下面这个整数进行因数分解。
12301866845301177551304949
58384962720772853569595334
79219732245215172640050726
36575187452021997864693899
56474942774063845925192557
32630345373154826850791702
61221429134616704292143116
022*********
351419597459856902143413
它等于这样两个质数的乘积:
33478071698956898786044169
84821269081770479498371376
85689124313889828837938780
814467999489
×
36746043666799590428244633
79962795263227915816434308
76426760322838157396665112
79233373417143396810270092
798736308917
事实上,这大概是人类已经分解的最大整数(232个十进制位,768个二进制位)。
比它更大的因数分解,还没有被报道过,因此目前被破解的最长RSA密钥就是768位。
八、加密和解密
有了公钥和密钥,就能进行加密和解密了。
(1)加密要用公钥(n,e)
假设鲍勃要向爱丽丝发送加密信息m,他就要用爱丽丝的公钥(n,e)对m进行加密。
这里需要注意,m必须是整数(字符串可以取ascii值或unicode值),且m必须小于n。
加密"
,就是算出下式的c:
me
≡c(modn)
爱丽丝的公钥是(3233,17),鲍勃的m假设是65,那么可以算出下面的等式:
6517
≡2790(mod3233)
于是,c等于2790,鲍勃就把2790发给了爱丽丝。
(2)解密要用私钥(n,d)
爱丽丝拿到鲍勃发来的2790以后,就用自己的私钥(3233,2753)进行解密。
可以证明,下面的等式一定成立:
cd
≡m(modn)
也就是说,c的d次方除以n的余数为m。
现在,c等于2790,私钥是(3233,2753),那么,爱丽丝算出
27902753
≡65(mod3233)
因此,爱丽丝知道了鲍勃加密前的原文就是65。
至此,"
加密--解密"
的整个过程全部完成。
我们可以看到,如果不知道d,就没有办法从c求出m。
而前面已经说过,要知道d就必须分解n,这是极难做到的,所以RSA算法保证了通信安全。
你可能会问,公钥(n,e)只能加密小于n的整数m,那么如果要加密大于n的整数,该怎么办?
有两种解决方法:
一种是把长信息分割成若干段短消息,每段分别加密;
另一种是先选择一种"
对称性加密算法"
(比如DES),用这种算法的密钥加密信息,再用RSA公钥加密DES密钥。
九、私钥解密的证明
最后,我们来证明,为什么用私钥解密,一定可以正确地得到m。
也就是证明下面这个式子:
因为,根据加密规则
me
于是,c可以写成下面的形式:
c=me
-kn
将c代入要我们要证明的那个解密规则:
(me
-kn)d
它等同于求证
med
由于
所以
ed=hφ(n)+1
将ed代入:
mhφ(n)+1
接下来,分成两种情况证明上面这个式子。
(1)m与n互质。
根据欧拉定理,此时
mφ(n)
≡1(modn)
得到
(mφ(n))h
×
m≡m(modn)
原式得到证明。
(2)m与n不是互质关系。
此时,由于n等于质数p和q的乘积,所以m必然等于kp或kq。
以m=kp为例,考虑到这时k与q必然互质,则根据欧拉定理,下面的式子成立:
(kp)q-1
≡1(modq)
进一步得到
[(kp)q-1]h(p-1)
kp≡kp(modq)
即
(kp)ed
≡kp(modq)
将它改写成下面的等式
=tq+kp
这时t必然能被p整除,即t=t'
p
=t'
pq+kp
因为m=kp,n=pq,所以
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