新教材高中数学第四章指数函数对数函数与幂函数45增长速度的比较学案新人教B版必修第二册.docx
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新教材高中数学第四章指数函数对数函数与幂函数45增长速度的比较学案新人教B版必修第二册
新教材高中数学第四章指数函数、对数函数与幂函数4.5增长速度的比较学案新人教B版必修第二册
4.5 增长速度的比较
考点
学习目标
核心素养
平均变化率
了解平均变化率描述增长速度的概念
数学抽象
模型增长差异
了解在实际生活中不同增长规律的函数模型
数学建模
问题导学
预习教材P38-P40的内容,思考以下问题:
1.平均变化率是如何定义的?
2.如何用平均变化率描述增长速度?
3.线性增长、指数增长、对数增长有什么关系?
1.平均变化率
我们已经知道,函数y=f(x)在区间[x1,x2](x1
=.
也就是说,平均变化率实质上是函数值的改变量与自变量的改变量之比,这也可以理解为:
自变量每增加1个单位,函数值平均将增加个单位.因此,可用平均变化率来比较函数值变化的快慢.
2.几类不同增长的函数模型
(1)一次函数模型
一次函数模型y=kx(k>0)的增长特点是直线上升,其增长速度不变.
(2)指数函数模型
指数函数模型y=ax(a>1)的增长特点是随着自变量的增大,函数值增大的速度越来越快,即增长速度急剧,形象地称为“爆炸式增长”.
(3)对数函数模型
对数函数模型y=logax(a>1)的增长特点是随着自变量的增大,函数值增大的速度越来越慢,即增长速度平缓.
(4)幂函数模型
当x>0,n>1时,幂函数y=xn是增函数,且当x>1时,n越大其函数值的增长速度就越快.
判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)增长速度不变的函数模型是一次函数模型.( )
(2)对任意的x>0,kx>logax.( )
(3)对任意的x>0,ax>logax.( )
(4)在指数函数模型、对数函数模型、一次函数模型中增长速度较慢的函数模型是对数函数模型.( )
答案:
(1)√
(2)× (3)× (4)√
下列函数中随x的增大而增大且速度最快的是( )
A.y=ex B.y=lnx
C.y=3xD.y=e-x
答案:
A
函数f(x)=从0到2的平均变化率为( )
A.B.1
C.0D.2
解析:
选A.由题意可知,函数f(x)=从0到2的平均变化率为=,故选A.
平均变化率的比较
(1)在x=1附近,取Δx=0.3,在四个函数①y=x、②y=x2、③y=x3、④y=中,平均变化率最大的是( )
A.④ B.③
C.②D.①
(2)汽车行驶的路程s和时间t之间的函数图像如图所示,在时间段[t0,t1],[t1,t2],[t2,t3]上的平均速率分别为v1,v2,v3,则三者的大小关系为________.
【解析】
(1)Δx=0.3时,①y=x在x=1附近的平均变化率k1=1;②y=x2在x=1附近的平均变化率k2=2+Δx=2.3;③y=x3在x=1附近的平均变化率k3=3+3Δx+(Δx)2=3.99;④y=在x=1附近的平均变化率k4=-=-.所以k3>k2>k1>k4,故应选B.
(2)v1==kOA,
v2==kAB,
v3==kBC,
又因为kBC>kAB>kOA,
所以v3>v2>v1.
【答案】
(1)B
(2)v3>v2>v1
求平均变化率的主要步骤
(1)求Δy=f(x2)-f(x1).
(2)求Δx=x2-x1.
(3)求平均变化率=.
1.函数f(x)=x2在x0到x0+Δx之间的平均变化率为k1,在x0-Δx到x0之间的平均变化率为k2,则k1,k2的大小关系是( )
A.k1<k2B.k1>k2
C.k1=k2D.无法确定
解析:
选D.k1==2x0+Δx,
k2==2x0-Δx,
又Δx可正可负且不为零,所以k1,k2的大小关系不确定,选D.
2.如图显示物体甲、乙在时间0到t1范围内,路程的变化情况,下列说法正确的是________.
①在0到t0范围内,甲的平均速率大于乙的平均速率;
②在0到t0范围内,甲的平均速率小于乙的平均速率;
③在t0到t1范围内,甲的平均速率大于乙的平均速率;
④在t0到t1范围内,甲的平均速率小于乙的平均速率.
解析:
由图像知,0~t0范围:
v甲=v乙=;
t0~t1范围:
v甲=,v乙=.
因为s2-s0>s1-s0,t1-t0>0,所以v甲>v乙.所以③正确.
答案:
③
函数模型增长差异的比较
甲、乙、丙、丁四个物体同时从某一点出发向同一个方向运动,其路程fi(x)(i=1,2,3,4)关于时间x(x≥0)的函数关系式分别为f1(x)=2x-1,f2(x)=x2,f3(x)=x,f4(x)=log2(x+1),有以下结论:
①当x>1时,甲走在最前面;
②当x>1时,乙走在最前面;
③当0<x<1时,丁走在最前面,当x>1时,丁走在最后面;
④丙不可能走在最前面,也不可能走在最后面;
⑤如果它们一直运动下去,那么最终走在最前面的是甲.
其中,正确结论的序号为________.
【答案】 ③④⑤
常见的函数模型及增长特点
(1)线性函数模型
线性函数模型y=kx+b(k>0)的增长特点是直线上升,其增长速度不变.
(2)指数函数模型
指数函数模型y=ax(a>1)的增长特点是随着自变量的增大,函数值增大的速度越来越快,即增长速度急剧,形象地称为“指数爆炸”.
(3)对数函数模型
对数函数模型y=logax(a>1)的增长特点是随着自变量的增大,函数值增大的速度越来越慢,即增长速度平缓.
1.下列函数中,增长速度越来越慢的是( )
A.y=6xB.y=log6x
C.y=x2D.y=6x
解析:
选B.D中一次函数的增长速度不变,A、C中函数的增长速度越来越快,只有B中对数函数的增长速度越来越慢,符合题意.
2.“红豆生南国,春来发几枝”.如图给出了红豆生长时间t(月)与枝数y(枝)的关系图,那么最适合拟合红豆的枝数与生长时间的关系的函数是( )
A.指数函数y=2t
B.对数函数y=log2t
C.幂函数y=t3
D.二次函数y=2t2
解析:
选A.根据已知所给的关系图,观察得到图像在第一象限,且从左到右图像是上升的,并且增长速度越来越快,根据四个选项中函数的增长趋势可得,用指数函数拟合最好,故选A.
不同增长函数模型的图像特征
函数f(x)=lgx,g(x)=0.3x-1的图像如图所示.
(1)指出图中C1,C2分别对应哪一个函数;
(2)比较两函数的增长差异(以两图像交点为分界点,对f(x),g(x)的大小进行比较).
【解】
(1)由函数图像特征及变化趋势,知曲线C1对应的函数为g(x)=0.3x-1,曲线C2对应的函数为f(x)=lgx.
(2)当x∈(0,x1)时,g(x)>f(x);当x∈(x1,x2)时,g(x)<f(x);当x∈(x2,+∞)时,g(x)>f(x).
g(x)呈直线增长,函数值变化是均匀的,f(x)随着x的增大而逐渐增大,其函数值变化得越来越慢.
由图像判断指数函数、对数函数和一次函数的方法
根据图像判断增长型的指数函数、对数函数和一次函数时,通常是观察函数图像上升得快慢,即随着自变量的增大,图像最“陡”的函数是指数函数;图像趋于平缓的函数是对数函数;图像增长速度不变的是一次函数.
1.以下是三个变量y1,y2,y3随变量x变化的函数值表:
x
1
2
3
4
5
6
7
8
…
y1
2
4
8
16
32
64
128
256
…
y2
1
4
9
16
25
36
49
64
…
y3
0
1
1.585
2
2.322
2.585
2.807
3
…
其中关于x呈指数函数变化的函数是________.
解析:
从表格可以看出,三个变量y1,y2,y3都是越来越大,但是增长速度不同,其中变量y1的增长速度最快,画出它们的图像(图略),可知变量y1呈指数函数变化.
答案:
y1
2.为了预防流感,某学校对教室用药熏消毒法进行消毒.已知药物释放过程中,室内每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时)成正比,药物释放完毕后,y与t的函数关系式为y=(a为常数),如图所示,
根据图中所提供的信息,回答下列问题:
(1)从药物释放开始,每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时)之间的函数关系式为________.
(2)据测定,当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时,学生方可进入教室,那么从药物释放开始,至少要经过________小时后,学生才能回到教室.
解析:
(1)由图像可知,当0≤t≤0.1时,y=10t;当t>0.1时,由1=,得a=0.1,则当t>0.1时,y=.
故y=.
(2)由题意可知,<0.25,得t>0.6.
答案:
(1)y=
(2)0.6
1.函数y=2x在区间[x0,x0+Δx]上的平均变化率为( )
A.x0+Δx B.1+Δx
C.2+ΔxD.2
解析:
选D.由题意,可得平均变化率==2,故选D.
2.下列函数中,在(0,+∞)上增长速度最快的是( )
A.y=x2B.y=log2x
C.y=2xD.y=2x
答案:
D
3.在一次数学试验中,采集到如下一组数据:
x
-2.0
-1.0
0
1.00
2.00
3.00
y
0.24
0.51
1
2.02
3.98
8.02
则x,y的函数关系与下列哪类函数最接近?
(其中a,b为待定系数)( )
A.y=a+bxB.y=a+bx
C.y=ax2+bD.y=a+
答案:
B
4.现测得(x,y)的两组对应值分别为(1,2),(2,5),现有两个待选模型,甲:
y=x2+1,乙:
y=3x-1,若又测得(x,y)的一组对应值为(3,10.2),则应选用________作为函数模型.
答案:
甲
[A 基础达标]
1.函数y=x2+1在[1,1+Δx]上的平均变化率是( )
A.2 B.2x
C.2+ΔxD.2+(Δx)2
解析:
选C.依题意,所求平均变化率为=2+Δx,故选C.
2.已知函数y=f(x)=x2+1,则在x=2,Δx=0.1时,Δy的值为( )
A.0.40B.0.41
C.0.43D.0.44
解析:
选B.Δy=f(x+Δx)-f(x)=f(2+0.1)-f
(2)=(2.1)2+1-(22+1)=0.41.故选B.
3.小明骑车上学,开始时匀速行驶,途中因交通堵塞停留了一段时间后,为了赶时间加快速度行驶.与以上事件吻合得最好的图像是( )
解析:
选C.小明匀速运动时,所得图像为一条直线,且距离学校越来越近,故排除A.因交通堵塞停留了一段时间,与学校的距离不变,故排除D.后来为了赶时间加快速度行驶,故排除B.故选C.
4.某学校开展研究性学习活动,某同学获得一组实验数据如下表:
x
1.99
3
4
5.1
6.12
y
1.5
4.04
7.5
12
18.01
对于表中数据,现给出以下拟合曲线,其中拟合程度最好的是( )
A.y=2x-2B.y=
C.y=log2xD.y=(x2-1)
解析:
选D.法一:
相邻的自变量之差大约为1,相邻的函数值之差大约为2.5,3.5,4.5,6,基本上是逐
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