微分几何测试题集锦含答案docWord下载.docx
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⑵工在任意点处沿任意方向的法曲率;
⑶工在任意点的高斯曲率和平均曲率;
⑷试证工的坐标曲线是曲率线。
《微分几何》测试题
(二)
—.单项选择题(2X10=20分)
1.若向量函数的终点在通过原点的一条直线上,则
()
B.k⑴是定向的;
D・r(z)=2・
A.尸⑴是定长的;
C・rz(Z)|=1;
2.
对于向量函数厂⑴,若厂⑴丄rf(t),
则()
A.r(/)是定长向量;
B・X⑴定长向量;
C・"
/)是定向向量;
D.“)是定向向量.
3.
设%均为非零向量,且ab=0,则
A.a"
线性相关;
B.a,方线性无关;
C.a可以由〃线性表示;
D.〃可以a由线性表
示.
4・
挠率—0,曲率k=2的曲线是()
A.半径为4的圆;
B.半径为&
的圆;
4
C.半径为2的圆;
D・半径为1的圆.
2
5.空间曲线的形状由()决定
A.由曲率和挠率;
B.仅由曲率;
C.仅由挠率;
D.由参数的选取.
6.曲率是常数的曲线()
A.一定是直线;
B.一定是圆;
C.一定是球面上的曲线;
•答案A,B,C都不
对.
7•设S是球面,贝叽)
A.S上每一点是双曲点;
B.S上每一点是抛物点;
C・S上的圆的0指向球心;
D.S上的测地线的0指向球心.
8.若曲面S在每一点的高斯曲率为丄,则它可以与半径为()
的球面贴合
A.丄;
B.2;
C.丄;
D.4.
24
9.圆柱螺线r={acost,asint,bt}在任一点的切线与z轴的夹角a()
A・为;
90°
B・(V;
C.与/有关;
D.与b
有关.
10.设非直线的曲线C是曲®
S:
r=r(^y)±
的测地线,则有()
A.C在每一点/3//n\B.C在每一点0丄兀;
C.C在每一点Y//n\D.C在每一点7丄刃.
—・判断题(2X10二20分)
1.向量函数r=r(/)满足池))=0,则必有一常向量a,
满足a丄了(/)・
2.如果曲线C:
r=r(t)的所有向径共面,则,(f)必与某一固定向量垂直.
3・曲线的形状只由曲率和挠率决定.
4.直纹面上的直母线一定是曲率线.
5.若曲面S与一个半径为R的球面沿一个半径为r(0<
r<
7?
)的圆C相切,则C是S上的测地线.
6.如果两个曲面S|与S?
之间的一个对应关系,使得它们在对应点有相同的高斯曲率,则,与»
等距等价.
7.设曲面S:
r-r如果L:
E=M:
F,v—线是曲率线.
8.设曲面S:
r=r(w,v),如果L:
M:
N=E:
F:
G,则曲面上的所有曲线都是曲率线.
9・曲面上任意两点的连线中,测地线段最短.
10・球面上的曲率线是大圆.
二.计算题(10X4二40分)
1.求曲线C:
r={attbt2fct3}}±
在心0处的密切而方程.
2.已知曲线C:
r-r(5)(s是弧长参数)的曲率和挠率分别是k和t,.Kt是不为零的常数,求曲线C:
r-—p(s)~^y(s)ds的曲率和挠率.
3.求曲面z=上的渐近线.
4.求圆环面S:
r={(b+acosy)cos&
(b+acos°
)sin。
a
sin/}
(0<
<
9<
2^,0<
^<
2^)上的椭圆点,双曲点和抛物点.
三.证明题(10X2二20分)
1・证明:
如果曲线的所有0都经过一个固定点,则曲线是以固定点为圆心的圆.
2.设C是半径为的球面上半径为r(0<
)的圆,耳是曲率•证明:
211
%-丁丘・
B
一.单项选择题(2X10=20分)
1.设4={1,0-3},b={-2,x,6},若a//b则()
A.x=;
B.x=-2;
C.x=0;
D.x为任意
实数.
2•设曲线C:
满足|“)|=1贝()
A.C是单位球面上的曲线;
B./是C的弧长参数;
C.变向量W)具有固定方向;
D.变向量W)具有固定长度.
3・若向量函数r=r(/)对于任意/都有|r(/)|=1.则
A.厂⑴是定向的向量;
B."
Q是定长的向
量;
C・r(/)xrz(r)=O;
4.可展曲面上每一点都是(
A.椭圆点;
B.抛物点;
圆.
C.圆点;
D.平点.
5.若曲线C的曲率k=2,r=0
A.C是半径为2的圆;
c.C是半径为血的圆;
B.
D.
C是半径为訥圆;
C是半径为令的
6.曲面上与“线正交的曲线满足(
A.Ldu+Mdv=0;
Edu+Fdv=0;
C.Ldu+Ndv=0;
Edu+Gdv=0•
7.设曲而S上一条非直线的曲线C是S上的测地线,则
A.C在每一点,y//n\B.C在每一点*丄孔;
C・C在每一点,“〃死;
D・C在每一点,0丄〃・
8.在曲面S:
r=r(ufv)Jt,"
线的微分方程是()
B.du=0;
A•dudv=0;
D.du=dv•
C.civ=Q;
9.若两个曲面等距等价,贝i」()
A.它们有相同的第一基本形式;
B.它们有相同的第二基本形式;
C.它们有相同的第三基本形式;
D.把其屮一个经过连续的弯曲变形,就能和另一个贴合.
10.若曲面S:
r=r(W,v)±
任一点,都有F=M=O9则()
A.参数曲线网是渐近线网;
B.参数曲线网是曲率线网;
C.参数曲线网是测地线网;
D.答案A,B,C都不对.
二.判断题(2X10二20分)
1.向量函数r=r(t)满足M)”(f),“))=0,则必有一常向量a,满足a丄/(/)・()
r=r(t)的所有向径共面,则C就在通过原点的一个平面上.()
3.曲线C:
r-r(5)与曲线C:
r=a(5)在$=片处有相同的
曲
4曲率是常数2的曲线一定是半径为訓圆•()
5•设S
是平面,
则S上每一点,
都有
K}二K.=0.
)
6.球
面上
的圆的P
指
向
球心・
/
7.町
展曲
面上没
有
双
曲点
&
高斯曲率K三0的曲面一定是某一条曲线的切线曲面.
9.若曲面S与一个半径为R的球面沿一个半径为r{O<
R)的圆C相切,则S在C上每一点,沿着C的方向,都有,|匕|=r.()
10.两个常高斯曲率曲面一定等距等价.
三.计算题(10X4=40分)
1.求曲线C:
r-{—cos/,—-sin/,—cos/}的曲率和
131313
挠率.
2.设曲线C:
r-^icost,asint,是平而曲线,求/(x)・
3.求圆柱而r-{Rcosu,Rsinu,v}在仏宀)处的切平面方程’并说明,沿任意一条直母线,只有一个切平面.
4.求曲面S:
r-{a{u+v),b(u-v),uv}(a>
0,b>
0)的高斯曲率.
U9
证明题(10X2二20分)
如果一条曲线C:
r=r(s)(s是弧长参数)的所有从切面都经过一个固定点,则C的挠率和曲率之比是s的一次函数.
2.
(1)证明:
可展曲面上的直母线是曲率线.
⑵证明:
如果可展曲面S上有两族直母线,则S是平面.
《微分几何》测试题(三)
1.巩7)具有固定方向的充要条件是°
2.挠率的曲线其副法向量是常欠。
4.如果一111]线的主法线与一固定方向垂肓,则这曲线的副法线与这同定方向
5.曲面上的曲纹坐标网是渐近网的充耍条件是o
6.曲血上一曲线,如果它每一点的切方向都是主方向,贝IJ称该曲线为
7.半径为R的球而的高斯曲率K=.
一•个Illi面为可展III]面的充分必要条件是它的恒等于零。
9.曲面上坐标网是平面上极坐标网在曲面上的推广。
10.在可展曲面上,测地三角形的三内角Z和71°
1、圆柱螺线兀=cos/,尹=sin/,z=Z在点(1,0,0)的切线为。
x-\yz=小
A、=■—=—B、_y+z=0
011
_x-lyz八
C、=—=—Dxy—z=0
100
2、曲面的三个基木形式Z间的关系为o
A、III+2HII+KI=0B>
III-2HII+KI=0
C、III-2KII+HI=0D、III・2HII・KI=0
3、在直纹面r=a(u)+vb(u)(b(u)为单位向量)中,导线万(“)是腰曲线
的充要条件是o
A、N・/=0B、37/C、a-b=0D、allb
4、曲面的坐标网是正交网的充要条件是o
A、M=0B、L=N=0C、M=F=0D、F=0
5、下列曲面中不是可展曲面。
A、柱曲B、锥面C、一条1111线的切线曲面D、正螺面
6、曲血上,不是曲面的内蕴量。
A、两曲线的夹角B、曲线的弧长
C、曲面域的面积D、在一点沿一方向的法曲率
7、曲厉是其单位法向量,下列第二类基本量的计算中,—是不正确的。
B、N=一"
C、N=rrnt
D、N=ny
9、球面”=(7?
cos&
cos0,7?
sin%7?
sin(9)的坐标iW线构不成。
A、正交的渐近网B、共轨网C、曲率线网D、半测地坐标网
10、曲线r=r(5)在P点的基本向量是必艮几曲率为k(s),挠率为r(5),则
Us)=
C、pa
D、一祁
3.计算题:
(1、2题各10分,3题8分,共26分)
1、求螺线x=cos/,y=sin/,z=/上点(1,0,0)的曲率和挠率。
2、确定螺旋而x=wcosv,y=usinv,z=cv上的曲率线和在任一点的高斯曲率。
4.证明题:
(每小题8分,共24分)
1.证明:
如果111J线的所有密切平面垂肓于某个固定肓•线,那么它是平血我线。
《微分几何》测试题(
U!
一、填空题(每小题2分,共20分)
1、变矢;
(/)满足的充要条件是。
2、曲线(C)上P点处的三个基本向量为〈、鼻、/,则过P点由p和产确定的
平而叫曲线(C)在P点的O
3、若曲线在各点的曲率,则曲线是直线。
4、曲线穿过和密切平面,但从不穿过。
5、一般螺旋线的切线和一固定方向成固定角,而它的主法线与这个固定方向
6、两个曲面间的变换是的充要条件是适当选择参数后,它们有
相同的第一基本形式。
7、曲面在非直线的渐近曲线上每点处的切平面一定是渐近曲线的
9、曲而的髙斯曲率为K,测地曲率为可人,G是单连通曲而域,G的边界0G是一
条光滑闭曲线,则\\Kda+=2龙o
G
二、选择题(每小题3分,共30分)
11、若曲面S上曲线(C)是平面曲线,则一定有恒等于零。
A、法III]率knB、挠率T
C、测地曲率kgD、曲率k
12、在闘柱面上,鬪柱螺线是o
A、平面Illi线B、Illi率线C、测地线D、渐近线
13在椭圆抛物而上,高斯曲率K。
A、大于零B、小于零C、等于零D、不确定
14、设7、事、7是曲线(C)在一点的三个基木向量,则升(k,t分别表
示曲线在该点的曲率和挠率)o
A、kaB、t0C、一t0D、tq
15、曲面的dll纹坐标网是正交网的充分必要条件是一
A、F=0
B、M=0
C>
F=M=0
D、L二N二0
16、曲面上的直线不一定是o
D、法截线
D、挠曲线的主法线曲面
A、渐近线B、曲率线C、测地线
19、下列直纹曲面中,是可展曲面。
A、锥面B、单叶双曲面C、双曲抛物面
三、解答与证明题(22题、24题各9分,其余各8分)
21、求曲线7(t)二{t,t2,e1}在t二0点的密切平面和主法线。
22^求曲线r(t)={a(1—sint),a(1—cost),bt}的曲率和挠率。
23、证明:
如果一•条曲线的所有法平面包含常向量幺,那么这条曲线是宜线或平面
曲线。
24、求抛物面z二a(x2+y2)在(0,0)点的高斯曲率和平均曲率。
25、证明挠曲线(C)的主法线曲血不是可展曲血。
《微分几何》试题(五)
1.变欠兀)具有固定方向的充要条件是
叫作曲线(C)的
2.设曲线(C)的参数表示是r=r(5),s是弧长,则弄二
3.如果Illi线在各点的Illi率,则1111线是直线。
4.曲线;
=;
(/)在P点冇挠率&
二3,则曲线;
(/)在P点附近的形状是
5・一般螺线的切线和一固定方向成固定角,而它的副法线与这个固定方向
6.两个曲面Z间的变换是的充要条件是适当选择参数后,它们有相同
的笫I基本形式。
7・曲面的第一类基本量是E、F、G,第二类基本量是L、M、No则曲面上曲率线
的微分方程是0
在曲面上非直线的测地线除了测地曲率为零的点以外,曲线的重合
于曲面的法线。
9.曲面上一点(非脐点)的主曲率是曲面在这点所有方向的法曲率中的
10.曲面上连接两点P、Q的是曲面上连接P、Q的111J线屮弧长最短的曲
线。
11、若山面s±
lll]线(C),恒有法曲率匕二0,则曲线一定是曲面上的。
A、渐近曲线B、平而曲线C、曲率线D、测地线
12、在圆柱面上,圆柱螺线是o
A、平面曲线B、曲率线C、测地线D、渐近线
13、在曲面上的双曲点,LN-M1。
14、设a、队丫是曲线(C)在一点的三个基本向量,则尸二o(k.r分别表示
曲线在该点的曲率和挠率)
C、—T0
D、Ta
15、正螺面F={ucosv^/sinv.bv}的第二基本形式是
A、-2,dudv;
dudv=0
+h
C、du2+(u2+b2)dv2D、(u2+b2)du2+dv2
16、曲面的曲纹坐标网是渐近网的充要条件是。
A、M二0B、F二M二0C、F二0D、L=N=O
17、若曲面在其上某点处的两个主曲率分别为2,则这点是曲面的。
A、椭圆点B、双曲点C、抛物点D、脐点
18、曲面在一点的单位法向量是方,则在同一点的方向龙是主方向的充要条件
是。
A>
dn-dr=OB、存在方向莎使dn-6r=0
C、存在方向5”使SU'
dr=0D^drdfi\\dr
19、在下列直纹曲面中,是可展曲面。
A、双曲抛物面B、挠曲线的副法线曲面
C、挠曲面的切线曲面D、单叶双曲面
20、一条有拐点的Illi线绕一直线旋转所得旋转Illi面上的点是o
A、椭圆点B、抛物点C、双曲点D、A或B或C
3.解答与证明题(21、22各9分,23-26各8分)
21、求圆柱螺线x=acost,y=asint,z=t在点(a,0,0)处的密切'
卜而和主法线。
22、求曲线厂(f)=|<
7(1-sin/),<
7(1-cos/),bt]的曲率和挠率。
23、证明:
如果曲线的所有切线都经过一个定点,则此曲线是肓线。
24、求抛物而z=€7(x2+/)在(0,0)点的高斯曲率和平均曲率。
25、证明曲线(C)的副法线曲面是可展曲面的充要条件是曲线(C)为平面曲线。
26、求证旋转曲而戸={©
(“)cos&
©
("
)sin&
0(〃)}的径线是测地线。
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0)«
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