学年中考数学压轴题汇编3.docx
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学年中考数学压轴题汇编3
19、(浙江义乌)如图,抛物线 y = x2 - 2 x - 3 与 x 轴交 A、B 两点(A
点在 B 点左侧),直线l 与抛物线交于 A、
C 两点,其中
C 点的横坐标为 2.
(1)求 A、B 两点的坐标及直线 AC 的
函数表达式;
(2)P 是线段 AC 上的一个动点,过 P 点作 y 轴的平
行线交抛物线于 E 点,求线段 PE 长度的最大值;
(3)点 G 抛物线上的动点,在 x 轴上是否存在点 F,
使 A、C、F、G 这样的四个点为顶点的四边形是
平行四边形?
如果存在,求出所有满足条件的 F
点坐标;如果不存在,请说明理由.
解:
(1)令 y=0,解得 x
1
= -1 或 x = 3 (1 分)
2
∴A(-1,0)B(3,0);(1 分)
将 C 点的横坐标 x=2 代入 y = x2 - 2 x - 3 得 y=-3,∴C(2,-3)(1 分)
∴直线 AC 的函数解析式是 y=-x-1
(2)设 P 点的横坐标为 x(-1≤x≤2) 注:
x 的范围不写不扣分)
则 P、E 的坐标分别为:
P(x,-x-1),(1 分)
E( ( x, x2 - 2 x - 3) (1 分)
∵P 点在 E 点的上方,PE= (- x - 1) - ( x 2 - 2 x - 3) = - x 2 + x + 2 (2 分)
∴当 x = 1 时,PE 的最大值= 9 (1 分)
24
(3)存在 4 个这样的点 F,分别是 F (1,0), F (-3,0), F (4 +7), F (4 - 7)
1234
(结论“存在”给 1 分,4 个做对 1 个给 1 分,过程酌情给分)
20、(湖北天门)如图所示,在平面直角坐标系内,点 A 和点 C 的
坐标分别为(4,8)、(0,5),过点 A 作 AB⊥x 轴于点 B,过
OB 上的动点 D 作直线 y=kx+b 平行于 AC,与 AB 相交于点 E,
连结 CD,过点 E 作 EF∥CD 交 AC 于点 F。
(1)求经过 A、C 两点的直线的解析式;
(2)当点 D 在 OB 上移动时,能否使四边形 CDEF 成为矩形?
若能,
求出此时 k、-b 的指;若不能,请说明理由;
(3)如果将直线 AC 作上下平移,交 y 轴于 C’,交 AB 于 A’,连
结 DC’,过点 E 作 EF’∥DC’,交 A’C’于 F’
那么能否使四边形 C’DEF’为正方形?
若能,
请求出正方形的面积;若不能,请说明理由。
21、(江西南昌)实验与探究
(1)在图 1,2,3 中,给出平行四边形 ABCD 的顶点 A,B,D 的坐标
(如图所示),写出图 1 ,2 ,3 中的顶点 C 的坐标,它们分别
是,,;
y
B(1,
C
y
B(c,d )
C
y
B(c,d )
C
O ( A)
D(4,
x
O ( A)
D(e,
O
x
图 1
图 2
图 3
(2)在图 4 中,给出平行四边形 ABCD 的顶点 A,B,D 的坐标(如图
所示),求出顶点 C 的坐标( C 点坐标用含 a,b,c,d,e,f 的代数式表
示);
y
C
B(c, )
D(e,f )
O
A(a,b)
图 4
x
归纳与发现
(3)通过对图 1,2,3,4 的观察和顶点 C 的坐标的探究,你会发
现:
无论平行四边形 ABCD 处于直角坐标系中哪个位置,当其顶点
坐标为 A(a,b),B(c,d ),C (m,n),D(e,f ) (如图 4)时,则四个顶点的
横坐标 a,c,m,e 之间的等量关系为;纵坐标 b,d,n,f
之间的等量关系为(不必证明);
运用与推广
( 4 ) 在同 一 直 角 坐标 系 中 有 抛 物线
y = x 2 - (5c - 3)x - c 和三个点
0)
⎝ 22 ⎭⎝ 22 ⎭
线上存在点 P ,使得以 G,S,H,P 为顶点的四边形是平行四边形?
并求出所有符合条件的 P 点坐标.
2)
解:
(1) (5, , (e + c,d ) , (c + e - a,d ) . ········2 分
(2)分别过点 A,B,C,D 作 x 轴的垂线,垂足分别为 A,B ,C ,D ,
1111
分别过 A,D 作 AE ⊥ BB 于 E , DF ⊥ CC 于点 F .
11
C
11
D(e,f )
A(a,b)
x
∴∠EBA = ∠FCD .1 1 1 1
又Q ∠BEA = ∠CFD = 90o ,
BEA ≌△CFD .·················5 分
∴ AE = DF = a - c , BE = CF = d - b .
设 C ( x,y) .由 e - x = a - c ,得 x = e + c - a .
由 y - f = d - b ,得 y = f + d - b .∴ C (e + c - a,f + d - b) .···7 分
(此问解法多种,可参照评分)
7
(3) m + a = c + e , n + b = d + f 或 m = c + e - a , n = d + f - b .·9 分
(4)若 GS 为平行四边形的对角线,由(3)可得 P (-2c,c) .要使 P 在
11
抛物线上,
则有 7c = 4c2 - (5c - 3) ⨯ (-2c) - c ,即 c2 - c = 0 .
7)
∴ c = 0 (舍去), c = 1.此时 P (-2, .········10 分
121
2
若 SH 为平行四边形的对角线,由(3)可得P (3c,c) ,同理可得c = 1 ,
2
2)
此时 P (3, .
2
-
-
若 GH 为平行四边形的对角线,由(3)可得 (c, 2c) ,同理可得 c = 1 ,
此时 P (1, 2) .
3
综上所述,当c = 1 时,抛物线上存在点 P ,使得以G,S,H,P 为顶点
的四边形是平行四边形.
7)2)-
符合条件的点有 P (-2, , P (3, , P (1, 2) . ····· 12 分
123
在 中 ,
22
、 ( 浙 江 温 州 )
∆ABC
∠C = Rt∠, AC = 4cm, BC = 5cm,点D在BC上,且以CD=3cm, 现有两个动点P 、Q
分别从点 A 和点 B 同时出发,其中点 P 以 1cm/s 的速度,沿 AC 向
终点 C 移动;点 Q 以 1.25cm/s 的速度沿 BC
向终点 C 移动。
过点 P 作 PE∥BC 交 AD 于点 E,
连结 EQ。
设动点运动时间为 x 秒。
A
(1)用含 x 的代数式表示 AE、DE 的长度;
(2)当点 Q 在 BD(不包括点 B、D)上移动
时,设 ∆EDQ 的面积为 y(cm2 ) ,求 y 与月份 x 的
E
P
函数关系式,并写出自变量 x 的取值范围;
(3)当 x 为何值时, ∆EDQ 为直角三角形。
解:
(1)在 Rt∆ADC中, AC = 4, CD = 3,∴ AD = 5 ,
Q EP PDC,∴∆ AEP ≅ ∆ADC,
EAAPEAx55
∴
ADAC5444
B D
C
(2)Q BC = 5, CD = 3,∴ BD = 2 ,
当点 Q 在 BD 上运动 x 秒后,DQ=2-1.25x,则
1157
y =⨯ DQ ⨯ CP =(4 - x)(2 - 1.25x) =x2 -x + 4
2282
即 y 与 x 的函数解析式为:
y = 5 x2 - 7 x + 4 ,其中自变量的取值
82
范围是:
0<x<1.6
(3)分两种情况讨论:
①当 ∠EQD = Rt∠时,
显然有EQ = PC = 4 - x, 又Q EQ PAC ,∴∆ EDQ :
∆ADC
DQ
=,
ACDC
4 - x1.25x - 2
43
解得 x = 2.5
A
E P
②当 ∠QED = Rt∠时,
B D Q C
Q ∠CDA = ∠EDQ, ∠QED = ∠C = Rt∠,∴∆ EDQ :
∆CDA
EQDQ5(4 - x)1.25x - 2
CDDA125
A
解得 x = 3.1
综上所述,当 x 为 2.5 秒或 3.1 秒时, ∆EDQ 为直角三角形。
E
BDQ
P
C
23、 杭州)在直角梯形 ABCD 中,∠C = 90︒ ,高 CD = 6cm(如图 1)。
(
动点 P, Q 同时从点 B 出发,点 P 沿 BA, AD, DC 运动到点 C 停止,点 Q 沿 BC
运动到点 C 停止,两点运动时的速度都是 1cm / s 。
而当点 P 到达点 A
时,点 Q 正好到达点 C 。
设 P, Q 同时从点 B 出发,经过的时间为 t (s ) 时,
∆BPQ 的面积为 y (cm2)(如图 2)。
分别以t, y 为横、纵坐标建立直角坐
标系,已知点 P 在 AD 边上从 A 到 D 运动时, y 与 t 的函数图象是图 3
中的线段 MN 。
(1)分别求出梯形中 BA, AD 的长度;
(2)写出图 3 中 M , N 两点的坐标;
(3)分别写出点 P 在 BA 边上和 DC 边上运动时, y 与 t 的函数关
系式(注明自变量的取值范围),并在图 3 中补全整个运动中 y 关
于 t 的函数关系的大致图象。
y
A
D A
P
D 30
BC
B
Q
C O
(图 3)
t
(图 1)
(图 2)
解:
(1)设动点出发 t 秒后,点 P 到达点 A 且点 Q 正好到达点 C 时,
BC = BA = t ,则
S
∆BPQ
1
= ⨯ t ⨯ 6 = 30,
2
∴t = 10 (秒)
则 BA = 10 (cm ), AD = 2 (cm ) ;
(2)可得坐标为 M (10,30 ), N (12,30 )
(3)当点 P 在 BA 上时, y = 1 ⨯ t ⨯ t ⨯ sin B =
2
3
10
t 2 (0 ≤ t < 10) ;
当点 P 在 DC 上时, y = 1 ⨯10 ⨯ (18 - t ) = -5t + 90 (12 < t ≤ 18)
2
图象略
24、 金华)如图 1,在平面直角坐标系中,已知点 A(0,
3)
,点 B 在
x 正半轴上,且∠ABO = 30o.动点 P 在线段 AB 上从点 A 向点 B 以每秒3
个单位的速度运动,设运动时间为 t 秒.在 x 轴上取两点 M,N 作等
边 △PMN .
(1)求直线 AB 的解析式;
(2)求等边 △PMN 的边长(用 t 的代数式表示),并求出当等边 △PMN
的顶点 M 运动到与原点 O 重合时 t 的值;
(3)如果取 OB 的中点 D ,以 OD 为边在 Rt△ AOB 内部作如图 2 所示
的矩形 ODCE ,点 C 在线段 AB 上.设等边 △PMN 和矩形 ODCE 重叠部
分的面积为 S ,请求出当 0 ≤ t ≤ 2 秒时 S 与 t 的函数关系式,并求出 S
的最大值.
y
y
APA
E
C
M ON
(图 1)
B x O D
(图 2)
B x
解:
(1)直线 AB 的解析式为:
y = -3 x + 4 3 .
3
(2)方法一,Q ∠AOB = 90o , ∠ABO = 30o ,∴ AB = 2OA = 8
Q AP = 3t ,∴ BP = 8 3 - 3t ,
PMN 是等边三角形,∴∠ MPB = 90o ,
3 ,
Q tan ∠PBM = PM
3 - 3t ) ⨯ 3 = 8 - t .
3
方法二,如图 1,过 P 分别作 PQ ⊥ y 轴于 Q , PS ⊥ x 轴于 S ,
可求得 AQ = 1 AP =3t ,
22
y
A P
Q
PS = QO = 4 3 -3t
2
,
MO S
N
B x
⎛3t ⎫3(图 1)
÷
⎝y
当点 M 与点 O 重合时,
Q ∠BAO = 60o ,
∴ AO = 2 AP .
A P
G C
E
MO HND
(图 2)
B x
∴ 4 3 = 2 3t ,
∴t = 2 .y
(3)①当 0 ≤ t ≤1 时,见图 2.
设 PN 交 EC 于点 H ,
重叠部分为直角梯形 EONG ,
作 GH ⊥ OB 于 H .
Q ∠GNH = 60o , GH = 2 3 ,
A P
E I G C
M F N
O H D
(图 3)
B x
∴ HN = 2 ,
Q PM = 8 - t ,
∴ BM = 16 - 2t ,
Q OB = 12 ,
∴ ON = (8 - t ) - (16 - 2t - 12) = 4 + t ,
∴OH = ON - HN = 4 + t - 2 = 2 + t = EG ,
1
2
Q S 随 t 的增大而增大,
∴
当 t = 1时, S
= 8 3 .
最大
②当1 < t < 2 时,见图 3.
设 PM 交 EC 于点 I ,
交 EO 于点 F , PN 交 EC 于点 G ,
重叠部分为五边形 OFIGN .
方法一,作 GH ⊥ OB 于 H ,Q FO = 4
∴ EF = 2 3 - (4 3 - 2 3t ) = 2 3t - 2 3 ,
∴ EI = 2t - 2 ,
3 - 2 3t ,
∴ S = S
梯形ONGE - S
△FEI
1
2
方法二,由题意可得 MO = 4 - 2t ,OF = (4 - 2t ) ⨯
1
再计算 S
△FMO = 2 (4 - 2t )2 ⨯ 3
3 ,PC = 4 3 - 3t
,PI = 4 - t ,
S
△PMN =
3 3
4 (4 - t )2
∴ S = S
△PMN - S
△PIG - S
△FMO =
3 3 1
(8 - t )2 - (4 - t )2 - (4 - 2t )2 ⨯ 3
4 4 2
= -2 3t 2 + 6 3t + 4 3 .
Q -2 3 < 0 ,∴ 当 t = 3 时, S 有最大值, S
2
最大 = 172 3
.
y
③当 t = 2 时, MP = MN = 6 ,即 N 与 D 重合,
设 PM 交 EC 于点 I , PD 交 EC 于点 G ,重叠部
分为等腰梯形 IMNG ,见图 4.
3
44
综上所述:
当 0 ≤ t ≤1 时, S = 2
3t + 6 3 ;
当1 < t < 2 时, S = -2
3t 2 + 6 3t + 4 3 ;
当 t = 2 时, S = 8
3 .
Q 17 3 > 8 3 ,
2
∴ S 的最大值是
17 3 .
2
A P
C
O (M )D( N ) B
(图 4)
x
25、(宁波)四边形一条对角线所在直线上的点,如果到这条对角
线的两端点的距离不相等,但到另一对角线的两个端点的距离
相等,则称这点为这个四边形的准等距点.如图 l,点 P 为四
边形 ABCD 对角线 AC 所在直线上的一点,PD=PB,PA≠PC,则
点 P 为四边形 ABCD 的准等距点.
(1)如图 2,画出菱形 ABCD 的一个准等距点.
(2)如图 3,作出四边形 ABCD 的一个准等距点(尺规作图,保
留作图痕迹,不要求写作法).
(3)如图 4,在四边形 ABCD 中,P 是 AC 上的点,PA≠PC,延
长 BP 交 CD 于点 E,延长 DP 交 BC 于点 F,且∠CDF=∠CBE,CE=CF.求
证:
点 P 是四边形 AB CD 的准等距点.
(4)试研究四边形的准等距点个数的情况 (说出相应四边形的
特征及准等距点的个数,不必证明).
解:
(1)如图 2,点 P 即为所画点.……………………1 分(答案不
唯一.画图正确,无文字说明不扣分;点 P 画在 AC 中点不给
分)
(2)如图 3,点 P 即为所作点.……………………3 分(答案不唯
一.作图正确,无文字说明不扣分;
痕迹或痕迹不清晰的酌情扣分)
(3)连结 DB,
在△DCF 与△BCE 中,
∠DCF=∠BCE,
∠CDF=∠CBE,
∠ CF=CE.
∴△DCF≌△BCE(AAS),……………………5 分
∴CD=CB,
无
∴∠CDB=∠CBD.………………………………6 分
∴∠PDB=∠PBD,……………………………7 分
∴PD=PB,
∵PA≠PC
∴点P是四边形ABCD的准等距
点.…………………………………………8 分
(4) ①当四边形的对角线互相垂直且任何一条对角线不平分
另一对角线或者对角线互相平分且不垂直时,准等距点的个数为 0
个; …………………………………………9 分
②当四边形的对角线不互相垂直,又不互相平分,且有一条
对角线的中垂线经过另一对角线的中点时,准等距点的个数为 1
个; …………………………………………10 分
③当四边形的对角线既不互相垂直又不互相平分,且任何一
条对角线的中垂线都不经过另一条对角线的中点时,准等距点的
个数为 2 个;……………………………………11 分
④四边形的对角线互相垂直且至少有一条对角线平分另一对
角线时,准等距点有无数个.1 分(.答案不唯一.画图正确,无
文字说明不扣分;点 P 画在 A C 中点不给
分) ……………………………………………………………………
12 分
(第(4)小题只说出准等距点的个数,不能给满分)
26、(绍兴)如图,在平面直角坐标系中,O 为原点,点 A、C 的坐
标分别为
(2,0)、(1, 3 3 ).将 ∆OAC 绕 AC 的中点旋转 1800,点 O
落到点 B 的位置.抛物线 y = ax 2 - 2
3x 经过点 A,点 D 是
该抛物线的顶点.
(1) 求 a 的值,点 B 的坐标;
(2) 若点 P 是线段 OA 上一点,且 ∠APD = ∠OAB ,
求点 P 的坐标;
(3) 若点 P 是 x 轴上一点,以 P、A、D 为顶点作平行四
边形,
该平行四边形的另一顶点在 y 轴上.写出点 P 的坐
标(直接
写出答案即可).
27、(重庆)已知,在 Rt△OAB 中,∠OAB=900,∠BOA=300,
AB=2。
若以 O 为坐标原点,OA 所在直线为 x 轴,建立如图所示的
平面直角坐标系,点 B 在第一象限内。
将 Rt△OAB 沿 OB 折叠后,
点 A 落在第一象限内的点 C 处。
(1)求点 C 的坐标;
(2)若抛物线 y = ax 2 + bx ( a ≠0)经过 C、A 两点,求此抛物
线的解析式;
(3)若抛物线的对称轴与 OB 交于点 D,点 P 为线段 DB 上一
点,过 P 作 y 轴的平行线,交抛物线于点 M。
问:
是否存在这样的
点 P,使得四边形 CDPM 为等腰梯形?
若存在,请求出此时点 P 的
坐标;若不存在,请说明理由。
注:
抛物线 y = ax 2 + bx + c ( a ≠0)的顶点坐标为 ⎛ - b4ac - b 2 ⎫ ,
⎝⎭
对称轴公式为 x = - b
2a
y
C
B
OA
28 题 图
解:
(1)过点 C 作 CH⊥ x 轴,垂足为 H
∵在 Rt△OAB 中,∠OAB=900,∠BOA=300,AB
=2
∴OB=4,OA= 23
由折叠知,∠COB=300,OC=OA= 2
3
∴∠COH=600,OH=
3 ,CH=3
∴C 点坐标为(
3 ,3)
(2)∵抛物线 y = ax 2 + bx ( a ≠0)经过 C(
( 23 ,0)两点
3 ,3)、A
⎧3 =3 2 a + 3b
⎪⎩0 = 2 3 2 a + 2 3b
解得:
⎧a = -1
⎩b = 2 3
∴此抛物线的解析式为:
y = - x 2 + 2
3x
(3)存在。
因为 y = - x 2 + 2
3x 的顶点坐标为( 3 ,3)
即为点 C
MP⊥ x 轴,设垂足为 N,PN= t ,因为∠BOA=300,
所以 ON=
3 t
∴P(
3 t , t )
作 PQ⊥CD,垂足为 Q,ME⊥CD,垂足为 E
把 x =3 ⋅ t 代入 y = - x 2 + 2 3x 得:
y = -3t 2 + 6t
∴ M(
3 t , - 3t 2 + 6t ,E( 3 , - 3t 2 + 6t )
同理:
Q(
3 , t ,D( 3 ,1)
要使四边形 CDPM 为等腰梯形,只需 CE=QD
即 3 - (- 3t 2 + 6t )= t - 1 ,解得:
t
2
∴ P 点坐标为( 4
4 )
3
∴ 存在满足条件的点 P,使得四边形 CDPM 为等
腰梯形,此时 P 点的坐为( 4
4 )
3
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