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.
故选A.
6.如图所示的正方形网格中,网格线的交点称为格点.已知A、B是两格点,如果C也是图中的格点,且使得?
ABC为等腰三角形,则点C的个数是( )
6
7
8
9
如上图:
分情况讨论.
AB为等腰?
ABC底边时,符合条件的C点有4个;
ABC其中的一条腰时,符合条件的C点有4个.
故选C.
7.如图,一艘海轮位于灯塔P的南偏东70°
方向的M处,它以每小时40海里的速度向正北方向航行,2小时后到达位于灯塔P的北偏东40°
的N处,则N处与灯塔P的距离为( )
40海里
60海里
70海里
80海里
MN=2×
40=80(海里),
M=70°
,?
N=40°
NPM=180°
M﹣?
N=180°
﹣70°
﹣40°
=70°
NPM=?
M,
NP=MN=80(海里).
故选D.
2、填空题
8.如图所示,在?
ABC中,AB=AC,点D、E在BC边上,?
ABD=?
DAE=?
EAC=36°
,则图中共有等腰三角形的个数是 6 .
9.如图,在?
ABC中,?
B与?
C的平分线交于点O,过点O作DE?
BC,分别交AB、AC于点D、E.若AB=5,AC=4,则?
ADE的周长是 9 .
10.如图,AD是?
ABC的边BC上的高,由下列条件中的某一个就能推出?
ABC是等腰三角形的是 ?
.
BAD=?
ACD;
CAD;
AB+BD=AC+CD;
AB﹣BD=AC﹣CD.
三、解答题(共3小题,满分0分)
11.证明题:
如图所示,在?
ABC中,AB=AC,?
APB?
APC,求证:
PB?
PC.
证明:
假设PB?
PC不成立,则PB=PC,?
PBC=?
PCB;
又?
ABC=?
ACB;
ABP=?
ACP;
ABP?
ACP,
APB=?
APC;
与?
APC相矛盾.因而PB=PC不成立,则PB?
12.如图,在?
ABC中,AB=AC,AD是高,AM是?
ABC外角?
CAE的平分线.
(1)用尺规作图方法,作?
ADC的平分线DN;
(保留作图痕迹,不写作法和证明)
(2)设DN与AM交于点F,判断?
ADF的形状.(只写结果)
(1)如图所示:
(2)?
ADF的形状是等腰直角三角形,
理由是:
AB=AC,AD?
BC,
CAD,
AF平分?
EAC,
EAF=?
FAC,
FAD=?
FAC+?
DAC=
EAC+
BAC=
×
180°
=90°
即?
ADF是直角三角形,
EAC=2?
B+?
AF?
AFD=?
FDC,
DF平分?
ADC,
ADF=?
FDC=?
AFD,
AD=AF,
即直角三角形ADF是等腰直角三角形.
13.(2008•崇文区一模)已知?
AOB及其内部一点P,试讨论以下问题的解答:
(1)如图?
,若点P在?
AOB的平分线上,我们可以过P点作直线垂直于角平分线,分别交OA、OB于点C、D,则可以得到?
OCD是以CD为底边的等腰三角形;
若点P不在?
AOB的平分线上(如图?
),你能过P点作直线,分别交OA、OB于点C、D,得到?
OCD是等腰三角形,且CD是底边吗?
请你在图?
中画出图形,并简要说明画法.
(2)若点P不在?
),我们可以过P点作PQ?
OA,并作?
QPR=?
AOB,直线PR分别交OA、OB于点C、D,则可以得到?
OCD是以OC为底的等腰三角形.请你说明这样作的理由.
(3)若点P不在?
AOB的平分线上,请你利用在
(2)中学到的方法,在图?
中过P点作直线分别交OA、OB于点C、D,使得?
OCD是等腰三角形,且OD是底边.保留画图的痕迹,不用写出画法.
(1)能.
画法:
作?
AOB的平分线,过P点作角平分线的垂线,分别交角的两边OA、OB于点C、D,则?
OCD是以CD为底边的等腰三角形,如图?
PQ?
OA,
OCD,
AOB,
OCD=?
AOB.
OD=CD.
OCD是以OC为底的等腰三角形.
(3)如图?
《第1章三角形的证明》同步练习卷A(7)
1.已知:
A=60°
,如要判定?
ABC是等边三角形,还需添加一个条件.
现有下面三种说法:
如果添加条件“AB=AC”,那么?
ABC是等边三角形;
如果添加条件“tanB=tanC”,那么?
如果添加条件“边AB、BC上的高相等”,那么?
ABC是等边三角形.
上述说法中,正确的说法有( )
3个
2个
1个
0个
若添加的条件为AB=AC,由?
利用有一个角为60°
的等腰三角形为等边三角形可得出?
ABC为等边三角形;
若添加条件为tanB=tanC,可得出?
C,
C=60°
A=?
则?
若添加的条件为边AB、BC上的高相等,如图所示:
已知:
BAC=60°
,AE?
BC,CD?
AB,且AE=CD,
求证:
ABC为等边三角形.
AE?
AB,
ADC=?
AEC=90°
在Rt?
ADC和Rt?
CEA中,
Rt?
ADC?
CEA(HL),
ACE=?
BAC=?
ACB=60°
AB=AC=BC,即?
ABC为等边三角形,
综上,正确的说法有3个.
故选A
2.(3分)如图所示,在等边三角形ABC中,高AD、BE相交于点F,连接DE,则?
FED的度数是( )
15°
20°
25°
30°
ABC=60°
,AB=BC=AC,
AD?
BC,BE?
E、D分别为AC、BC的中点,BE为?
ABC的平分线,
ABE=30°
,ED为?
ABC的中位线,
ED?
FED=?
故选D
二、填空题
3.如图,在Rt?
ACB=90°
,AB的垂直平分线DE交AC于E,交BC的延长线于F,若?
F=30°
,DE=1,则BE的长是 2 .
,FD?
FDB=90°
(同角的余角相等).
又AB的垂直平分线DE交AC于E,
EBA=?
A=30°
直角?
DBE中,BE=2DE=2.
故答案是:
2.
4.在三角形纸片ABC中,?
C=90°
,AC=3,折叠该纸片,使点A与点B重合,折痕与AB、AC分别相交于点D和点E(如图),折痕DE的长为 1 .
,AC=3,
AB=AC÷
cosA=2
AD=BD=
由折叠可得?
ADE=90°
DE=AD×
tan30°
=1.
故答案为1.
三、解答题(共2小题,满分0分)
5.已知:
如图,在等边三角形ABC的三边上,分别取点D,E,F使AD=BE=CF.
DEF是等边三角形.
6.已知:
如图,?
,BD?
AC,垂足为D,CE?
AB,垂足为E,BD和CE交于点H,HD=1cm,HE=2cm,求:
BD,CE的长及?
ABC的面积.
AC,CE?
AEC和?
ABD都是Rt?
ACE=90°
EBH中,BH=2EH,
又EH=2
BH=4,BD=BH+HD=5,在Rt?
ABD中,AB=
=
同理在Rt?
CDH中
HC=2HD=2,CE=CH+HE=4
BD长为5,CE长为4,
ABC的面积为:
AB×
CE=
4=
《第1章三角形的证明》同步练习卷A(8)
一、选择题
1.(3分)下列三角形:
有两个角等于60°
;
有一个角等于60°
的等腰三角形;
三个外角(每个顶点处各取一个外角)都相等的三角形;
一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形.其中是等边三角形的有( D )
2.(3分)(2013•邢台一模)如图,AC=BC=10cm,?
B=15°
,AD?
BC于点D,则AD的长为( C )
3cm
4cm
5cm
6cm
3.(3分)(2006•曲靖)如图,CD是Rt?
ABC斜边AB上的高,将?
BCD沿CD折叠,B点恰好落在AB的中点E处,则?
A等于( B )
45°
60°
4.(3分)如图,E是等边?
ABC中AC边上的点,?
1=?
2,BE=CD,则?
ADE的形状是( )
等腰三角形
等边三角形
不等边三角形
不能确定形状
ABC为等边三角形
AB=AC
2,BE=CD
ABE?
ACD
AE=AD,?
BAE=?
CAD=60°
ADE是等边三角形.
故选B.
5.(3分)(2004•河南)如图,在一个房间内,有一个梯子斜靠在墙上,梯子顶端距地面的垂直距离MA为a米,此时梯子的倾斜角为75°
,如果梯子的底端不动,顶端靠在对面墙上,此时梯子的顶端距地面的垂直距离NB为b米,梯子的倾斜角为45°
,则这间房子的宽AB为( )
米
b米
a米
过N点作MA垂线,垂足点D,连接NM.
设梯子底端为C点,AB=x,且AB=ND=x.
BNC为等腰直角三角形,?
CNM为等边三角形(180﹣45﹣75=60°
,梯子长度相同
NCB=45°
DNC=45°
MND=60°
﹣45°
=15°
cos15°
MCA=75°
AMC=15°
故可得:
CNM为等边三角形,
NM=CM.
x=MA=a.
6.(3分)(2012•深圳)如图,已知:
MON=30°
,点A1、A2、A3…在射线ON上,点B1、B2、B3…在射线OM上,?
A1B1A2、?
A2B2A3、?
A3B3A4…均为等边三角形,若OA1=1,则?
A6B6A7的边长为( )
12
32
64
A1B1A2是等边三角形,
A1B1=A2B1,?
3=?
4=?
12=60°
2=120°
1=180°
﹣120°
﹣30°
=30°
3=60°
5=180°
﹣60°
MON=?
1=30°
OA1=A1B1=1,
A2B1=1,
A3B3A4是等边三角形,
11=?
10=60°
13=60°
A1B1?
A2B2?
A3B3,B1A2?
B2A3,
6=?
7=30°
5=?
8=90°
A2B2=2B1A2,B3A3=2B2A3,
A3B3=4B1A2=4,
A4B4=8B1A2=8,
A5B5=16B1A2=16,
以此类推:
A6B6=32B1A2=32.
故选:
7.(3分)如图所示,在?
ABC中,AB=AC=20cm,?
BAC=150°
,则S?
ABC= 100 cm2.
过C作CD?
BA,交BA延长线于D,
DAC=30°
DC=
AC=10cm,
S?
ABC=
CD=
20×
10=100(cm2),
故答案为:
100.
8.(3分)(2007•天津)如图,?
,BD平分?
ABC,若AD=6,则CD= 3 .
BD平分?
ABC,
CBD=?
BD=AD=6,
BD=6×
=3.
故填空答案:
3.
9.(3分)如图所示,?
AOB=30°
,OC平分?
AOB,P为OC上任意一点,PD?
OA交OB于点D,PE?
OA于点E,若PE=2cm,则PD= 4 cm.
过点P作PF?
OB于点F,
OC平分?
AOB,PE?
PF=PE=2cm,
PD?
PDF=?
PD=2PF=4cm.
4.
10.(3分)(2011•济宁)如图,等边三角形ABC中,D、E分别为AB、BC边上的两动点,且总使AD=BE,AE与CD交于点F,AG?
CD于点G,则
=
三、解答题
11.如图,已知点D为等腰直角?
ABC内一点,?
CAD=?
CBD=15°
,E为AD延长线上的一点,且CE=CA.
(1)求证:
DE平分?
BDC;
(2)若点M在DE上,且DC=DM,求证:
ME=BD.
(1)?
ABC是等腰直角三角形,
ABC=45°
ABD=45°
﹣15°
BD=AD,
D在AB的垂直平分线上,
AC=BC,
C也在AB的垂直平分线上,
即直线CD是AB的垂直平分线,
ACD=?
BCD=45°
CDE=15°
+45°
=60°
BDE=?
DBA+?
BAD=60°
CDE=?
BDE,
即DE平分?
BDC.
(2)如图,连接MC.
DC=DM,且?
MDC=60°
MDC是等边三角形,即CM=CD.?
DMC=?
ADC+?
MDC=180°
DMC+?
EMC=180°
EMC=?
ADC.
CE=CA,
DAC=?
CEM.
ADC与?
EMC中,
EMC(AAS),
ME=AD=BD.
12.如图1,在Rt?
ACB中,?
ABC=30°
AC=1点D为AC上一动点,连接BD,以BD为边作等边?
BDE,EA的延长线交BC的延长线于F,设CD=n,
(1)当n=1时,则AF= 2 ;
(2)当0<n<1时,如图2,在BA上截取BH=AD,连接EH,求证:
AEH为等边三角形.
分析:
(1)根据三角形内角和定理求出?
,再根据平角等于180°
求出?
FAC=60°
,然后求出?
,根据30°
角所对的直角边等于斜边的一半求解即可;
(2)根据三角形的任意一个外角等于与它不相邻的两个内角的和利用?
CBD表示出?
ADE=30°
+?
CBD,又?
HBE=30°
CBD,从而得到?
ADE=?
HBE,然后根据边角边证明?
ADE与?
HBE全等,根据全等三角形对应边相等可得AE=HE,对应角相等可得?
AED=?
HEB,然后推出?
AEH=?
BED=60°
,再根据等边三角形的判定即可证明.
(1)解:
BDE是等边三角形,
EDB=60°
BAC=180°
﹣90°
FAC=180°
F=180°
ACF=180°
AF=2AC=2×
1=2;
(2)证明:
BE=BD,?
EBD=60°
BCD中,?
ADE+?
CBD+?
ADE+60°
=?
CBD+90°
CBD,
HBE+?
ABD=60°
ABD=30°
HBE,
HBE中,
ADE?
HBE(SAS),
AE=HE,?
HEB,
AED+?
DEH=?
DEH+?
13.(2013•抚顺)在Rt?
,点D是AB的中点,DE?
BC,垂足为点E,连接CD.
(1)如图1,DE与BC的数量关系是 DE=
BC ;
(2)如图2,若P是线段CB上一动点(点P不与点B、C重合),连接DP,将线段DP绕点D逆时针旋转60°
,得到线段DF,连接BF,请猜想DE、BF、BP三者之间的数量关系,并证明你的结论;
(3)若点P是线段CB延长线上一动点,按照
(2)中的作法,请在图3中补全图形,并直接写出DE、BF、BP三者之间的数量关系.
(1)由?
得到?
B=60°
,根据直角三角形斜边上中线性质得到DB=DC,则可判断?
DCB为等边三角形,由于DE?
BC,DE=
BC;
(2)根据旋转的性质得到?
PDF=60°
,DP=DF,易得?
CDP=?
BDF,则可根据“SAS”可判断?
DCP?
DBF,则CP=BF,利用CP=BC﹣BP,DE=
BC可得到BF+BP=
DE;
(3)与
(2)的证明方法一样得到?
DBF得到CP=BF,而CP=BC+BP,则BF﹣BP=BC,所以BF﹣BP=
DE.
点D是AB的中点,
DB=DC,
DCB为等边三角形,
DE?
DE=
故答案为DE=
BC.
(2)BF+BP=
DE.理由如下:
线段DP绕点D逆时针旋转60°
,得到线段DF,
,DP=DF,
而?
CDB=60°
CDB﹣?
PDB=?
PDF﹣?
PDB,
BDF,
DCP和?
DBF中
DBF(SAS),
CP=BF,
而CP=BC﹣BP,
BF+BP=BC,
BC=
DE,
BF+BP=
(3)如图,
与
(2)一样可证明?
DBF,
而CP=BC+BP,
BF﹣BP=BC,
BF﹣BP=
点评:
本题考查了全等三角形的判定与性质:
判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”;
全等三角形的对应边相等.也考查了等边三角形的判定与性质以及含30度的直角三角形三边的关系.
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