保险精算第二版习题及答案Word格式文档下载.docx
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-⑷•⑵
41i4i2
(1i)(1h)(1d2)
(1)
(1)
2
1.1*1.086956522*1.061363551*1.0506251.333265858
i0.74556336
9.基金A以每月计息一次的年名义利率12%积累,基金B以利息强度t-积累,在时刻t(t=0),两笔
6
基金存入的款项相同,试确定两基金金额相等的下一时刻。
12t
a1(t)1.01
tt2
ntdt12
a2(t)e0e12
t2
12t12
1.01e12,t1.432847643
10.基金X中的投资以利息强度t0.01t0.1(0Wtw20),基金Y中的投资以年实际利率i积累;
现分别
投资1元,
a,t)
a2(t)
则基金X和基金Y在第20年年末的积累值相等,求第3年年末基金Y的积累值。
t
1i
t0.01t2
tdt0.1t
0t2
ee
0.01*202
2020.1*20
ie
1.8221
11.某人
万元。
1999年初借款
3万元,按每年计息3次的年名义利率6%投资,到2004年末的积累值为()
A.7.19
B.4.04
C.3.31
D.5.21
4.0376
12.甲向银行借款1万元,本金部分为(
A.7225
)元。
B.7213
每年计息两次的名义利率为6%,甲第2年末还款4000元,则此次还款后所余
C.7136
D.6987
i⑵
i2*24
(1)1.03
2*2
1.1255
第二章:
年金
练习题
1•证明vn
iam
an。
iaman
i(1
1V\n)v
i
2.某人购买一处住宅,价值16万元,
10年。
年计息12次的年名义利率为8.7%
首期付款额为A,余下的部分自下月起每月月初付1000元,共付
。
计算购房首期付款额A。
1000a1面
160000
120
1v1000-
79962.9680037.04
79962.96(i8.7%/12)
3.已知a^
5.153,a117.036,a诃9.180,计算i。
a18a71
i0.08299
4.某人从50岁时起,每年年初在银行存入5000元,共存10年,自60岁起,每年年初从银行提出一笔
款作为生活费用,拟提取10年。
年利率为10%,计算其每年生活费用。
5000&
0x占
x12968.7123
5.年金A的给付情况是:
1〜10年,每年年末给付1000元;
11〜20年,每年年末给付2000元;
21〜30年,每年年末给付
1000元。
年金B在1〜10年,
年末给付
K元,若
A与B的现值相等,已知v10
1000a10|
2000-
20
10
每年给付额为K元;
11〜20年给付额为0;
21〜30年,每年
,计算K。
Ka0K
a10l
K1800
v
,并解释该式意义。
7.
款每次为
某人计划在第5年年末从银行取出17000元,这5年中他每半年末在银行存入一笔款项,前5次存
1000元,后
5次存款每次为
2000元,计算每年计息2次的年名义利率。
1叫
2000
霍17°
00
3.355%
8.
某期初付年金每次付款额为
1元,共付20次,第k年的实际利率为,计算V
(2)。
8k
i1
L
(1h)(1i2)
9
(1ii)L(1
扁)
11
28
某人寿保险的死亡给付受益人为三个子女,
所领取的年金,n年后所有的年金只支付给第三个孩子,
1n
A.
9.
B.3n
C.
给付形式为永续年金,前两个孩子第1到n年每年末平分若三个孩子所领取的年金现值相等,那么v=()
D.3n
2vn1
1vn
11.延期5年连续变化的年金共付款6年,在时刻t时的年付款率为t1,t时刻的利息强度为1/(1+t),
该年金的现值为(
)
A.52
B.54
C.56
D.58
5|a6
5v(t)(t
1)2dt
v(t)
11
a(t)e
0tdtt1
5|
111
a65t
-(t1)2dt54
第三章:
生命表基础
X2
1.给出生存函数sxe2500,求:
(1)人在50岁〜60岁之间死亡的概率。
(2)50岁的人在60岁以前死亡的概率。
(3)人能活到70岁的概率。
(4)50岁的人能活到70岁的概率。
P(50
X60)s50s(60)
s50s(60)
10q50
s(50)
P(X
70)s(70)
s70
20p50
2.已知Pr:
5vT(60)<
6]=0.1895,Pr:
T(60)>
5]=0.92094,求q6o。
5060
s65s(66)
n4PQCn
s65
U.l895,5P60
s(60)
q65
0.2058
s(65)
3.已知q800.07,d803129,求。
0.92094
d80180181ccr
q800.07
180180
3000人,20年的预期死亡人数为为15人和18人。
求生存函数s(x)在20岁、21岁和22岁的值。
4.设某群体的初始人数为
240人,第21年和第22年的死亡人数分别
s(20)
d1Ld20
d1Ld?
0.92,s(21)1210.915,s(22)
1220.909
5.
如果X
-,0Wxw100,求1。
=10000时,在该生命表中1岁到4岁之间的死亡人数为
100x
A.2073.92
B.2081.61
C.2356.74
D.2107.56
x
dx
s(x)e
x2
0x1100x
Jdx
2081.61
6.已知
20岁的生存人数为
1000人,21岁的生存人数为998人,22岁的生存人数为992人,则102。
为
()°
B.0.007
D.0.005
A.0.008
C.0.006
1%仏也0.006
第四章:
人寿保险的精算现值
(0wxw100),年利率i=0.10,计算(保险金额为1元):
s(x)
(1)趸缴纯保费农0:
诃的值。
(2)这一保险给付额在签单时的现值随机变量
100
tPxgx
Z的方差
Var(Z)。
A30诃
10t
0vt
Pxg
xtdt
io
s(xt)s(x)100x
丄丄dt
1.170
0.092
Var(Z)
2A1
3010
(A301U]
)2
35岁的人,
单年度末给付,年利率i=0.06,
设年龄为
12
dt0.09220.055
70
1.21
购买一保险金额为1000元的5年定期寿险保单,保险金于被保险人死亡的保试计算:
0v2ttPxgx
tdt0.0922
(1)该保单的趸缴纯保费。
⑵该保单自35岁〜39岁各年龄的自然保费之总额。
(3)
(1)与
(2)的结果为何不同?
为什么?
(1)法
1000A;
5:
5
k
k1
VkPxqx
35'
1.061.06
d35d36
d37d38d39)
1.0631.0641.065)
查生命表l35
979738,d35
1170,d36
1248,d371336,d38
1437,d391549代入计算:
1000心
V
k0
kPxqx
1351.06
d36d37d38d39、5747
1.0621.0631.0641.065
法二:
1000a35^
1000
M35M40
D35
查换算表1000A15:
51000―仏
1000g
13590.2212857.61
127469.03
5.747
(3)
1000P35
1000也
1000P36
1000心1
1000P37
1000A17:
1000P38
1000%
1000P39
1000為
1000(P35
P36P37
(2)
—1
A35:
5l
C35
143.58
1.126
C36
144.47
1.203
D36
120110.22
C37
145.94
1.29
D37
113167.06
C38
—148.05
1000g—
1.389
D38
106615.43
C39
—cc150.55
1.499
D39
100432.54
P38
P39)
6.457
71712T13T14T1
A3511Vp35A36:
1V£
2p35A37:
3p35A38:
1Vg4P35A391
A35:
P35P36P37
P38P39
(1)
A;
:
20。
A1
x:
改为求aJr
AxAx:
Ax:
20Ax:
Ax20gAx20
0.25
0.55
1|o1|o
22
0.5
试证在UDD假设条件下:
1i1
AxnAxn。
_1I1
gnAx:
n—Axn。
(x)购买了一份
据保单规定,若(x)在保险期限发生保险责任围的死亡,则在死
亡年末可得保险金1元,
qx0.5,i0,Var
z0.1771,试求qx1。
6.已知,A76
°
・8,D76400,D77
360,i
0.03,求A77。
7.现年30岁的人,付趸缴纯保费5000元,处保单年度末支付,试求该保单的保险金额。
购买一20年定期寿险保单,保险金于被保险人死亡时所
5000
A30:
2q1
解:
其中
19
vkP3°
q30
l
l30
(d30
I301.06
M30M50
D30
d31
(1.06)231
1Gkd30k
l30k
丄
l30k0
d30k
3d32L
(1.06)3
查(2000-2003)男性或者女性非养老金业务生命表中数据
I30,d30id31id32Ld49带入计算即可,或者i=0・06
M30,M50,D30带入计算即可。
以及(2000-2003)男性或者女性非养老金业务生命表换算表例查(2000-2003)男性非养老金业务生命表中数据
11111
忑:
20丄(丄867「917二977L打3144)
30:
209846351.06(1.06)(1.06)(1.06)
0.017785596
R281126.3727
8.考虑在被保险人死亡时的那个年时段末给付1个单位的终身寿险,设k是自保单生效起存活的完
m
整年数,j是死亡那年存活的完整丄年的时段数。
(1)求该保险的趸缴纯保费AXm)。
(2)设每一年龄的死亡服从均匀分布,证明AXm)拾人乂。
I
9.现年35岁的人购买了一份终身寿险保单,保单规定:
被保险人在10年死亡,给付金额为15000元;
10年后死亡,给付金额为20000元。
试求趸缴纯保费。
趸交纯保费为15000心诃2000。
10|冗5
101
Vkp35q35k
1l35kd35k
l35k
135
vk
d35k
10|A35
丄(丄d35
I351.06
M35M45
70k
k10
kp35q35
右((1.06)
M45
036
(1.06)2(1.06)3
13590.2212077.31
70k1I35kd35kV
10l35l35k
11d45
旦竺0.09475
(T^d44)
0.01187
所以趸交纯保费为15OOOA3而2000010|A35178.0518952073.05
10.年龄为40岁的人,以现金10000元购买一份寿险保单。
保单规定:
被保险人在5年死亡,则在其死
亡的年末给付金额3000元;
如在5年后死亡,则在其死亡的年末给付数额R元。
试求R值。
11.设年龄为50岁的人购买一份寿险保单,保单规定:
被保险人在70岁以前死亡,给付数额为3000
元;
如至70岁时仍生存,给付金额为1500元。
试求该寿险保单的趸缴纯保费。
该趸交纯保费为:
3000人询15004。
右
A50:
2q
19k
1.
(d50
1501.06
M50M70
D50
kp50q50k
19kv
1d119
1150k50k
150k150k1
150
d50k
2d51
(1.06)251
(1.06)
3d52L
200d69)
7070170
V70p50V—
D70
查生命表或者相应的换算表带入计算即可。
12.
单年度末给付5000元,此后保额每年增加
若(30)在第一个保单年计划死亡,则在其死亡的保
设某30岁的人购买一份寿险保单,该保单规定:
求此递增终身寿险的趸缴纯保费。
该趸交纯保费为:
4000A30
1OOO(IA)30
4000Mso
1000电
A30
75
Vkp30q30k
1130kd30
130
(IA)30
M30
(k1)Vk
(1.06)2
kp30q30k
R30
d31
2d31
75k
(k
d175
上严「(k1)Vk1d30k
130k130k0
376_
3d32L76dt05)
(1.06)332(1.06)76105
1)vk
^0I
1130
13.某一年龄支付下列保费将获得一个n年期储蓄寿险保单:
(1)1000元储蓄寿险且死亡时返还趸缴纯保费,这个保险的趸缴纯保费为750元。
(2)1000元储蓄寿险,被保险人生存n年时给付保险金额的2倍,死亡时返还趸缴纯保费,这个保险的趸
缴纯保费为800元。
若现有1700元储蓄寿险,无保费返还且死亡时无双倍保障,死亡给付均发生在死亡年末,求这个保险的
趸缴纯保费。
保单1)精算式为1000Ax:
n750&
:
n1750&
问1000Ax750
保单2)精算式为
1000A^n800&
n1000Axh180°
£
n2000Ax:
n800
求解得嚅7/17,Ax:
n1/34,即
1700人诃1700為1700Ax:
n750
14.设年龄为30岁者购买一死亡年末给付的终身寿险保单,依保单规定:
被保险人在第一个保单年度
死亡,则给付10000元;
在第二个保单年度死亡,则给付9700元;
在第三个保单年度死亡,则给付9400元;
每年递减300元,直至减到4000元为止,以后即维持此定额。
试求其趸缴纯保费。
15.某人在40岁投保的终身死亡险,在死亡后立即给付1元保险金。
其中,给定lx110x,0Wxw110。
利息力3=0.05。
Z表示保险人给付额的现值,则密度fx0.8等于()
A.0.24B.0.27
C.0.33D.0.36
lnZ
lnv
fT(t)tpxxt
S(xt)
S(x)
-T170
1x
fZ(z)fT(g(z))g(z)
11/z
70lnv
70z
7z
fZ(0.8)0.36
IAIA
16.已知在每一年龄年UDD假设成立,表示式xx()
A
B.
解:
d
D.丄丄1
(IA)x_(瓜)x
Ax
E(T1vT)E(Tvt)E((1S)vks)k
TKS(TK
E(v)E(v)
E((1S)vS)0(1s)vsds丄丄
E(vS)1vsdsd-
S)
17.在x岁投保的一年期两全保险,在个体(x)死亡的保单年度末给付b元,生存保险金为e元。
保险人给
付额现值记为乙则Var(Z)=()
Pxqxv
be
.2
b
e
B.PxqxVbe
2■22
D.VbqxePx
P(Zbv)qx,P(Zev)Px
P(Z2b2v2)qx,P(Z2e2v2)Px
E(Z)bvqxevpx
22222
E(Z)bvqxevPx
222222
Var(Z)E(Z2)E(Z)b2v2qxe2v2px
bvqxevpx
v2qxPx(be)2
第五章:
年金的精算现值
1.设随机变量T=T(x)的概率密度函数为
f(t)0.015e0.015(t>
0),利息强度为3=0.05。
试计算
精算现值ax
ax
fT(t)dt
0.05t
1e0.015t
0.015edt
0.05
15.38
2—
2.设ax10,ax
7.375,Varafi
50。
试求:
;
(2)Qx。
1axAx
122ax2Ax
110Ax
114.752Ax
122
Varaf列加(代)2)
12——2
50—(2Ax(Ax)2)
0.035
Ax0.65
A0.48375
3.某人现年50岁,以10000元购买于51岁开始给付的终身生存年金,试求其每年所得年金额。
4.某人现年23岁,约定于36年每年年初缴付2000元给某人寿保险公司,如中途死亡,即行停止,所
缴付款额也不退还。
而当此人活到60岁时,人寿保险公司便开始给付第一次年金,直至死亡为止。
试求此人
每次所获得的年金额。
2000&
3囲
R37|&
2000号3:
36
37|a&
36]
35
VkP23
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