形式语言与自动机理论蒋宗礼第三章参考答案Word文档格式.docx
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除以5余3的等价类,q4:
除以5余4的等价类,接受状态qt
3.状态转移表为
状态
q0
q1
q2
q3
q4
0,进入陷阱状态)
(8){x|x{0,1}+且x的第十个字符为1}
(设置一个陷阱状态,一旦发现x的第十个字符为
(9){x|x•{0,1}+且x以0开头以1结尾}
(设置陷阱状态,当第一个字符为1时,进入陷阱状态)
(10){x|x{0,1}+且x中至少含有两个1}
x以0结尾,则它的长度
0结尾的等价类
1结尾的等价类
(11){x|x■{0,1}+且如果x以1结尾,则它的长度为偶数;
如果为奇数}
可将{0,1}+的字符串分为4个等价类。
qo:
[]的等价类,对应的状态为终止状态qi:
x的长度为奇且以q2:
x的长度为奇且以q3:
x的长度为偶且以
q4:
x的长度为偶且以1结尾的等价类
(12){x|x是十进制非负数}
5,6,7,8,9
0,1,2,3,4,5,6,7,8,9
(13)门
(张友坤02282061)
3⑴
'
={0,1}
Set(q0)={x|x--*}
⑵
Set(q0)=;
Set(q1)={x|x--+}
00的子串}
Set(q1)={x|x-■-+并且x中不含形如
Set(q2)={x|x-■-+并且x中不含形如
⑷
={0,1}
Set(q0)={x|x匚-*并且x中不含形如
Set(q1)={x|x-■-并且x中不含形如
={0,1}**
Set(q0)={x|「,并且x^{0}或者x中含形如100的子串}
Set(q1)={x|x三「*,并且x中含形如1的子串}
Set(q2)={x|x-二,并且x中含形如10的子串}
Set(q3)={x|x匚,并且x中含形如101的子串}
Set(q4)={x|x-,并且x中含形如1011的子串}
Set(q5)={x|x-,并且x中含形如10110的子串}
⑹
Set(q0)={;
}
—+
Set(q1)={x|x{0}}
Set(q2)={x|x--,并且x中不含形如10110的子串而且x中含有1}
Set(q3)={x|x--,并且x中不含形如10110的子串而且x中含有1}
⑺
Set(qs)={}
Set(qe)={0}
Set(q1)={x|
x,'
+,并且把x看成二进制数时,x%5=1}
Set(q2)={x|
X:
-+,并且把x看成二进制数时,x%5=2}
Set(q3)={x|
x
7,并且把x看成二进制数时,
x%5=3}
Set(q4)={x|
x三
7+,并且把x看成二进制数时,
X%5=4}
Set(q0)={x|
x%5=0并且x不为0}
(8)
M={Q,'
,qo,F}
Q={qo,qi,q2,••
•qo}
当0<
=i<
=8时候,
、(qi,0)=、•(qi,1)=q(i+i)
(q9,1)=q10
(q10,0)=「
(q10,1)=q10
F={q10}
Set(q1)={0,1}
、+,并且凶=2}
、+,并且|x|=3}
+,并且凶=4}
Set(q5)={x|
7+,并且|x|=5}
Set(q6)={x|
、+,并且凶=6}
Set(q7)={x|
、+,并且|x|=7}
Set(q8)={x|
+,并且|x|=8}
Set(q9)={x|
、+,并且|x|=9}
Set(q10)={x
1x
+,并且x的第十个字符是-
1}
(9)M={Q,'
7
、,qo,F}
Q={q0,q1,q2}
、={0,1}
、(q0,0)=q1
、(q1,0)=q1
、(q1,1)=q2
-(q2,1)=q2
、(q2,0)=q1
F={q2}
+,并且x以0开头以0结尾
、+,并且x以0开头以1结尾
(10)M={Q,厂,qo,F}
-(qo,0)=qo
-(q0,1)=q1
、(qi,1)=q2
、(q2,1)=q2
、.(q2,0)=q2
Set(qO)={0}*
Set(q1)={x|x-+,并且x中只有一个1}
Set(q2)={x|x-+,并且x至少有俩个1}
(11)M={Q,'
、•,qo,F}
Q={q0,q1,q2,q3,q}
、(qo,0)=q1
、(qo,1)=q4
、(q1,0)=q3
-(q2,1)=q4
-(q3,0)=q1
-(q3,1)=q4
、(q4,1)=q2
-(q4,0)=q3
F={q0,q1,q2}
x,v+,以0结尾,长度为奇数
+,以1结尾,长度为偶数
+,以0结尾,长度为偶数x・'
:
以1结尾,长度为奇数
(12)
、,q0,F}
Q={q0,q1,q2,q3,q4}
={.,0,1,2,…,9}
F={q1,q2,q4}
-(q0,0)=q1
-(q0,1|2|3|4|5|6|7|8|9)=q2
、(q1,.)=q2
(q2,0|1|2|3|4|5|6|7|8|9)=q2
、(q2,.)=q3
、(q3,0|1|2|3|4|5|6|7|8|9)=q4
(q4,0|1|2|3|4|5|6|7|8|9)=q4
Set(q1)={0}
Set(q2)={十进制正整数}
Set(q3)={十进制非负整数后面接个小数点.}
Set(q4)={十进制正小数}
(13)
Set(qO)={;
Set(qO)=-
(14)
Set(q0)={;
4在例3-6中,状态采用ql^az-an]的形式,它比较清楚地表达出该状态所对应的记忆内
品2.鸟]代替
容,给我们解决此问题带来了很大的方便,我们是否可以直接用
q[a!
a2...an]呢?
如果能,为什么?
如果不能,又是为什么?
从此问题的讨论,你能总
结出什么来?
(唐明珠02282084)
答:
我认为能够直接用[a!
a2...an]代替q[a-ia2...an],因为在例3-6中,qlaQ?
..®
]只是
种新的表示方法,用来表示状态存储的字符,这样就省去了在:
中逐一给出每一个具体的输入字符和状态的定义。
它的作用在于使fa中状态定义更加简洁。
得到结论:
在今后描述FA时,应该根据具体的情况,使用适当的方法。
5.试区别FA中的陷阱状态和不可达状态。
(吴贤珺02282047)
解:
⑴陷阱状态(课本97页):
指在其它状态下发现输入串不可能是该FA所识别的句子
时所进入的状态。
FA—旦进入该状态,就无法离开,并在此状态下,读完输入串中剩余的字符。
⑵不可达状态(课本108页):
指从FA的开始状态出发,不可能到达的状态。
就FA
的状态转移图来说,就是不存在从开始状态对应的顶点出发,到达该状态对应顶点的路径。
⑶从两者的定义可见:
相对于不可达状态来说,陷阱状态是可达的。
但是,它们都是状态转移图中的非正常状态。
如果从状态转移图中的状态引一条弧到不可达状态,同时不可达状态所有的移动都是到自身。
这样,不可达状态就变成了陷阱状态。
******************************************************************************
注:
此题目有问题,可以将题设改为:
x中0和1个数相等且交替出现
6.证明:
题目有不严密之处,图中给出DFA与题目中的语言L(M)={x|xx,{0,1}+且x
中0的个数和1的个数相等}不完全对应,首先图中的DFA可接受空字符串,而L(M)
不接受,其次,对于有些句子,例如1100,L(M)可以接受,但DFA不接受
(1)根据图中的DFA可看出,右下角的状态为陷阱状态,所以去除陷阱状态
(2)由DFA可构造出与其对应的右线性文法:
(刘钰02282083)
S>
0A
A>
1S|1
1B
B>
0S|0
将1S,1代入S>
OA;
06,代入S'
B得
01S|01
1OS|10
由此可以看出该文法接受的语言为L={(10|01)*},显然01或10分别是作为整体出现的,
所以L(M)中0和1的个数相等。
7•设DFAM=(Q,、,、,q°
F),证明:
对于-X,y-二*,qQ,、.(q,xy)=、.C(q,x),y)
采用归纳证明的思路
证明:
(周期律02282067)
首先对y归纳,对任意x来说,|y|=0时,即y=;
根据DFA定义、(q,;
)二q,、(q,xy)=、(q,x)=、.(、.(q,x),;
)=、(、(q,x),y),故原式
成立。
当|y|=n时,假设原式成立,故当|y|=n+1时,
不妨设y=wa,|w|=n,|a|=1
根据DFA定义、(q,xa)二、.(、.(q,x),a),a'
,故
、(q,xy)二、(q,xwa)二、((q,xw),a)二、(((q,x),w),a)二、(、(q,x),wa)二G(q,x),y)
原式成立,
同理可证,对任意的y来说,结论也是成立的。
综上所述,原式得证
&
证明:
对于任意的DFAM1=(QQ,S,q°
F1)存在DFAM2=(QQ,S,q°
F2),(冯蕊02282075)使得L(M2)=工一L(M1)o
(1)构造M2。
设DFAM1=(Q,工,S,q0,F1)取DFAM2=(Q,工,S,q0,Q—F1)
(2)证明L(M2)=工—L(M1)
对任意x・工*
x-L(M2)=工—L(M1):
=S(q,x)Q—F^S(q,x):
二Q并且S(q,x)'
F1二x:
=工*并且x-L(M1)=x,工*—L(M1)
9.对于任意的DFAM1=(Q1,刀,S1,q01,F1),请构造DFAM1=(Q2,刀,S2,q°
2,F2),使得
L(M1)=L(M2)T。
其中L(M)t={x|xT€L(M)}(褚颖娜02282072)
(1)构造s-NFAM使得L(M)=L(M1)取£
-NFAM=(Q,刀,S,q°
{q01})其中:
1)Q=Q1U{q。
},q。
Q1
2)对于-q,p€Qi,a€E,如果Si(q,a)=p,q€S(p,a)
3)S(qo,e)=Fi
(2)证明:
L(M)=L(Mi)T
对-x=aia2…am€L(M)
qoaia2…am卜qfaia2…am卜aiqia2…am卜aia2q2…am卜aia2…qm-iam
卜aia2…amqoi
其中qf€S(qo,£
),qi€S(qf,ai),q2€S(qi,a2),•••qoi€S(qm-i,am)并且qf€Fi
则Si(qoi,am)=qm-i,Si(qm-i,am-i)=qm-2,…Si(q2,a2)=qiSi(qi,ai)=qf
因此qoiamam-i•…ai卜amqm-iam-i•…ai卜am3m-i…q2a2ai卜amam-i…a2qiai
卜amam-i…a2aiqf
因此amam-i…ai€L(Mi)即xT€L(Mi)
同理可证对于-x=aia2…am€L(Mi)xT=amam-i…ai€L(Mi)
L(M)=L(Mi)T得证
(3)将e-NFAM确定化
首先构造与e-NFAM=(Q,刀,S,qo,{qoi})等价的NFAM3=(Q,刀,S2,qo,{qoi})其中对于一(q,a)€Q*刀S2(q,a)=S'
(q,a)
然后按照以前学过的方法构造与NFAM3=(Q,E,S2,qo,{qoi})等价的DFA
Mi=(Qi,E,Si,[qo],Fi)其中:
Qi=2QFi={qoi}
Si([qi,q2,…,qn],a)=[pi,p2,…,pn]当且仅当S2({qi,q2,…,qn},a)={pi,p2,…,pn}
此题(io题)张友坤、吴玉涵所做完全一样!
!
iO、构造识别下列语言的NFA(吴玉涵0228209i)
(i){xx€{0,i}+且x中不含形如00的子串}
i
⑵{X
x・{0,1}且x中含形如10110的子串}
1°
11
0,1
(3){xx^{0,1}+且x中不含形如10110的子串}
(4){x^{0,1^和x的倒数第10个字符是1,且以01结尾}
0,1
(5){xx^{0,1}+且x以0开头以1结尾}
(6)
{xx^{0,1}+且x中至少含有两个1}
(7){xx^{0,1}*且如果x以1结尾,则它的长度为偶数;
如果以0结尾,则它的长度为奇数}
{xx^{0,1}+且X的首字符和尾字符相等}
(9)
{xcoxTx,八{0,1}1
这是最基本的单元,其他的可以通过这个逐级构造出来,以满足题目要求。
11.根据给定的NFA,构造与之等价的DFA.(吴丹02282090)
(1)NFAM1的状态转移函数如表3-9
状态说明
输入字符
2
开始状态
{q0,q1}
{q0,q2}
{q3,q0}
{q2}
{q3,q1}
{q2,q1}
终止状态
{q3,q2}
{q3}
{q0}
解答:
[q0,q1]
[q0,q2]
[qO,q1]
[q0,q1,q3]
[q0,q1,q2,q3]
[q0,q1,q2]
[q0,q2,q3]
[q0,q2,q3]
[q0,q2]
[q0,q1,q2]
图3-9所示NFA等价的DFA
(2)NFAM2的状态转移函数如表3-10
{q1,q3}
{q1}
{q0}
{q1,q2}
{q0}
{q2}
{q3}
[q1,q3]
[q1]
[q0]
[q2]
[q1,q2]
[q2,q3]
[q1,q2,q3]
[q0,q1,q2]
[q1,q2]
[q1,q2,q3]
[q3,q1,q2]
002
吆仁]
图3-10所示NFA等价的DFA
****************************************************************************
12.证明对于任意的NFA,存在与之等价的NFA,该NFA最多只有一个终止状态
(刘钰02282083)证明:
对于任意的NFAM=(Q,刀,3,q0,F),我们如果能构造出一个只有一个终止状态的NFA,并且与之等价,即可证明上面的定理
而对于任意的NFA存在下面两种情况:
(1)终止状态只有一个
(2)终止状态有多个
要构造这个等价的NFA,可以采用如下方法:
对⑴无需变化,该NFA即为满足条件的NFA对
(2)可以在该NFA的状态图上添加一个新的终止状态,并将原来的多个终止状态所连接的弧复制到该状态上,此时这个终止状态为新状态图中唯一的终止状态,且这个新的NFA与
原NFA等价,满足条件我们总能构造出这样的NFA
因此对于任意的NFA,存在与之等价的NFA,该NFA最多只有一个终止状态
13.试给出一个构造方法,对于任意的NFAM1=(Q1,v,「,q0,F1),构造NFA
M2=(Q2「,2,q0,F2),使得L(M2
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- 形式语言 自动机 理论 蒋宗礼 第三 参考答案