高考最新普通高等学校招生全国统一考试天津卷.docx

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高考最新普通高等学校招生全国统一考试天津卷

2018年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）

数学（理工类）

本试卷分第一卷（选择题）和第二卷（非选择题）两部分，共150分.考试用时120分钟.

第Ⅰ卷（选择题共60分）

参考公式：

如果事件A、B互斥，那么

如果事件A、B相互独立，那么

柱体（棱柱、圆柱）的体积公式

其中S表示柱体的底面积，h表示柱体的高

一、选择题：

本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

（1）i是虚数单位，=（A）（B）（C）（D）

（2）不等式的解集为（A）（B）

（C）（D）

（3）若平面向量与向量的夹角是，且，则（A）（B）（C）（D）

（4）设P是双曲线上一点，双曲线的一条渐近线方程为、F2分别是双曲线的左、右焦点，若，则

（A）1或5（B）6（C）7（D）9

（5）若函数在区间上的最大值是最小值的3倍，则a=（A）（B）（C）（D）

（6）如图，在棱长为2的正方体中，O是底面ABCD的中心，E、F分别是、AD的中点，那么异面直线OE和所成的角的余弦值等于

（A）（B）

（C）（D）

（7）若为圆的弦AB的中点，则直线AB的方程是（A）（B）

（C）（D）

（8）已知数列，那么“对任意的，点都在直线上”是“为等差数列”的

（A）必要而不充分条件（B）充分而不必要条件

（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件

（9）函数为增函数的区间是（A）（B）（C）（D）

（10）如图，在长方体中，AB=6，AD=4，。

分别过BC、的两个平行截面将长方体分成三部分，其体积分别记为，，.

若，则截面的面积为

（A）（B）（C）（D）16

（11）函数（）的反函数是（A）（B）

（C）（D）

（12）定义在R上的函数既是偶函数又是周期函数，若的最小正周期是，且当时，，则的值为

（A）（B）（C）（D）

第Ⅱ卷（非选择题共90分）

二、填空题：

本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上.

（13）某工厂生产A、B、C三种不同型号的产品，产品数量之比依次为，现用分层抽样方法抽出一个容量为n的样本，样本中A种型号产品有16件.那么此样本的容量n=.

（14）如果过两点和的直线与抛物线没有交点，那么实数a的取值范围是.

（15）若，则

.（用数字作答）

（16）从1，3，5，7中任取2个数字，从0，2，4，6，8中任取2个数字，组成没有重复数字的四位数，其中能被5整除的四位数共有个.（用数字作答）

三、解答题：

本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

（17）（本小题满分12分）

已知，

（1）求的值；

（2）求的值.

（18）（本小题满分12分）

从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量表示所选3人中女生的人数.

（Ⅰ）求的分布列；

（Ⅱ）求的数学期望；

（Ⅲ）求“所选3人中女生人数”的概率.

（19）（本小题满分12分）

如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F.

（Ⅰ）证明PA//平面EDB；

（Ⅱ）证明PB⊥平面EFD；

（Ⅲ）求二面角C—PB—D的大小.

（20）（本小题满分12分）

已知函数在处取得极值.

（Ⅰ）讨论和是函数的极大值还是极小值；

（Ⅱ）过点作曲线的切线，求此切线方程.

（21）（本小题满分12分）

已知定义在R上的函数和数列满足下列条件：

，

，其中a为常数，k为非零常数.

（Ⅰ）令，证明数列是等比数列；

（Ⅱ）求数列的通项公式；

（Ⅲ）当时，求.

（22）（本小题满分14分）

椭圆的中心是原点O，它的短轴长为，相应于焦点F（c，0）（）的准线与x轴相交于点A，|OF|=2|FA|，过点A的直线与椭圆相交于P、Q两点.

（Ⅰ）求椭圆的方程及离心率；

（Ⅱ）若，求直线PQ的方程；

（Ⅲ）设（），过点P且平行于准线的直线与椭圆相交于另一点M，证明.

2018年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）

数学（理工类）参考解答

一、选择题：

本题考查基本知识和基本运算.每小题5分，满分60分.

（1）D

（2）A（3）A（4）C（5）A（6）B

（7）A（8）B（9）C（10）C（11）D（12）D

二、填空题：

本题考查基本知识和基本运算，每小题4分，满分16分。

（13）80（14）（15）2018（16）300

三、解答题：

（17）本小题考查两角和正切公式，倍角的正弦、余弦公式等基础知识，考查基本运算能.力满分12分.

（1）解：

.

由，有.

解得.

（2）解法一：

.

解法二：

由

（1），，得

∴.

∴.

于是，

.

代入得.

（18）本小题考查离散型随机变量分布列和数学期望等概念，考查运用概率知识解决实际问题的能力.满分12分.

（1）解：

可能取的值为0，1，2。

。

所以，的分布列为

0

1

2

P

（2）解：

由

（1），的数学期望为

（3）解：

由

（1），“所选3人中女生人数”的概率为

（19）本小题考查直线与平面平行，直线与平面垂直，二面角等基础知识，考查空间想象能力和推理论证能力.满分12分.

方法一：

（1）证明：

连结AC，AC交BD于O，连结EO。

∵底面ABCD是正方形，∴点O是AC的中点

在中，EO是中位线，∴PA//EO

而平面EDB且平面EDB，

所以，PA//平面EDB

（2）证明：

∵PD⊥底面ABCD且底面ABCD，∴

∵PD=DC，可知是等腰直角三角形，而DE是斜边PC的中线，

∴.①

同样由PD⊥底面ABCD，得PD⊥BC.

∵底面ABCD是正方形，有DC⊥BC，∴BC⊥平面PDC。

而平面PDC，∴.②

由①和②推得平面PBC.

而平面PBC，∴

又且，所以PB⊥平面EFD.

（3）解：

由

（2）知，，故是二面角C—PB—D的平面角.

由

（2）知，.

设正方形ABCD的边长为a，则,

，

.

在中，。

在中，，∴.

所以，二面角C—PB—D的大小为.

方法二：

如图所示建立空间直角坐标系，D为坐标原点，设.

（1）证明：

连结AC，AC交BD于G，连结EG.

依题意得.

∵底面ABCD是正方形，∴G是此正方形的中心，故点G的坐标为且

.

∴，这表明PA//EG.

而平面EDB且平面EDB，∴PA//平面EDB.

（2）证明；依题意得，。

又，故.

∴.

由已知，且，所以平面EFD.

（3）解：

设点F的坐标为，，则

.

从而.所以

.

由条件知，，即

，解得

∴点F的坐标为，且

，

∴

即，故是二面角C—PB—D的平面角.

∵，且

，，

∴.

∴.

所以，二面角C—PB—D的大小为.

（20）本小题考查函数和函数极值的概念，考查运用导数研究函数性质和求曲线切线的方法，以及分析和解决问题的能力。

满分12分.

（1）解：

，依题意，，即

解得.∴.

令，得.

若，则，故

在上是增函数，

在上是增函数.

若，则，故

在上是减函数.

所以，是极大值；是极小值.

（2）解：

曲线方程为，点不在曲线上.

设切点为，则点M的坐标满足.

因，故切线的方程为

注意到点A（0，16）在切线上，有

化简得，解得.

所以，切点为，切线方程为.

（21）本小题主要考查函数、数列、等比数列和极限等概念，考查灵活应用数学知识分析问题和解决问题的能力.满分12分.

（1）证明：

由，可得

.

由数学归纳法可证.

由题设条件，当时

因此，数列是一个公比为k的等比数列.

（2）解：

由

（1）知，

当时，

当时，.

而

所以，当时

.

上式对也成立。

所以，数列的通项公式为

当时

.

上式对也成立，所以，数列的通项公式为

，

（2）解：

当时

（22）本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质，直线方程，平面向量的计算，曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法和综合解题能力.满分14分.

（1）解：

由题意，可设椭圆的方程为.

由已知得

解得

所以椭圆的方程为，离心率.

（2）解：

由

（1）可得A（3，0）.

设直线PQ的方程为.由方程组

得

依题意，得.

设，则

，①.②

由直线PQ的方程得.于是

.③

∵，∴.④

由①②③④得，从而.

所以直线PQ的方程为或

（2）证明：

.由已知得方程组

注意，解得

因，故

.

而，所以

.