届河北省高三上学期百千联考数学文试题解析版文档格式.docx
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【解析】根据同角三角函数的基本关系式求得
()
厂6
6
C.
D.-
5
cos,tan
,由此求得cos2,进而求
得表达式的值
0,—
sin
、、5
所以cos
1
sin
—^5*
tan
sin1
cos2
cos26
因为cos2
2sin
所以
tan5
D
本题考查三角恒等变换的知识,考查运算求解能力
5•若x,y满足约束条件
xy,0
xy,2,则z2xy的最大值为(
x
A.-5
B.-3C.1
D.2
【解析】画出可行域,向下平移基准直线
2xy0到可行域边界位置,由此求得z的
最大值.
画出可行域,由图可知,直线
z2xy过点A(1,1)时,z取得最大值2111.
本题考查线性规划问题,考查数形结合的数学思想以及运算求解能力
6•已知VABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且
acosBbcosA4ccosC,a1,b4,贝yc()
A.1B.32C.2、、3D...15
求得
1.根据
4
【解析】利用正弦定理、三角形内角和定理化简acosBbcosA4ccosC,
cosC,用余弦定理求得c.
由acosBbcosA4ccosC,得sinAcosBsinBcosA4sinCcosC,sinAcosBsinBcosAsin(AB)sinC4sinCcosC,所以cosC余弦定理得c2116214115,所以c15.
本题考查正弦定理和余弦定理的运用,考查运算求解能力
2ex1
7•函数f(x)-的部分图象大致为()
xex1
A.
【解析】根据函数fX的奇偶性和在X
0时函数值的特点,对选项进行排除,由此
得出正确选项•
因为f(x)-是偶函数,所以排除A,C,当x0时,f(x)0恒成立,所以
Xex1
排除D.
故选:
【点睛】本题考查函数的图像与性质,考查数形结合的数学思想以及推理论证能力
-,纵坐标不变,再
A.x—
B.x-
C.x—
D.X—
8.将函数f(x),.2sinx的图象上所有点的横坐标缩短为原来的
将得到的图象向右平移
个单位长度,得到yg(x)的图象,则yg(x)的图象的一
12
条对称轴可能是(
【解析】首先利用坐标变换求得gx的解析式,根据根据三角函数对称轴的求法,求
得gx的对称轴,由此得出正确选项•
函数f(x).2sinx的图象上所有点的横坐标缩短为原来的一,纵坐标不变,得到
y^2sin2x的图象,再向右平移个单位长度,得到g(x)公in2x的图
126
kn
象.由2xk(kZ),得x(kZ).令k0,x.
62233
本题考查三角函数的图象变换和三角函数性质,考查运算求解能力
9•某校高三年级共有1200名学生,所有同学的体重(单位:
kg)在[50,75]范围内,
在一次全校体质健康检查中,下图是学生体重的频率分布直方图•已知图中从左到右的
3,那么体重在[55,60)的学生人数为(
C.350
D.400
利用
0.75,
【解析】先根据频率分布直方图求得后两组的频率和,由此求得前三组的频率和,题目所给高度比,求得[55,60)的频率.
【详解】因为后面两组的频率为(0.03750.0125)50.25,则前3个小组的频率为
图中从左到右的前3个小组的高度之比为1:
2:
3,所以体重在[55,60)的频率为
0.75-0.25,人数为12000.25300.
本题考查统计问题,考查数据处理能力和应用意识
10.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为()
A.562、34B.32234C.568.3D.3282
【解析】由三视图画出原图,根据几何体的结构,计算出几何体的表面积
PB
SPBC
SVPAD
该几何体的直观图如图所示•易知
BC,PDDC,PDPA5,AD4、2AB8,PE3,所以
Spcd4510
1_ii
-42、讦2.34,Svpab-8312,Sabcd-(48)424,所
222
以该几何体的表面积S562.、34.
本题考查三视图以及几何体的表面积,考查空间想象能力和运算求解能力
11•古希腊数学家阿波罗尼斯在其巨著《圆锥曲线论》中提出“在同一平面上给出三点,
若其中一点到另外两点的距离之比是一个大于零且不等于1的常数,则该点轨迹是一个
圆”现在,某电信公司要在甲、乙、丙三地搭建三座5G信号塔来构建一个三角形信号
覆盖区域,以实现5G商用,已知甲、乙两地相距4公里,丙、甲两地距离是丙、乙两
地距离的,3倍,则这个三角形信号覆盖区域的最大面积(单位:
平方公里)是()
A.2.3B.4.3C.3.6D.4飞
【解析】建立平面直角坐标系,利用两点间的距离公式列方程,化简后求得丙地的轨迹
方程,由此根据三角形的面积公式,求得三角形信号覆盖面积的最大值.
由题意不妨设甲、乙两地坐标为(2,0),(2,0),丙地坐标为(x,y),贝U
.(x2)2y2,(x2)2y2,整理得(x4)2y212x0,半径
r^3,所以最大面积为丄42343.
本题考查数学文化与圆的运用,考查化归与转化的数学思想
—x0啜妝2
12.已知函数f(x)2'
,若存在实数x,X2满足0剟Xix24,且
Inx,2x,4
fXifX2,则X2Xi的最大值为()
A.2B.1C.2In2D.2In2
e
【解析】画出fX的图像,利用fXifX2将X2表示成Xi的关系式,将X2Xi化
为只含Xi的表达式,利用换元法,结合导数,求得X2Xi的最大值.
i
—x0x2
作出f(x)2的图象如图所示•
ex3,2剟X4
因为
fXi
fx2
,所以—Xi
eX23,即x2
3沁
.由图可知一,
'
1,则
X2
x-i3
Xi,令号t
-,i,g(t)
Int2t
3.则g(t)
112t
tt
111
易知函数g(t)Int2t3在,—上单调递增,在,1上单调递减,所以
e22
11
g(t)maxgIn132In2.
22
卜1
h
-
/
玄1
1¥
本题考查导数的综合应用,考查学生数形结合、转化与化归的数学思想
二、填空题
13•已知平面向量a(2,7),b(1,2),c(1,1),若(;
b)//c,则实数
【答案】3
【解析】先求得a*,然后根据两个向量垂直的坐标表示列方程,解方程求得的
值.
由已知得ab(2,72),又(ab)//c,所以
(2)(72)0,
解得3
故答案为:
本题考查平面向量坐标运算和平面向量共线的知识,考查运算求解能力
14.本届世界军运会在中国武汉举行,这次军运会增进了各国人民的友谊,传递了热爱
和平的信息•如图所示的茎叶图记录了甲、乙两名运动员五次射箭比赛的成绩(满分:
10环),则甲的平均成绩比乙的平均成绩多环,甲的成绩的众数与乙的成
绩的众数之和为.
甲
乙
999
7S
89
00
【答案】117
【解析】利用平均数的计算公式,分别计算出甲、乙的平均数,再计算出他们的差•分
别求得甲和乙的众数,然后相加•
9
甲的平均成绩为9
9910
47
788910
42°
8.4,
9.4
8.4
9.4,乙的平均成绩为
1.又甲的成绩的众数为
为8,它们之和为17.
9,乙的成绩的众数
(1)1;
(2)17
【点睛】本题考查统计问题,考查数据处理能力和应用意识
15•已知函数f(x)是定义域为R的奇函数,且f(x3)为偶函数,f
(2)8,则
f(12)
f(20).
【答案】
-8
【解析】
利用函数
fx
3为偶函数f
x为奇函数,判断出f
x是周期为12的周
期函数,
由此求得
f(12)
f(20)的值.
由函数
f(x3)为偶函数,
可得f(x3)
f(x3),所以f(x
6)f(x).又f(x)
为奇函数,f(x)f(x),得f(x6)f(x),从而f(x12)f(x),故该函
数是周期为12的周期函数.又函数f(x)为奇函数,则
f(0)0,f(12)f(0)0,f(20)f(8)f
(2)8.
8
本题考查函数的奇偶性,考查函数的周期性,考查运算求解能力
16•已知抛物线C:
y2mx2(m0),焦点为F(0,1),定点P(0,2).若点MN是抛
kpN0,则直线MN亘过
物线C上的两相异动点,MN不关于y轴对称,且满足kpM
的定点的坐标为
M,N两点的坐标,根据
(0,2)
【解析】利用抛物线的焦点坐标,求得抛物线方程,设出
kpMkpN0列方程,化简求得X1X2
8.写出直线
MN的方程,
进而判断直线过定
点0,2
抛物线C的标准方程为X2
y
2m'
焦点为
0「
8m
,所以
1,m
-,所以
8
X24y.
设MX1占,N
X1
X1X2
的方程为
,则kk
kPMkPN
0,由于
M,N不关于
2—2
4
整理得
y轴对称,所以恒有
X|X2
直线MN
X
X1X
X1为X2,即
X1X2
4,即
x2
—x2即所以过定点
(0,2).
0,2
【点睛】本题考查抛物线的知识,考查化归与转化的数学思想与运算求解能力
三、解答题
17.已知数列
an是各项都为正数的等比数列,且2a3a485,81a?
1.
(1)求an
的通项公式;
(2)若bn
log23log2an,求数列的前n项和S“・
bn1bn2
(1)
2n1。
2n
an
(2)Sn
3n1
将已知条件转化为a1,q的形式,解方程求得a1,q,进而求得数列a.的
通项公式.
(2)利用裂项求和法求得数列
bn1bn2
的前n项和Sh.
(1)设数列an的公比为q,则2a3a4
a5,可变形为2aiq2ag3ag4,
化简为q2q20
本小题主要考查等比数列通项公式和前
n项和公式的基本量计算,考查裂项相消求和
解得q二
2或q1(舍去)
因为a1
a2
1,所以42印
1,解得a
J
所以数列
an
的通项公式为an
1小n1
-2
2n1
(2)因为bn
log23log2an
log23an
n1丄
log22n1
2-
bn
1bn2
n(n1)
n
n1
2n
Sn
21
nn1
法,属于基础题
18."
互联网+”是"
智慧城市”的重要内容,A市在智慧城市的建设中,为方便市民
使用互联网,在主城区覆盖了免费WiFi为了解免费WiFi在A市的使用情况,调查机构
借助网络进行了问卷调查,并从参与调查的网友中抽取了200人进行抽样分析,得到如
F列联表(单位:
人)
经常使用免费WiFi
尔或不用免费WiFi
合计
45岁及以下
70
30
100
45岁以上
60
40
130
200
(1)根据以上数据,判断是否有90%勺把握认为A市使用免费WiFi的情况与年龄有关;
(2)现从所抽取的45岁以上的市民中按是否经常使用WiFi进行分层抽样再抽取5人.
第11页共19页
(ii)从这5人中,再随机选出2人各赠送1件礼品,求选出的2人中至少有1人经常使用免费WiFi的概率.
附:
K2(ab)(咒)(Jc)(bd,其中°
ab°
d
PK2Hk)
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
k0
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
(1)没有90%的把握认为A市使用免费WiFi的情况与年龄有关
(2)(i)经常
使用3人,偶尔或不用免费2人(ii)-
(1)计算出k2的值,由此判断出没有90%的把握认为A市使用免费WiFi的情况与年龄有关.
(2)(i)利用分层抽样知识计算出经常使用,偶尔或不用免费WFi的人数.
(ii)利用列举法以及古典概型概率公式计算出所求的概率
(1)由列联表可知K2200(70406030)2198
13070100100
因为2.198<
2.706,所以没有90%的把握认为A市使用免费WiFi的情况与年龄有关
(2)(i)依题意可知,在所抽取的5名45岁以上的网友中,经常使用免费WiFi的有
6040
53人,偶尔或不用免费WiFi的有52人
100100
(ii)设这5人中,经常使用免费Wifi的3人分别为A,B,C;
偶尔或不用免费WiFi的2人分别为d,e
则从5人中选出2人的所有可能结果为
(A,B),(A,C),(A,d),(A,e),(B,C),(B,e),(B,d),(C,d),(C,e),(d,e)共10种
其中没有人经常使用免费WiFi的可能结果为d,e,共1种.
19
故选出的2人中至少有1人经常使用免费WiFi的概率P1_
1010
【点睛】本小题主要考查22列联表独立性检验,考查分层抽样,考查古典概型概率计算,考
查运算求解能力,属于中档题•
19•如图,在三棱锥P-ABC中,PAPB2,ABAC2,ABAC,平面PAB
平面ABC点D在线段BC上,且CD3BD,F是线段AB的中点,点E是PD上的动
占
八、、-
(1)证明:
BCEF.
(2)当EF/平面PAC时,求三棱锥C-DEF的体积•
【答案】⑴证明见解析
(2)
(1)利用面面垂直的性质定理证得PF平面ABC,由此证得PFBC.通
过中位线和等腰三角形的性质,证得BCDF,由此证得BC丄平面PDF,进而证
得BCEF.
(2)利用面面平行的判定定理证得EH//PC,由此求得E点到平面ABC的距离,进而利用VDEFVeCDF,求得三棱锥的体积•
(1)连接PF,因为PAPB,F为AB的中点,
所以PFAB•
又平面PAB平面ABC平面PAB平面ABCAB,
所以PF平面ABC从而PFBC
设BC的中点H,连接AH,EH,FH,因为BD-BC,DF是VABH的中位线,
所以DF//AH.
因为ABAD,H是BC中点,AHBC,所以DFBC
所以BC丄平面PDF
因为EF平面PDF所以BCEF
(2)设点E到平面ABC的距离为h,由
(1)知FH//AC,则FH//平面PAC,
而EF//平面PAC,EFFHF,所以平面EFH//平面PAC,
所以EH//PC,匹里1
DPDC3
1h-PF
PF
3,
又S
CDF
SABC
SACF
S
BDF
丄22丄12
Vc
DEFVe
本小题主要考查线线垂直的证明,考查面面垂直的性质定理,考查面面平行的证明,考
查等腰三角形的性质,考查空间想象能力和逻辑推理能力,属于中档题
20•已知椭圆C.-y
:
a
b2
1(a
b0),圆心为坐标原点的单位圆
O在C的内部,且
与C有且仅有两个公共点,直线
x,2y2与C只有一个公共点
(1)求C的标准方程;
(2)设不垂直于坐标轴的动直线I过椭圆C的左焦点F,直线l与C交于A,B两点,
pf|
且弦AB的中垂线交x轴于点P,求——的值•
|ab|
|PF|
|AB|
(1)利用单位圆的性质求得b,利用直线x.、2y2和椭圆联立方程后关于y
的方程只有一个解,判别式为0列方程,由此求得a2.进而求得椭圆的标准方程
(2)设出直线|的方程,代入椭圆方程,写出韦达定理,求得AB中点Q的坐标,利
PF.利用弦长公式求得AB,
进而求得
AB
的值.
用中垂线的斜率列方程,求得P点的横坐标,由此求得
依题意,得b1
2,2y代入椭圆的方程,
得a2
y24.2y4a2
324a24a
0,解得
所以椭圆的标准方程为-y2
(2)由
(1)可得左焦点F(1,0)
由题意设直线I的方程为xmy1(m
0),
代入椭圆方程,得m2
2y2
2my
设AX1,y1,BX2,y2,
2m
y2m^7
y1y2
m22
X2m讨1y2
m^’AB的中点为
m
设点
Xo,O,则
2X0
解得
Xo
|PF|Xo1
m2m22
又|AB|1
y1
y2
■-1m2
2•2m21
【点睛】本小题主要考查圆的几何性质,考查直线和椭圆的位置关系,考查弦长的计算,考查垂
直平分线的几何性质,考查运算求解能力,属于中档题
21.已知函数fxax2lnx
*22x.
(1)讨论fX的单调性;
(2)若fX有两个不同的零点,
a的取值范围.
(1)见解析
(2)
In21
(1)求出函数的定义域以及导函数,根据导数与函数单调性的关系,分类讨论
2,a2,可求得fx的单调性
(2)由
(1)求得在a
a2,a2时,函数的单调区间,讨论出零
点的个数,从而求得实数
a的取值范围。
(2)
由
(1)
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- 河北省 上学 期百千 联考 数学 试题 解析