第2部分 4理立体几何与空间向量理文档格式.docx
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B.AC⊥EF
C.AC与BD在β内的射影在同一条直线上
D.AC与α、β所成的角相等
[解析] 因为BD是AC在平面α内的射影,所以只需得到AC⊥EF,那么由三垂线定理的逆定理可得BD⊥EF.对于选项A,因为AC⊥β,EF⊂β⇒AC⊥EF⇒BD⊥EF.选项B,因为AC⊥EF,所以BD⊥EF.对于选项C,可得平面ABDC⊥β,所以BD⊥EF.对于选项D,AC与α、β所成的角相等,无法保证AC⊥EF.综上知选D.
5.设m、n是两条不同的直线,α、β是两个不同的平面,则下列命题不正确的是( )
A.若m⊥n,m⊥α,n⊄α,则n∥α
B.若m⊥β,α⊥β,则m∥α或m⊂α
C.若m⊥n,m⊥α,n⊥β,则α⊥β
D.若m∥α,α⊥β,则m⊥β
[解析] 对于选项D,当直线m位于平面β内且与平面α,β的交线平行时,直线m∥α,显然m与平面β不垂直,因此选项D不正确.
6.已知正四面体A-BCD,设异面直线AB与CD所成的角为α,侧棱AB与底面BCD所成的角为β,侧面ABC与底面BCD所成的角为γ,则( )
A.α>
β>
γB.α>
γ>
β
C.β>
α>
γD.γ>
α
[解析] 如图,设底面BCD的中心为点O,连接AO,BO,易知∠ABO=β,取BC的中点E,连接AE、OE,易知∠AEO=γ,在正三角形BCD中,OB>
OE,因此0<
β<
γ<
,延长BO交CD于F,则BF⊥CD,又AO⊥CD,
∴CD⊥平面ABF.∴CD⊥AB,即α=.∴α>
β.
7.如图,在△ABC中,AB⊥AC,若AD⊥BC,则AB2=BD·
BC;
类似地有命题:
在三棱锥A-BCD中,AD⊥平面ABC,若A点在平面BCD内的射影为M,则有S=S△BCM·
S△BCD.上述命题是( )
A.真命题
B.增加条件“AB⊥AC”才是真命题
C.增加条件“M为△BCD的垂心”才是真命题
D.增加条件“三棱锥A-BCD是正三棱锥”才是真命题
[答案] A
[解析] 因为AD⊥平面ABC,所以AD⊥AE,AD⊥BC,在△ADE中,AE2=ME·
DE,又A点在平面BCD内的射影为M,所以AM⊥平面BCD,AM⊥BC,所以BC⊥平面ADE,所以BC⊥DE,将S△ABC、S△BCM、S△BCD分别表示出来,可得S=S△BCM·
S△BCD,故选A.
8.(2015·
德州市期末)如图所示,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,AD=3,AA1=2,点P是B1C的三等分点且靠近点C,则异面直线AP和DD1所成的角为( )
A.B.
C.D.
[答案] C
[解析]
如图,过点P作PN⊥BC于点N,连接AN,则PN∥BB1,而DD1∥BB1,所以DD1∥PN,所以∠APN就是异面直线AP和DD1所成的角.因为点P是B1C的三等分点且靠近点C,且AB=2,AD=3,AA1=2,所以PN=BB1=,BN=BC=2.在Rt△ABN中,AN=2,在Rt△ANP中,tan∠APN===,所以∠APN=.
9.(2015·
浙江文,7)如图,斜线段AB与平面α所成的角为60°
,B为斜足,平面α上的动点P满足∠PAB=30°
,则点P的轨迹是( )
A.直线B.抛物线
C.椭圆D.双曲线的一支
[解析] 考查1.圆锥曲线的定义;
2.线面位置关系.
由题可知,当P点运动时,在空间中,满足条件的AP绕AB旋转形成一个圆锥,用一个与圆锥高成60°
角的平面截圆锥,所得图形为椭圆.故选C.
10.(2015·
济南市模拟)类比平面内“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的性质,可得出空间内的下列结论:
①垂直于同一个平面的两条直线互相平行;
②垂直于同一条直线的两条直线互相平行;
③垂直于同一个平面的两个平面互相平行;
④垂直于同一条直线的两个平面互相平行.
则正确的结论是( )
A.①②B.②③
C.③④D.①④
[解析] 显然①④正确;
对于②,在空间中垂直于同一条直线的两条直线可以平行,也可以异面或相交;
对于③,在空间中垂直于同一个平面的两个平面可以平行,也可以相交(如长方体相邻两侧面与底面).
11.(2014·
郑州市质检)如图,四边形ABCD中,AB=AD=CD=1,BD=,BD⊥CD.将四边形ABCD沿对角线BD折成四面体A′-BCD,使平面A′BD⊥平面BCD,则下列结论正确的是( )
A.A′C⊥BD
B.∠BA′C=90°
C.CA′与平面A′BD所成的角为30°
D.四面体A′-BCD的体积为
取BD的中点O,∵A′B=A′D,∴A′O⊥BD,又平面A′BD⊥平面BCD,平面A′BD∩平面BCD=BD,∴A′O⊥平面BCD,∵CD⊥BD,∴OC不垂直于BD.假设A′C⊥BD,∵OC为A′C在平面BCD内的射影,∴OC⊥BD,矛盾,∴A′C不垂直于BD,A错误;
∵CD⊥BD,平面A′BD⊥平面BCD,∴CD⊥平面A′BD,A′C在平面A′BD内的射影为A′D,∵A′B=A′D=1,BD=,∴A′B⊥A′D,A′B⊥A′C,B正确;
∠CA′D为直线CA′与平面A′BD所成的角,∠CA′D=45°
,C错误;
VA′-BCD=S△A′BD·
CD=,D错误,故选B.
12.(2014·
唐山市二模)直三棱柱ABC-A1B1C1的所有顶点都在半径为的球面上,AB=AC=,AA1=2,则二面角B-AA1-C的余弦值为( )
A.-B.-
C.D.
[解析] 如图,设球心为O,底面△ABC外接圆的圆心为O′,则OA=OB=OC=,OO′=1,∴O′A=O′B=O′C=1,∴BC=,∴△ABC为正三角形,∴二面角B-AA1-C的平面角BAC=60°
,∴二面角B-AA1-C的余弦值为.
二、填空题(本大题共4个小题,每小题5分,共20分,将正确答案填在题中横线上)
13.(2015·
枣庄四校联考)在正三棱锥P-ABC中,M,N分别是PB,PC的中点,若截面AMN⊥平面PBC,且三棱锥P-ABC的侧面积为S1,底面积为S2,则=________.
[答案] 2
取线段BC的中点D,连接PD交MN于H,连接AD,AH.因为M,N分别是PB,PC的中点,所以H为PD的中点,AH⊥MN,又平面AMN⊥平面PBC,平面AMN∩平面PBC=MN,所以AH⊥平面PBC,从而AH垂直且平分PD,则PA=AD,设AB=a,则PA=AD=a,所以侧面积S1=a2,底面积S2=a2,则=2.
14.(2015·
胶东示范校质检)如图,在平面四边形ABDC中,已知AB⊥BC,CD⊥BD,AB=BC,现将四边形ABDC沿BC折起,使平面ABC⊥平面BDC,设E,F分别为棱AC,AD的中点,若CD=2,∠BCD=60°
,则VA-BFE=________.
[答案]
因为平面ABC⊥平面BDC,AB⊥BC,所以AB⊥平面BDC,所以AB⊥CD,又CD⊥BD,AB∩BD=B,所以DC⊥平面ABD,因为E,F分别为棱AC,AD的中点,所以EF⊥平面ABD,所以VA-BFE=VE-ABF,在Rt△BCD中,CD=2,∠BCD=60°
,所以BD=2,BC=4,又AB=BC,所以AB=4,因为E,F分别为棱AC,AD的中点,所以EF=1,
所以VA-BFE=VE-ABF=×
1×
S△ABF=·
(S△ABD)
=×
×
4=.
15.设C是∠AOB所在平面外的一点,若∠AOB=∠BOC=∠AOC=θ,其中θ是锐角,而OC和平面AOB所成角的余弦值等于,则θ的值为________.
[答案] 60°
[解析] 作CC1⊥平面AOB于点C1,C1A1⊥OA于点A1,C1B1⊥OB于点B1,连接OC1,则∠COC1为直线OC与平面AOB所成的角,且OC1是∠AOB的平分线,
设OA1=x,则OC=,
OC1=,
易求得cos∠COC1===,
即2cos2-cos-1=0,解之得
cos=或cos=-(舍去),
故=30°
,所以θ=60°
.
16.如图,正方形BCDE的边长为a,已知AB=BC,将直角△ABE沿BE边折起,A点在面BCDE上的射影为D点,则翻折后的几何体中有如下描述:
①AB与DE所成角的正切值是;
②VB-ACE的体积是a3;
③AB∥CD;
④平面EAB⊥平面ADE;
⑤直线BA与平面ADE所成角的正弦值为.
其中正确的叙述有________(写出所有正确结论的编号).
[答案] ①②④⑤
[解析] 由题意可得如图所示的几何体,对于①,AB与DE所成角为∠ABC,在△ABC中,∠ACB=90°
,AC=a,BC=a,所以tan∠ABC=,故①正确;
对于②,VB-ACE=VA-ECB=×
a×
a=a3,故②正确;
③明显错误;
对于④,因为AD⊥平面BCDE,所以AD⊥BE,又因为DE⊥BE,所以BE⊥平面ADE,可得平面EAB⊥平面ADE,故④正确;
对于⑤,由④可知,∠BAE即为直线BA与平面ADE所成的角,在△ABE中,∠AEB=90°
,AB=a,BE=a,所以sin∠BAE=,故⑤正确.
三、解答题(本大题共6个小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本题满分10分)如图,直三棱柱ABC-A1B1C1中,△ABC是等边三角形,D是BC的中点.
(1)求证:
直线A1D⊥B1C1;
(2)判断A1B与平面ADC1的位置关系,并证明你的结论.
[解析]
(1)在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1⊥平面ABC,所以AA1⊥BC,
在等边△ABC中,D是BC中点,所以AD⊥BC,
因为在平面A1AD中,A1A∩AD=A,
所以BC⊥平面A1AD,
又因为A1D⊂平面A1AD,所以A1D⊥BC,
在直三棱柱ABC-A1B1C1中,四边形BCC1B1是平行四边形,所以B1C1∥BC,所以,A1D⊥B1C1.
(2)在直三棱柱ABC-A1B1C1中,四边形ACC1A1是平行四边形,在平行四边形ACC1A1中连接A1C,交AC1于点O,连接DO.故O为A1C的中点.
在三角形A1CB中,D为BC中点,O为A1C中点,故DO∥A1B.
因为DO⊂平面ADC1,A1B⊄平面ADC1,
所以,A1B∥平面ADC1,
故A1B与平面ADC1平行.
18.(本题满分12分)
(2015·
山西太原市模拟)如图,四棱锥P-ABCD的底面ABCD是平行四边形,∠DAB=60°
,AB=2AD=2,PD⊥平面ABCD.
AD⊥PB;
(2)若BD与平面PBC的所成角为30°
,求四面体P-BCD的体积.
[解析]
(1)证明:
在△ABD中,∠DAB=60°
,AB=2AD=2,
由余弦定理得BD2=AB2+AD2-2AB·
ADcos∠DAB=3,
∴AB2=AD2+BD2,∴∠ADB=90°
,
∴AD⊥BD,
∵PD⊥平面ABCD,
∴PD⊥AD,
∴AD⊥平面PBD,
∴AD⊥PB;
(2)过D作DE⊥PB,垂足为E,
∵ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,
由
(1)得AD⊥平面PBD,∴BC⊥平面PBD,
∴平面PBC⊥平面PBD,
∴DE⊥平面PBC,
∴BD与平面PBC的所成角为∠DBE=30°
由
(1)得BD=,DP=BD·
tan∠DBE=1,
∴VP-BCD=S△BCD·
DP=×
BD·
BC·
DP=.
19.(本题满分12分)(2014·
成都一诊)如图,PO⊥平面ABCD,点O在AB上,EA∥PO,四边形ABCD为直角梯形,BC⊥AB,BC=CD=BO=PO,EA=AO=CD.
PE⊥平面PBC;
(2)直线PE上是否存在点M,使DM∥平面PBC,若存在,求出点M;
若不存在,说明理由.
(3)求二面角E-BD-A的余弦值.
∵EA∥OP,AO⊂平面ABP,
∴点A,B,P,E共面.
∵PO⊥平面ABCD,PO⊂平面PEAB.
∴平面PEAB⊥平面ABCD,
∵BC⊂平面ABCD,BC⊥AB,平面PEAB∩平面ABCD=AB,
∴BC⊥平面PEAB,∴PE⊥BC.
由平面几何知识知PE⊥PB,又BC∩PB=B,
∴PE⊥平面PBC.
(2)点E即为所求的点,即点M与点E重合.取PB的中点F,连接EF、CF、DE,延长PE交BA的延长线于H,则E为PH的中点,O为BH的中点,∴EF綊OB,
又OB綊CD,∴EF∥CD,且EF=DC,
∴四边形DCFE为平行四边形,所以DE∥CF.
∵CF在平面PBC内,DE不在平面PBC内,
∴DE∥平面PBC.
(3)由已知可知四边形BCDO是正方形,显然OD、OB、OP两两垂直,如图建立空间直角坐标系,设DC=1,
则B(0,1,0),D(1,0,0),E(0,-,),
设平面BDE的一个法向量为n1=(x,y,z),
=(1,-1,0),=(0,-,),
即
取y=1,则x=1,z=3,从而n1=(1,1,3).
取平面ABD的一个法向量为n2=(0,0,1).
cos〈n1,n2〉===,
故二面角E-BD-A的余弦值为.
20.(本题满分12分)(2015·
江西省质检)已知斜四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是矩形,侧面CC1D1D垂直于底面ABCD,BC=2AB=DC1=2,BD1=2.
平面AB1C1D⊥平面ABCD;
(2)点E是棱BC的中点,求二面角A1-AE-D的余弦值.
[解析]
(1)连接CD1,设CD1∩DC1=F,则F是CD1,DC1的中点,
因为底面ABCD是矩形,所以BC⊥CD,
又平面ABCD⊥平面CC1D1D,
所以BC⊥平面CC1D1D,所以BC⊥CD1,
由BD1=2,BC=2,得CD1=2,CF=.
在△DFC中,DF=DC1=1,CD=1.
所以CD2+DF2=CF2,所以DF⊥DC,
又BC⊥平面CC1D1D得DF⊥BC,所以DF⊥平面ABCD,DF⊂平面AB1C1D,
所以平面AB1C1D⊥平面ABCD;
(2)由
(1)可以点D为原点,DA,DC,DC1所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,则平面DAE的法向量n==(0,0,2),
设平面A1AE的法向量为m=(x,y,z),
因为=(2,0,0),=(1,1,0),==(0,-1,2),所以=(-1,1,0),
由m·
=0得-x+y=0,
=0得-y+2z=0,
令z=1,得m=(2,2,1),
所以cos〈m,n〉==,
即所求二面角的余弦值为.
21.(本题满分12分)如图①,边长为1的正方形ABCD中,点E、F分别为AB、BC的中点,将△BEF剪去,将△AED、△DCF分别沿DE、DF折起,使A、C两点重合于点P,得一三棱锥如图②所示.
PD⊥EF;
(2)求三棱锥P-DEF的体积;
(3)求DE与平面PDF所成角的正弦值.
[解析]
(1)依题意知图①折前AD⊥AE,CD⊥CF,
∴折起后PD⊥PE,PF⊥PD,
∵PE∩PF=P,∴PD⊥平面PEF.
又∵EF⊂平面PEF,∴PD⊥EF.
(2)依题意知图①中AE=CF=,∴PE=PF=,在△BEF中EF=BE=,
在△PEF中,PE2+PF2=EF2,∴PE⊥PF,
∴S△PEF=·
PE·
PF=·
·
=,
∴VP-DEF=VD-PEF=S△PEF·
PD=×
1=.
(3)由
(2)知PE⊥PF,又PE⊥PD,∴PE⊥平面PDF,
∴∠PDE为DE与平面PDF所成的角.
在Rt△PDE中,
∵DE===,PE=,
∴sin∠PDE===.
22.(本题满分12分)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,H是正方形AA1B1B的中心,AA1=2,C1H⊥平面AA1B1B,且C1H=.
(1)求异面直线AC与A1B1所成角的余弦值;
(2)求二面角A-A1C1-B1的正弦值;
(3)设N为棱B1C1的中点,点M在平面AA1B1B内,且MN⊥平面A1B1C1,求线段BM的长.
如图所示,建立空间直角坐标系,点B为坐标原点.依题意得A(2,0,0),B(0,0,0),C(,-,),A1(2,2,0),B1(0,2,0),C1(,,).
(1)易得=(-,-,),=(-2,0,0),于是cos〈,〉===.
所以异面直线AC与A1B1所成角的余弦值为.
(2)易知=(0,2,0),=(-,-,).
设平面AA1C1的法向量m=(x,y,z),则
不妨令x=,可得m=(,0,).
同样的,设平面A1B1C1的法向量n=(x,y,z),则
不妨令y=,可得n=(0,,).
于是cos〈m,n〉===,
从而sin〈m,n〉=.
所以二面角A-A1C1-B1的正弦值为.
(3)由N为棱B1C1的中点,得N.
设M(a,b,0),则=,
由MN⊥平面A1B1C1,得
解得故M,因此=,
所以线段BM的长||=.
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