电大高等数学基础形成性考核手册答案必考重点精编打印版一Word下载.docx
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2x一
4-若函数f(x)=〈("
x)«
.x<
。
,xk,x_o在x=0处连续,则|<
=e
5.函数y=*'
sinx,
xO
的间断点是
6.若limf(x)=A.
-ro
则当XT
Xo时,f(x)-A称为XTXo时的无穷小量。
L设函数
f(x)
求:
f(-2),f(0),f
(1).
解:
f(-2)=-2,f(0)=0,f1=e=e
.、-2x・1
2.求函数y=lg的定义域.
.—1,、
解得<
xA—或x<
x=0
2x-1..
y=|g有息义,要求
X
1则正义域为XIxtOWcx-
3.在半径为R的半圆内内接一梯形,梯形的一个底边与半圆的直径重合,
个端点在半圆上,试将梯形的面积表示成其高的函数.
设梯形ABCD即为题中要求的梯形,设高为h,即OE=h,下底CD=2R直角三角形AOE中,利用勾股定理得
AE=、.OA-OEfR2・m
则上底=2AE=2R-h,
故S于k2R-2.FMv)=hR-R2-h^2sin3xhm.
Isin2x4.求
另一底边的两
sin3xcsin3x
3x
=lim=lim=
x»
sin2xxx)sm2x2xx力sin2x212
2x
2x
sin3xlim解:
5.求
-1-1
醺*
=lime—十*
a1sin(x1)
=hm,—,
77
x=sin(x_1)
tan3x
6.求lim——,■
tan3xlimx]«
解:
sin3_X]_1x
cos3x
sin3x1
=lim
*°
3xcos3x
3=1
7.求
1XE
limx0sinx
lim
X)O
X2-1)(.1x21)
(.1x21)sinx0_1
11
=lim
2Sinx
(成卜
x-1v
8.求网切
蜒日)
1-1(1■与
lim;
)狞尚j——=limxr3xX]:
x(1—y
[(19邛
.6X
9.求lim乂>
g
IxxSx^7
•,方象呼户厂杰〒=时
(x-2>
f
(x)=X,
X1,
讨论f(X)的连续
3=3
性。
分别对分段点X=-1,x=1处讨论连续性
limfx=limx--1
..1x21)sinx
X..1刑X..1xn,
limfxlimx1--11=0
X..1一X..1一
所以limf(x)#limf(x),即f(x)^x=—1处不连续
x_tl—X>
1-
limfx=limx[2=1_F2=1
x1—xn.
limfx=limx=1
x1-xn_
f1=1
所以limfx=limf(x)=f
(1)即f(x)在x=1处连续x)1-
由
(1)
(2)得f(x)在除点x=—1外均连续
高等数学基础作业2答案:
第3章导数与微分
(-)单项选择题
1.设f(O)=O且极限lim5存在,则lim%!
=(C)«
)<
»
xxa
A.f(O)B.f(O)
C-f(x)
D.0cvx
2,设f(x)在x°
可导,则lim
h)°
B.2hf(x-)
C.2f(x«
D.-f(x-)
A.eB.2eC.—eD.—e24
4.设f(x)=x(x—1)(x-2)...(x-99),贝uf'
(O)=(D).
A.99B.-99C.99!
D.-99!
5.下列结论中正确的是(C).
A.若f(x)在点X。
有极限,则在点X。
可导.B.^f(x)在点X。
连续,则在点x°
可
导.
C.若f(x)在点Xo可导,则在点Xo有极限.D.若f(x)在点Xo有极限,则在点Xo
连续.
2.
xsin-x
L设函数f(x)=<
0,则"
(0)=
2,设f(e,)=e-5ex,则*=31dxxx
3.曲线f(x)=jx+1在(1,2)处的切线斜率是k=1。
4.曲线f(x)=sinx在(.」)处的切线方程是y=1«
5.设y=X"
.贝uy_=_2x^(1_ln_x)
6.设y=xInx.贝uy=—。
Inx
X,
Inx-xdnx2xlnx-x
Irvx
cosx2*
sx(-・2x)-(x-x,)cxx
cosxlnx
cx2<
x3-©
x2*y
x(-sinx2*In2)-3(cosx2)
Inx-x“=
inx-x^sinx-inx-x,s
sxx3・sxx,83,(cosx2x)-(sinxx,)8ln3
3A=3“
(8)y=e-tanxInx
解y=ie-tanxe«
tanxInx=e«
tanx2
cosxx
2.求下列函数的导数y:
y'
=(e、♦)=(e*x)x2
22、x
(2)y=Incosx
e,1—.一、sinx...
y=(—sinx)==—tanx
cosxcos
iIo
(3)y=.xxx
Ff7
y=x8=—8
)8
仞y=sirvx
y=2sinxsinx=2sinxcosx=2sin2x(5)y=sinx
y=cosx22x=2xcosx
xcose
222
ysrsinexex=-2xexsine
(7)y=sin-xcosnx
y=sin-xcosnxsin-xcosnx
n-fn
=nsxcxcnx-nsxsnx)
5sinx
=5-ln5cosx=ln5cosx5-
cosx
(9)y=e
V=ecosx-sinx...sinxeC0SX
3.在下列方程中,y=y(x)是由方程确定的函数,求y*:
(1)ycosx=s
2y.ysinx
解ycosx-ysinx=2eyycosx-2e^
=cosyinx
•1cosy
解y=siny.yInxcosy.—xy“:
、
.,,jx(1sinyInx)
(3)2xsiny=
y
2yx-X,琴-2siny
2xccy.ys2siyny(2xcosyy
y=2xy_-2ysiny
22
2xycogx
=xIny
0y°
醉y=-1
:
y
xe»
=y,
(o)ln
-e,y=2yyx..-
y—v
x(2y-e0
(6)y»
1=esiny
e-siny
2yy=e*cosy.ysiny.ey、
2y-ecosy
yx2h
ey=e_3yy
e-2
y3y
e
⑻y=5X-2,
A.在(a,b)内连续
B.在(a,b)内可导
C.在(a,b)内连续且可导
D.在[a,b]内连续,在(a,b)内可导
2.函数f(x)=x?
+4x—1的单.调增加区间是(D).
A.(-二,2)
B.(-1,1)
C.(2,二)
D.(-2,~)
3.函数y=x+4x—5在区间(一6,6)内满足(A).
A.先单调下降再单调上升
B.单调下降
C.先单.调上升再单调下降
D.单调上升
4.函数f(x)满足f(x)=0的点,■-定是f(x)的(C).
A.间断点
B.极值点
C.驻点
D.拐点
5.设f(x)在(a,b)内有连续的二阶导数,xow(a,b),若f(x)满足(o.则f(x)在x(>取到极小值.
A.f(Xo)0,f(Xo)=0
B.f(Xo):
0,f(Xo)=0
C.f(x-)=0,f(x-)0
D.f(x-)=0,f(x«
):
0
区间内是(A)
A.单调减少且是凸的
B.机调减少且是凹的
C.取调增加且是凸的D.单调增加且是凹的
6.设f(x)在(a,b)内有连续的二阶导数,且f(x)<
0,f(x)<
0,则f(x)在此
(2)填空题
1.设f(x)^E(a,b)内可导,x0w(a,b),M当x<
Xo时f'
(x)<
0,当xa^时
f'
(x)AO,则x。
是f(x)的既l业点.
2.若函数f(X)在点Xo可导,且Xo是f(x)的极值点,贝Uf(Xo)=
3.函数y=ln(1+x0的单调减少区间是(~,0).
4.函数的单调增加区间是(0,_•二)
5.若函数f(x)在[a.b]内恒有f(x)<
0,则f(x)在[a,b]上的最大值是f(a).
6.函数f(x)=2+5x—3X3的拐点是(0,2)
(3)计算题
L求函数y=(x+1)(x—5)的单调区间和极值.
—2——
令y=.[x-5(x1)2(x-5)=3(x-5)(x-1)n驻点X=1,X=5
列表:
极大值:
f
(1)=3
(F)
(1,5)
5
(5*)
Fy
+
—
上升
极大值
下降
极小值
32
n最小值f
(1)=2
3.求曲线y,=2x上的点,使其到点A(2,0)的距离最短.解:
设p(x,y)是y2=2x±
的点,d为p到A点的距离,贝U:
d=(x-2>
y2=.(x-2>
aj.2(x-2)2x-1八
令d='
=0
2(x.2),2x(x-2>
2.求函数y=x-2x+3在区间[0,3]内的极值点,并求最大值和最小值.
令:
=2x・2=0nx=1(驻点),列表:
y,=2x上点(1,J2)或(1,-卷到点A(2,0)的距离最短…
(0,1)
(1,3)
极大值2
4.
圆柱体上底的中心到下底的边沿的距离为L,问当底半径与高分别为多少时,圆柱
体的体积最大?
设园柱体半•径为R,高为h,则体SIV=nR^h=JT(b—h^h
y=x-2x3=x-12
V*=A[h(-2h)h,]=兀[『3卜]=0
nL=V3h
f(0)=3f(3)=6f
(1)=2
=极值点:
f
(1)=2
R=J?
L-当h=、-,r=*l时其体积最大。
33,3
5.一体积为V的圆柱体,问底半径与高各为多少时表面积最小?
设园柱体半•径为R,高为h,则体积V=AR:
h
-2V_z
S表面枳=2二Rh2-R2=2R2%
n最大值f(3)=6
A./V3V4V
s=—2VR+4nR=0n——=R3nR=3J—h=3—
2-2-:
4V
谷:
当R=3(lh=3—时表面积最大。
.2二•.二
6.欲做一个底为正方形,容积为62.5立方米的於方体开口容器,怎样做法用料最省?
设底长为x,高为h。
贝U:
5云262.5
62.5=xh=h=—2-x
oo250
侧面积为:
S=x•4xh=x・
..250-3
令S=2x_-5°
=0=x=125=x=5
答:
当底连长为5米,高为2.5米时用料最省。
(4)证明题
1.当X》0时,证明不等式x>
ln(1+x).
证:
在区间1,1+x止对函数f(x)=lnx应用拉格朗日定理,有
1In1xTn1=——x
....1
其中1<
-<
1+X,故w<
1,于是由上式可得x》ln(1+x)2.当X》。
时,证明不等式e->
x+1.
设f(x)=e,一(x+1)
f(x)=ex-1》0
(当x》0时)
n当x>
0时,f(x)帆调上升且f(0)
.f(x)»
即e«
(x1)
高等数学基础形考作业4答案:
第5章不定积分
第6章定积分及其应用
(一)单项选择题
L若f(x)的一个原函数是],则f(x)=(D)x
A.Inx
B.-2
C.1
D.M
2.卜’列等式成立的是(D).
Af(x)dx=f(x)
B.df(x)=f(x)c.
rdr「
D.f(x)dx=f(x)
dx
B.cosx+c
d.f(x)dx=f(x)
3.若f(x)=cosx.则」f(x)dx=(B)
A.sinx+c
C.
D.-cosxc
B.x4(x^)
13
D.f(x)
-sinxc
4.aJx2f(x3)dx=(B).dxf(x、)
A.
C.30)
5.Jf(x)dx=F(x)+c测若
A.F(.-x)cB.2F(.—x)c
C.F(2.x)cd.F(,~x)c
.x
6.下列无穷限积分收敛的是(D).
-be
Of
L函数f(x)的不定积分是」f(x)dx。
2.若函数F(x)与G(x)是同一函数的原函数,则F(x)与G(x)之间有关系式
F(x)-G(x)=c(常数)。
3.d1edx=e、。
4.(tanx)dx=tanxc»
5.若Jf(x)dx=cos3x+c,贝Uf(x)=—9cos(3x)»
151
6.(sinx)dx=3
•H2—
—、.=1
7.右无分积分f—dx收敛,贝UPAO。
cos
TxJ_11\.・_1
1.—2ldx—cos—d(—)—sin—c
XXXX
2.dx=2Je.-d*'
x=2e*x+c
3.dx=d(Inx)=ln(lnx)c
xlnxInx
....1Bc1
xsin2xdx=-—xdcos2x=-—xcos2x
-1...1-1.,
cos2xdx=-—xcos2x-sin2224
e3+Inxe,,1,e
5.fdx=J(3+lnx)d(3+lnx)=-(3+lnx)1
x2
*-2x
6oxedx
1-2x
111
I”
3
—cy/
J.1c
rlxz—,•・r\
c
—0
-C
02o
4
1e
2乂
■1r-
e,
12
e.
In
vrlvInv
-vrlv-
2,
8
*/
4e
Inx,1,・e1
°
~2~xdx=Inx+—dx=
•x11xe
(四)证明题
1.证明:
若f(x)在[―a,a]±
可积并为奇函数,则[f(£
)dx=O.
a_aaa
令x=—tff(x)dx=一ff(—t)dt=rf(—t)dt=—[f(t)dt
-aaa
n[f(x)dx=—[f(x)dxnff(x)dx=O证毕・_a._a._a
2.证明:
^f(x)^Ha,a]±
可积并为偶函数.贝Uifjx)dx=2[f(x)d
证:
qf(x)dx=qf(x)dx.if(x)dx
令乂=—t,则Lf(x)dx=—af(—t)dt=of(t)dtIf(x)是偶函数
qf(x)dx=Jf&
)dx°
f(x)dxaTef(x)dx・f(x)dx=2of(x肉x
证毕
y=logax(a0,a=1)
高等数学
(1)学习辅导
(一)
4.了籍夏春涛数、初等函数的概念,会把一个复合函数分解成较简单的函数
l理解函数的概念:
掌握函数y顼X)中符号f()的含义:
了解函数的两要素:
会
求函数的定义域及函数值:
会判断两个函数是否相等
O
两个函数相等的充分必要条件是定义域相等且对应关系相同
2.了解函数的主要性质.即单调性、奇偶性、有界性和周期性
若对任意X,有f(—O=f(x),则称为偶函数,偶函数的图形关于
*对任意X,有〜)=_"
则伽称为奇函数,奇函数的图形关于原点对称。
掌握奇偶函数的判别方法
掌握单调函数、有界函数及周期函数的图形特点
④对数函数:
⑤三角函数:
sinx,cosx,tanx,cotx
⑥反三角函数:
arcsinx,arccosx,arctanx
如函数
arctan2(1r)
y=e
u2
可以分解y=e,u=v,v=arctanw,w=1+x。
分解后的函数前三个都是基木
初等函数.而第四个函数是常数函数和藉函数的和
5.会列简单的应用问题的函数关系式
例题选解
、填空题
E。
),则f(x)=
3.熟练掌握基本初等函数的解析表达式、定义域、主要性质和图形
基本初等函数是指以下几种类型:
①常数函数:
②藉函数:
=x°
(a为实数)
③指数函数:
y=a(a0,a=1)
t=[x=l
设x,则t
f(x)=.5_x
2.函数'
n(x—2)一的定义域是解:
对函数的第一项,要求x-2》。
且ln(x—2)#0,即x>
2且x#3;
对函数的
第二项,要求5—x芝。
,即x<
5o取公共部分,得函数定义域为(2,3)J(3,5]。
3.函数f(x)的定义域为[QU,则f('
nx)的定义域是
要使
f(%)有意义,必须使0<
lnx'
1由此得w'
nx)定义域为[1,e]»
■-xi-9
4.函数
x・3的定义域为
x*-9
C2cJ-
X—3有意义,必须满足x_9芝。
且x3》0.即I
*3
X*3成立,
x3或x--3
解不等式方程组,得出,X>
3*故得出函数的定义域为d—%(3M°
则函数的图形关于
对称
明的定义域为(_虬
+勺,且有
XX-X
rf(x)
即《X)是偶函数,故图形关于
v轴对称。
二、帆项选择题
L下列各对函数中,(
)是相同的。
A,f(x)=Xg(x)=x.
bf(x)=Inx,g(x)=2lnx.
Cf(x)=lnx,g(x)=3lnx.
Wx)=「,g(x)=x
A中两函数的对应关系不同
B,D三个选项中的每对函数的定
义域都不同,所以AB,D都不是正确的选项;
而选项C中的函数定义域相等,且对应
关系相同,故选项C正确。
2.设函数的的定义域为(9,+勺,则函数(一x)的图形关于()
对称。
A.y=x;
B.x轴:
C.y轴:
D.坐标原点
设F(x)=f(x)・f(・X),则对任意X有
F(_x)=f(_x—f(一(一x))=f(—x)-f(x)=・(f(x—f(-x))=-F(x)
即F(x)是奇函数,故图形关于原点对称。
选项D正确。
3.设函数f(x)的定义域是全体实数,则函数f(x),f(-x)是0
A.单调减函数:
B.有界函数;
C.偶函数;
D.周期函数
A,B,D三个选项都不一定满足。
设F(x)=f(x),f(—X),则对任意x有
F(・x)=f(-x)f(-(-x))=f(・x),f(x)=f(x)f(-x)=F(x)
Iim(1-}=eiim
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