人教A版高中数学必修二圆的方程教案1Word文档格式.docx
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⑤d<R1-R2两圆内含。
4、圆的参数方程
是表示圆心为原点,半径为R的圆,由于圆的参数方程是由圆上动点坐标形式来表达的,用参数式求圆上的动点与某定点的距离,求圆上的动点与某定点所有连线的斜率范围等问题可化为三角求解,这样运算简洁,计算方便。
四、重点与难点
1、重点:
圆的标准方程、一般方程、参数方程的推导和应用
2、难点:
直线与圆、圆与圆的位置关系的讨论以及圆的相关性质的研究
五、课时安排 三课时
第一课时 圆的标准方程
●教学目标
1.掌握圆的标准方程的形式特点;
2.能根据圆心坐标、半径熟练写出圆的标准方程;
3.能从圆的标准方程求出它的圆心和半径.
●教学重点
圆的标准方程
●教学难点
根据条件建立圆的标准方程
●教学方法
学导式
●教学过程
设置情境:
在初中的几何课本中,大家对圆的性质就比较熟悉,首先来回顾一下圆的定义。
平面内与定点距离等于定长的点的集合是圆,定点就是圆心,定长就是半径.
按照求解曲线方程的一般步骤来求解圆的方程.
1.圆的标准方程:
(x―a)2+(y―b)2=r2
其中圆心坐标为(a,b),半径为r
推导:
如图7—32,设M(x,y)是圆上任意一点,根据定义,点M到圆心C的距离等于r,所以圆C就是集合
由两点间的距离公式,点M适合的条件可表示为
把①式两边平方,得(x―a)2+(y―b)2=r2
当圆心在原点,这时圆的方程是:
x2+y2=r2
小结:
由圆的标准方程知道,只要知道圆的圆心、半径就可以写出圆的方程。
课堂练习:
1、P77 练习 1
写出下列各圆的方程
⑴圆心在原点,半径是3;
⑵圆心在点C(3,4),半径是5;
⑶圆心在点C(8,-3),经过点P(5,1)。
2、说出下列圆的圆心、半径
⑴(x-2)2+(y+3)2=25
⑵(x+2)2+(y-1)2=36
⑶x2+y2=4
3、判断下列各点与圆(x+1)2+(y-1)2=4的位置关系:
①A(1,1);
②B(0,1);
③C(3,1)。
点P(x0,y0)与(x-a)2+(y-b)2=r2的位置关系是
(x0-a)2+(y0-b)2=r2等价于点P在圆上;
(x0-a)2+(y0-b)2>r2等价于点P在圆外;
(x0-a)2+(y0-b)2<r2等价于点P在圆内。
2.例题讲解:
例1求以C(1,3)为圆心,并且和直线3x-4y-7=0相切的圆的方程.
回忆初中直线与圆的位置关系:
①设圆心到直线的距离d,圆的半径为r,则d>r等价于直线与圆相离;
d=r等价于直线与圆相切;
d<r等价于直线与圆相交。
②从交点个数来看:
直线与圆没有交点等价于直线与圆相离;
直线与圆只有一个点等价于直线与圆相切;
直线与圆有两个点等价于直线与圆相交。
③从方程的观点来看:
Δ>0等价于直线与圆相交;
Δ=0等价于直线与圆相切;
Δ<0等价于直线与圆相离。
解:
因为圆C和直线3x-4y-7=0相切,所以半径r等于圆心C到这条直线的距离.
根据点到直线的距离公式,得
因此,所求的圆的方程是
说明直线和圆相切的性质是解决圆的问题重要知识
例2已知圆的方程是x2+y2=r2,求经过圆上一点M(x0,y0)的切线的方程.
如图,设切线的斜率为k,半径OM的斜率为k1,因为圆的切线
垂直于过切点的半径,于是
.
经过点M的切线方程是:
整理得:
因为点M(x0,,y0)在圆上,所以
所求切线方程为:
当点M在坐标轴上时,上述方程同样适用.
猜测:
已知圆的方程是(x-a)2+(y-b)2=r2,则经过圆上一点M(x0,y0)的切线的方程是(x-a)(x0-a)+(y-b)(y0-b)=r2.
说明:
例2结论要求学生熟记.,一题多解
例3图7—34是某圆拱桥的一孔圆拱的示意图.该圆拱跨度AB=20m,拱高OP=4m,在建造时每隔4m需用一个支柱支撑,求支柱A2P2的长度(精确到0.01m).
建立直角坐标系如图7—34所示.
圆心在y轴上,设圆心的坐标是(0,b),圆的半径是r,那么圆的方程是x2+(y-b)2=r2
因为P、B都在圆上,所以它们的坐标(0,4)、(10,0)都是这个圆的方程的解.于是得到方程组.
解得b=-10.5,r2=14.52
所以这个圆的方程是:
x2+(y+10.5)2=14.52
把点P的横坐标x=-2代入圆方程得
答:
支柱A2P2的长度约为
例3一方面让学生进一步熟悉求曲线方程的一般步骤,另一方面了解待定系数法确定曲线方程的思路.
Ⅲ.课堂练习
课本P77练习1,2,3,4
思考题:
1、圆x2+y2=1上的点到直线3x+4y-25=0的最小距离是__________。
5
2.直线3x-4y+17=0被(x-2)2+(y-2)2=25所截得的弦长是_____________.8
●归纳总结
1数学思想:
数形结合,
2数学方法:
解析法,图形法。
通过本节学习,要求大家熟练掌握圆的标准方程,了解待定系数法,进一步熟悉求曲线方程的一般步骤,并能解决一些简单的有关圆的实际问题.。
要学会把圆的几何性质与解析法结合起来解决问题。
●作业 习题7.71,2,3,4
第二课时 圆的一般方程
1.掌握圆的一般方程的形式特点及与标准方程互化;
2.掌握二元二次方程表示圆的充要条件;
3.进一步熟悉并掌握待定系数法.
圆的一般方程应用
待定系数法
教学过程
一、设置情境:
1、求下列各圆的标准方程
⑴圆心在直线y=-x上,且过两点(2,0),(0,-4);
⑵圆心在直线2x+y=0上,且与直线x+y-1=0相切于点(2,-1);
⑶圆心在直线5x-3y=8上,且与坐标轴相切。
⑴(x-3)2+(y+3)2=10;
⑵(x-1)2+(y+2)2=2;
⑶(x-4)2+(y-4)2=16
2、已知圆x2+y2=25,求:
⑴过点A(4,-3)的切线方程;
4x-3y-25=0
⑵过点B(-5,2)的切线方程。
21x-20y+145=0或x=-5
2、圆的标准方程及其应用回顾:
(x―a)2+(y―b)2=r2其中圆心坐标为(a,b),半径为r
变形圆的标准方程
x2+y2―2ax―2by+a2+b2-r2=0
由此可见,任一个圆的方程都可以写成下面的形式:
x2+y2+Dx+Ey+F=0 ①
反过来,我们研究形如①的方程的曲线是不是圆。
将①的左边配方,整理得
②
⑴当D2+E2-4F>0时,比较方程②和圆的标准方程,可以看出方程①表示以(―D/2,―E/2)为圆心,半径为
的圆;
⑵当D2+E2-4F=0时,方程①只有实数解x=―D/2,y=―E/2,所以表示一个点(―D/2,―E/2);
⑶当D2+E2-4F<0时,方程①没有实数解,因而它不表示任何图形。
二、解决问题
1、圆的一般方程:
x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0),其中圆心(―D/2,―E/2),半径为
。
2、二元二次方程表示圆的充要条件:
由二元二次方程的一般形式:
Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0
和圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0的系数比较,
(1)x2和y2的系数相同,且不等于0,即A=C≠0;
(2)没有xy项,即B=0;
(3)D2+E2-4AF>0.
练习:
1、下列方程各表示什么图形?
⑴x2+y2=0
⑵x2+y2-2x+4y-6=0
⑶x2+y2+2ax-b2=0
2、求下列各圆的圆心与半径
⑴x2+y2-6y=0
⑵x2+y2+2by=0
⑶x2+y2-4x+6y-12=0
三、反思应用
例1求过三点O(0,0)、M1(1,1)、M2(4,2)的圆的方程,并求这个圆的半径和圆心坐标.
设所求圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0
用待定系数法,根据所给条件来确定D、E、F、
因为O、M1、M2在圆上,所以它们的坐标是方程的解.把它们的坐标依次代入上面的方程,可得
解得
于是所求圆方程为:
x2+y2-8x+6y=0
化成标准方程为:
(x-4)2+[y-(-3)]2=52
所以圆半径r=5,圆心坐标为(4,-3)
例4要求学生进一步熟悉待定系数法,并能将圆的一般方程化成标准形式,并求出相应半径与圆心半径.
例2已知一曲线是与两个定点O(0,0)、A(3,0)距离的比为1/2的点的轨迹,求此曲线的方程,并画出曲线.
在给定的坐标系里,设点M(x,y)是曲线上的任意一点,也就是点M属于集合.
由两点间的距离公式,点M所适合的条件可以表示为
,①
将①式两边平方,得
化简得x2+y2+2x-3=0②
化为标准形式得:
(x+1)2+y2=4
所以方程②表示的曲线是以C(-1,0)为圆心,2为半径的圆,它的图形如图7—35所示.
例3 求过原点及点A(1,1)且在x轴上截得的线段长为3的圆的方程。
设所求圆的方程为:
x2+y2+Dx+Ey+F=0,则
又圆被x轴上截得的线段长为3,即|D|=3
∴D=±
3,当D=3时,E=-5,F=0;
当D=-3时,E=1,F=0
故所求的圆的方程为:
x2+y2+3x-5y=0或x2+y2-3x+y=0
●课堂小结
圆的一般方程,能化成标准方程,进一步熟悉待定系数法思路,熟练求解曲线方程.
●课后作业
习题7.75,6,7,8
第三课时 圆的方程
教学目标
⑴进一步掌握圆的标准方程与一般方程
⑵能根据条件选择适当的形式求出圆的方程
⑶进一步培养学生用坐标法研究几何问题的能力,培养学生对数学知识的理解能力、运用能力、判断能力。
知识掌握
A组:
1、点M在圆(x-5)2+(y-3)2=9上,则点M到直线3x+4y-2=0的最短距离为( )
A、9 B、8 C、5 D、2
2、由点M(-1,4)向圆(x-2)2+(y-3)2=1所引的切线的长是( )
A、3
D、5
3、过点M(2,3)且与圆x2+y2=4相切的直线方程是___________________.
4、若直线ax+by=1与圆x2+y2=1相交,则点M(a,b)与圆的位置关系是____________.
5、求与y轴相切,圆心在直线x-3y=0上且截直线y=x所得弦长为
的圆的方程。
答案:
1、D;
2、A;
3、x=2和5x-12y+20=0;
4、圆外;
5、设圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2
∵圆心在直线x-3y=0上,∴a=3b①
∵圆与y轴相切,∴r=|a|=|3b|②
∵圆心(a,b)到直线y=x的距离
,即d2=2b2,
又圆截直线y=x所得弦长为
∴9b2=2b2+7③,由①②③解得:
a=3,b=1,r=3或a=-3,b=-1,r=3
故所求圆的方程是(x-3)2+(y-1)2=9或(x+1)2+(y+3)2=9
B组:
1、方程x2+y2+2kx+4y+3k+8=0表示一个圆,则实数k的取值范围是( )
A、k>
-8/3B、k<
-8/3C、-1<
k<
4D、k<
-1或k>
4
2、两圆x2+y2=4与x2+y2+4x-4y+4=0关于直线l对称,则l的方程是( )
A、x+y=0 B、x+y-2=0 C、x-y-2=0 D、x-y+2=0
3、点A(3,5)是圆x2+y2-4x-8y-80=0的一条弦的中点,则这条弦所在直线方程是_____.
4、直线l过点P(3,0),且被圆x2+y2-8x-2y+12=0截得的弦最短,则直线l方程是_____.
5、求经过两圆x2+y2+6x-4=0与x2+y2+6y-28=0的交点且圆心在直线x-y-4=0的圆的方程。
2、D;
3、x-y+2=0;
4、x-y-3=0;
5、设过两圆交点的圆为:
x2+y2+6x+λ(x2+y2+6y-28)=0
则其圆心为
,代入x-y-4=0得
解得:
λ=-7,故所求圆的方程是x2+y2-x+7y-32=0
能力提高
例1 已知方程x2+y2-2(t+3)x+2(1-4t2)y+16t4+9=0,求⑴t为何值时,方程表示圆?
⑵当方程表示圆时,t为何值时,圆的面积最大?
并求此时的圆的面积。
分析:
⑴D2+E2-4F=4(t+3)2+4(1-4t2)2-4(16t4+9)=-28t2+24t+4>0,解之得:
-1/7<t<1;
⑵由于S=πr2,∴当r2最大时,S最大
又r2=(D2+E2-4F)/4=-7t2+6t+1=-7(t-3/7)2+16/7
∴当t=3/7时,r2有最大值16/7,此时Smax=πr2=16π/7。
例2 如果直线l将圆x2+y2-2x-4y=0平分,且不通过第四象限,那么l的斜率的取值范围是( )
A、[0,2] B、[0,1] C、[0,1/2] D、(0,1/2]
圆x2+y2-2x-4y=0的圆心为C(1,2),由l将圆x2+y2-2x-4y=0平分知l过点C,结合图形知:
0≤k≤2.
课堂练习
1、圆x2+y2=9与圆x2+y2-6x-8y+21=0的公切线的条数。
两个圆的位置关系是外切,故公切线的条数为3
2.已知实
数x,y满足x2+y2+2x+4y-20=0,求⑴x+y;
⑵y/x;
⑶x2+y2的取值范围。
由x2+y2+2x+4y-20=0得(x+1)2+(y+2)2=25,知圆心C(―1,―2),半径r=5
⑴设t=x+y,则所求转化直线l:
y=-x+t与圆C:
(x+1)2+(y+2)2=25有交点,求t的取值范围
从而有:
,解之得:
,即
⑵设
,则所求转化圆C:
(x+1)2+(y+2)2=25上任一点P(x,y)与原点连线的斜率的取值范围。
⑶设
(x+1)2+(y+2)2=25上任一点P(x,y)到原点的距离平方的取值范围。
归纳总结
数学思想:
数形结合,等价转化
数学方法:
配方法、待定系数法、交轨法、向量法
知识点:
圆的标准方程、一般方程、直线与圆的位置关系
作业:
创新作业3
第四课时 圆的参数方程
1.了解参数方程的概念;
2.理解圆的参数方程中θ的意义,熟练掌握圆心在原点与不在原点的圆的参数方程;
3.会把圆的参数方程与普通方程进行互化.
圆的参数方程
圆的参数方程的理解和应用.
1.圆的标准方程与一般方程及其应用的回顾.
2.对圆的标准方程进行联想变形得圆的参数方程.
Ⅱ.1.参数方程与普通方程:
一般地,在取定的坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标x、y都是某个变数t的函数,即
并且对于t的每一个允许值,由方程组所确定的点M(x,y)都在这条曲线上,那么方程组就叫这条曲线的参数方程.其中t叫参变数,简称参数.
相对于参数方程来说,前面学过的直接给出曲线上点的坐标关系的方程,叫曲线的普通方程.
参数方程中的参数可以有物理、几何意义,也可以没有明显意义.
2.圆的参数方程:
①圆心在原点,半径为r的圆的参数方程:
设圆O的圆心在原点,半径是r,圆O与x轴的正半轴的交点是P0(图7—36)
设点在圆O上从点P0开始按逆时针方向运动到达点P,∠P0OP=θ,若点P坐标为(x,y),根据三角函数的定义,可得
即
②圆心为(a,b),半径为r的圆的参数方程:
(θ为参数)
圆心为O1(a,b)、半径为r的圆可以看成由圆心为原点O、半径为r的圆按向量
=(a,b)平移得到.
即对于圆O上任意一点P1(x1,y1),在圆O1上必有一点P(x,y),使
因为
,即(x,y)=(x1,y1)+(a,b)
所以
,由于点P1(x1,y1)在以原点为圆心,r为半径的圆上,所以存在参数θ,使
所以
3.圆的参数方程化普通方程:
方程组
①
②
由①得x-a=rcosθ③
由②得y-b=rsinθ④
③2+④2得:
(x-a)2+(y-b)2=r2
即圆的普通方程。
1、已知圆O的参数方程是:
(0≤θ<2π)
⑴如果圆上点P所对应的参数θ=5π/3,则点P的坐标是______;
⑵如果点
则点Q所对应的参数θ=_______.
2、把圆的参数方程化为普通方程
(θ为参数)
(θ为参数)
变:
(t为参数,且a≠0,b≠0) x2/a2-y2/b2=1
4.例题讲解
例1如图7—38,已知点P是圆x2+y2=16上的一个动点,点A是x轴上的定点,坐标为(12,0)当点P在圆上运动时,线段PA的中点M的轨迹是什么?
解一:
设点M的坐标是(x,y).因为圆x2+y2=16的参数方程为
所以可设点P的坐标为(4cosθ,4sinθ).由线段中点坐标公式得点M的轨迹的参数方程为
所以,线段PA的中点M的轨迹是以点(6,0)为圆心,2为半径的圆.
解二:
设点M的坐标是(x,y),P(x0,y0),
∵M是线段PA的中点,又点A(12,0),∴
∵点P为x2+y2=16的动点,即x02+y02=16∴(2x-12)2+(2y)2=16,即(x-6)2+y2=4
⑴在本题条件下,若点M分PA成定比2∶1,求点M的轨迹方程。
⑵在本题条件下,若PA被圆截得的弦为PB,点M为PB的中点,求点M的轨迹方程。
例2 经过圆x2+y2=4上的任一点P作x的垂线,垂足为Q,求线段PQ中点M的轨迹方程。
设M(x,y)为线段PQ的中点
∵圆x2+y2=4的参数方程是
又P为圆上一点 ∴设P(2cosθ,2sinθ),则Q(2cosθ,0)
由线段中点坐标公式,得点M的轨迹的参数方程
消去参数θ得:
x2/4+y2=1
设M(x,y)为线段PQ的中点,则点Q(x,0)
由坐标中点公式得A(x,2y),
又P为圆上任一点,∴x2+(2y)2=4,即x2/4+y2=1
解决此类问题,应先根据题意画出草图,帮助分析,找出解题途径。
通过本节学习,要求大家了解曲线的参数方程,掌握圆的参数方程并能加以简单的应用.
习题7.79,10,11
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