上学期经典等腰三角形3.docx
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上学期经典等腰三角形3.docx
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上学期经典等腰三角形3
一.选择题(共5小题)
1.如图,在Rt△ABC中,已知,∠ACB=90°,∠B=15°,AB边的垂直平分线交AB于E,交BC于D,且BD=13cm,则AC的长是( )
A.
13cm
B.
6.5cm
C.
30cm
D.
6
cm
2.一个等腰三角形的周长是24cm,腰长是xcm,则x的取值范围是( )
A.
0<x<12
B.
0<x<10
C.
6<x<12
D.
5<x<10
3.如图,在△ABC中,AB=AC,点F在AC上,FD⊥BC于D,DE⊥AB于E.若∠AFD=155°,则∠EDF的度数等于( )
(第1题)(第2题)(第3题)
A.
45°
B.
55°
C.
65°
D.
75°
4.如图,△ABC中,∠BAC=100°,DF,EG分别是AB,AC的垂直平分线,则∠DAE等于( )
A.
50°
B.
45°
C.
30°
D.
20°
5.如图,三角形纸片ABC,AB=12cm,BC=7cm,AC=8cm,沿过点B的直线折叠这个三角形,使顶点C落在AB边上的点E处,折痕为BD,则△AED的周长为( )
A.
8cm
B.
9cm
C.
11cm
D.
13cm
二.填空题(共11小题)
6.等腰三角形的周长为24,腰长为x,则x的取值范围是 _________ .
7.如图所示,AOB是一钢架,且∠AOB=10°,为了使钢架更加坚固,需在其内部添加一些钢管EF,FG,GH…,添加的钢管长度都与OE相等,则最多能添加这样的钢管 _________ 根.
(第7题)(第8题)
8.已知如图,BC=3,∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O,OE∥AB,OF∥AC,则三角形OEF的周长为 _________ .
9.如图,把一张矩形纸片ABCD沿EF折叠后,点C﹑D分别落在点C′、D′的位置上,EC′交AD于点G.已知∠EFG=55°,那么∠BEG= _________ 度.
10.如图把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠后,ED交BC于点G,点D、C分别落在D′、C′位置上.若∠EFG=50°,那么∠EGB= _________ °.
11.(2013•莆田质检)如图,等腰△ABC的周长为21,底边BC=5,AB的垂直平分线DE交AB于点D,交AC于点E,则△BEC的周长为 _________ .
(第11题)(第12题)(第13题)
12.如图:
将纸片△ABC沿DE折叠,点A落在点F处,已知∠1+∠2=100°,则∠A= _________ 度.
13.如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,AE是经过A点的一条直线,且B、C在AE的两侧,BD⊥AE于D,CE⊥AE于E,CE=2,BD=6,则DE的长为 _________ .
14.如图,在等边△ABC中,点D、E分别在BC、AB上,AD与CE交于F,且BD=AE.则∠DFC= _________ 度.
15.如图所示,在△ABC中,∠ABC=100°,∠ACB=20°,CE平分∠ACB,D为AC上一点,若∠CBD=20°,BD=ED,则∠CED等于 _________ .
16.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,直线BD交AC于D,把直角三角形沿着直线BD翻折,使点C落在斜边AB上,如果△ABD是等腰三角形,那么∠A等于 _________ °.
三.解答题(共7小题)
17.如图,△ABC中,AB=AC,∠BAC与∠BCA的平分线,AD、CD交于点D,若∠B=70°,则∠ADC= _________ .
18.两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图所示放置,后一个图是由它抽象出的几何图形,B,C,E在同一条直线上,连接DC.
(1)求证:
△ABE≌△ACD
(2)试猜想DC与BE的位置关系,并说明理由.
19.(2007•自贡)已知:
三角形ABC中,∠A=90°,AB=AC,D为BC的中点,
(1)如图,E,F分别是AB,AC上的点,且BE=AF,求证:
△DEF为等腰直角三角形;
(2)若E,F分别为AB,CA延长线上的点,仍有BE=AF,其他条件不变,那么,△DEF是否仍为等腰直角三角形?
证明你的结论.
20.如图,在直角坐标系中,B点的坐标为(a,b),且a、b满足
.
(1)求B点的坐标;
(2)点A为y轴上一动点,过B点作BC⊥AB交x轴正半轴于点C,求证:
BA=BC.
21.如图1,已知:
△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,AE是过A的一条直线,且B、C在AE的两侧,BD⊥AE于D,CE⊥AE于E.
(1)△ABD与△CAE全等吗?
BD与AE、AD与CE相等吗?
为什么?
(2)BD、DE、CE之间有什么样的等量关系(写出关系式即可)
(3)若直线AE绕A点旋转,如图2,其它条件不变,那么BD与DE、CE的关系如何?
说明理由.
22.如图1,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,AE是过A的一条直线,且B、C在AE的同侧,BD⊥AE于D,CE⊥AE于E.
(1)试说明:
BD+CE=DE.
(2)若直线AE绕点A旋转,使B、C在AE的两侧,如图2、3,其他条件不变,则BD,DE与CE的并系如何?
请分别写出结论,并说明理由.
23.(2007•乐山)如图,在等边△ABC中,点D,E分别在边BC,AB上,且BD=AE,AD与CE交于点F.
(1)求证:
AD=CE;
(2)求∠DFC的度数.
一.选择题(共5小题)
1.如图,在Rt△ABC中,已知,∠ACB=90°,∠B=15°,AB边的垂直平分线交AB于E,交BC于D,且BD=13cm,则AC的长是( )
A.
13cm
B.
6.5cm
C.
30cm
D.
6
cm
考点:
含30度角的直角三角形;线段垂直平分线的性质.2979270
分析:
利用线段垂直平分线的性质得AD=BD,利用等腰三角形的性质得∠DAE=∠B=15°且AD=BD=13cm,再利用外角的性质得∠ADC=30°,解直角三角形即可得AC的值.
解答:
解;∵AB边的垂直平分线交AB于E,交BC于D(已知)
∴AD=BD(线段垂直平分线的性质)
∴∠DAE=∠B=15°且AD=BD=13cm(等腰三角形的性质)
∴∠ADC=30°(外角性质)
∴AC=
AD=6.5cm.
故选B.
点评:
本题主要考查了线段垂直平分线的性质和含30°角的直角三角形的性质等知识;得到∠ADC=30°是正确解答本题的关键.
2.一个等腰三角形的周长是24cm,腰长是xcm,则x的取值范围是( )
A.
0<x<12
B.
0<x<10
C.
6<x<12
D.
5<x<10
考点:
等腰三角形的性质;三角形三边关系.2979270
分析:
等腰三角形的周长为24cm,腰长为xcm,则底边长为24﹣2x,根据三边关系可以求出x的取值范围.
解答:
解:
等腰三角形的周长为24cm,腰长为xcm,则底边长为24﹣2x,
根据三边关系,x+x>24﹣2x,解得,x>6;
x﹣x<24﹣2x,解得,x<12,
所x的取值范围是6<x<12.
故选C.
点评:
本题考查了等腰三角形的性质、三角形的三边关系.在解决与等腰三角形有关的问题,由于等腰所具有的特殊性质,很多题目在已知不明确的情况下,要进行分类讨论,才能正确解题,因此,解决和等腰三角形有关的边角问题时,要仔细认真,避免出错.
3.如图,在△ABC中,AB=AC,点F在AC上,FD⊥BC于D,DE⊥AB于E.若∠AFD=155°,则∠EDF的度数等于( )
A.
45°
B.
55°
C.
65°
D.
75°
考点:
等腰三角形的性质;三角形的外角性质.2979270
分析:
先根据等腰三角形等边对等角的性质得到∠B=∠C,利用等角的余角相等和已知角可求出∠EDB的数,从而可求得∠EDF的度数.
解答:
解:
∵AB=AC,
∴∠B=∠C,
∵FD⊥BC于D,DE⊥AB于E,
∴∠BED=∠FDC=90°,
∵∠AFD=155°,
∴∠EDB=∠CFD=180°﹣155°=25°,
∴∠EDF=90°﹣∠EDB=90°﹣25°=65°.
故选C.
点评:
本题综合考查等腰三角形,三角形外角性质等知识.一般是利用等腰三角形的性质得出有关角的度数,进而求出所求角的度数.
4.如图,△ABC中,∠BAC=100°,DF,EG分别是AB,AC的垂直平分线,则∠DAE等于( )
A.
50°
B.
45°
C.
30°
D.
20°
考点:
线段垂直平分线的性质.2979270
分析:
从已知条件进行思考,由∠BAC=100°得∠B+∠C=80°,根据垂直平分线的性质,得∠BAD+∠EAC=80°于是答案可得.
解答:
解:
根据线段的垂直平分线性质,可得AD=BD,AE=GE.
故∠EAC=∠ECA,∠ABD=∠BAD.
因为∠BAC=100°,∠ABD+∠ACE=180°﹣100°=80°,
∴∠DAE=100°﹣∠BAD﹣∠EAC=20°.
故选D
点评:
本题考查的是线段垂直平分线的性质(垂直平分线垂直且平分其所在线段),难度一般.求得∠BAD+∠EAC=80°是正确解答本题的关键.
5.如图,三角形纸片ABC,AB=12cm,BC=7cm,AC=8cm,沿过点B的直线折叠这个三角形,使顶点C落在AB边上的点E处,折痕为BD,则△AED的周长为( )
A.
8cm
B.
9cm
C.
11cm
D.
13cm
考点:
翻折变换(折叠问题).2979270
分析:
先根据图形反折不变性的性质得出△DEB≌△DCB,故DE=CD,EB=BC,故可得出结论.
解答:
解:
∵△DEB由△DCB反折而成,
∴△DEB≌△DCB,
∴DE=CD,BE=BC,
∵AB=12cm,BC=7cm,AC=8cm,
∴△AED的周长=AD+DE+AE=(AD+CD)+(AB﹣BE)=AC+AB﹣BC=8+12﹣7=13cm.
故选D.
点评:
本题考查的是反折变换,熟知图形反折不变性的性质是解答此题的关键.
二.填空题(共11小题)
6.等腰三角形的周长为24,腰长为x,则x的取值范围是 6<x<12 .
考点:
等腰三角形的性质;解一元一次不等式组;三角形三边关系.2979270
分析:
由已知条件根据在三角形中任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边列出不等式即可求解.
解答:
解:
底边是24﹣2x,根据三角形的三边关系:
两边之和大于第三边,两边之差小于第三边.得:
0<24﹣2x<2x.
解得6<x<12.
故填6<x<12.
点评:
考查了等腰三角形的性质及三角形的三边关系.列出并解出不等式是解决本题的关键.
7.如图所示,AOB是一钢架,且∠AOB=10°,为了使钢架更加坚固,需在其内部添加一些钢管EF,FG,GH…,添加的钢管长度都与OE相等,则最多能添加这样的钢管 8 根.
考点:
等腰三角形的性质.2979270
专题:
应用题;压轴题.
分析:
根据已知利用等腰三角形的性质及三角形外角的性质,找出图中存在的规律,根据规律及三角形的内角和定理不难求解.
解答:
解:
∵添加的钢管长度都与OE相等,∠AOB=10°,
∴∠GEF=∠FGE=20°,…从图中我们会发现有好几个等腰三角形,
即第一个等腰三角形的底角是10°,第二个是20°,第三个是30°,四个是40°,五个是50°,六个是60°,七个是70°,八个是80°,九个是90°就不存在了.所以一共有8个.
故答案为:
8.
点评:
此题考查了三角形的内角和是180度的性质和等腰三角形的性质及三角形外角的性质;发现并利用规律是正确解答本题的关键.
8.已知如图,BC=3,∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O,OE∥AB,OF∥AC,则三角形OEF的周长为 3 .
考点:
平行线的性质;角平分线的定义;等腰三角形的判定与性质.2979270
专题:
计算题.
分析:
先根据角平分线的性质求出∠1=∠2,∠4=∠5,再根据平行线的性质求出∠1=∠3,∠4=∠6,通过等量代换可得,∠2=∠3,∠5=∠6,根据等腰三角形的判定定理及性质可得BE=OE,OF=FC,即可解答.
解答:
解:
∵OB,OC分别是∠ABC,∠ACB的平分线,
∴∠1=∠2,∠4=∠5,
∵OE∥AB,OF∥AC,
∴∠1=∠3,∠4=∠6,
∴∠2=∠3,∠5=∠6,
∴BE=OE,OF=FC,
∴BC=BE+EF+FC=OF+OE+EF,
∵BC=3,
∴OF+OE+EF=3
∴△OEF的周长=OF+OE+EF=3.
点评:
本题涉及到角平分线及平行线的性质,属中档题目.
9.如图,把一张矩形纸片ABCD沿EF折叠后,点C﹑D分别落在点C′、D′的位置上,EC′交AD于点G.已知∠EFG=55°,那么∠BEG= 70 度.
考点:
翻折变换(折叠问题).2979270
专题:
计算题.
分析:
由矩形的性质可知AD∥BC,可得∠CEF=∠EFG=55°,由折叠的性质可知∠GEF=∠CEF,再由邻补角的性质求∠BEG.
解答:
解:
∵AD∥BC,
∴∠CEF=∠EFG=55°,
由折叠的性质,得∠GEF=∠CEF=55°,
∴∠BEG=180°﹣∠GEF﹣∠CEF=70°.
故答案为:
70.
点评:
本题考查了翻折变换(折叠问题).关键是明确折叠前后,对应角相等,两直线平行,内错角相等的性质.
10.如图把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠后,ED交BC于点G,点D、C分别落在D′、C′位置上.若∠EFG=50°,那么∠EGB= 100 °.
考点:
翻折变换(折叠问题).2979270
分析:
根据纸片是长方形,找到图中的平行线,再根据平行线的性质和翻折不变性解题.
解答:
解:
∵四边形纸片ABCD是矩形纸片,
∴AD∥BC(矩形的对边相互平行),
∴∠DEF=∠EFG(两直线平行,内错角相等);
又∵∠EFG=50°(已知),
∴∠DEF=50°,
根据图形的翻折不变性,∠GEF=∠DEF=50°,
∴∠EGB=50°+50°=100°(外角定理).
故答案是:
100.
点评:
本题考查的是图形翻折变换的性质、矩形的性质及平行线的性质,熟知折叠是一种对称变换,它属于轴对称,折叠前后图形的形状和大小不变,只是上的位置变化.
11.(2013•莆田质检)如图,等腰△ABC的周长为21,底边BC=5,AB的垂直平分线DE交AB于点D,交AC于点E,则△BEC的周长为 13 .
考点:
线段垂直平分线的性质.2979270
分析:
由于△ABC是等腰三角形,底边BC=5,周长为21,由此求出AC=AB=8,又DE是AB的垂直平分线,根据线段的垂直平分线的性质得到AE=BE,由此得到△BEC的周长=BE+CE+CB=AE+CE+BC=AC+CB,然后利用已知条件即可求出结果.
解答:
解:
∵△ABC是等腰三角形,底边BC=5,周长为21,
∴AC=AB=8,
又∵DE是AB的垂直平分线,
∴AE=BE,
∴△BEC的周长=BE+CE+CB=AE+CE+BC=AC+CB=13,
∴△BEC的周长为13.
点评:
此题主要考查线段的垂直平分线的性质等几何知识.线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等.
12.如图:
将纸片△ABC沿DE折叠,点A落在点F处,已知∠1+∠2=100°,则∠A= 50 度.
考点:
翻折变换(折叠问题).2979270
分析:
根据折叠的性质可知∠ADE=∠EDF,∠AED=∠DEF,利用平角是180°,求出∠ADE与∠AED的和,然后利用三角形内角和定理求出∠A的度数.
解答:
解:
∵将纸片△ABC沿DE折叠,点A落在点F处,
∴∠ADE=∠EDF,∠AED=∠DEF,
∴∠1+2∠ADE+∠2+2∠AED=180°+180°,
∴∠1+∠2+2(∠ADE+∠AED)=360°,
又∵∠1+∠2=100°,
∴∠ADE+∠AED=130°,
∴∠A=180°﹣(∠ADE+∠AED)=50°.
故答案是:
50
点评:
本题考查了翻折变换(折叠问题).解题时注意挖掘出隐含于题中的已知条件:
三角形内角和是180°、平角的度数也是180°.
13.如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,AE是经过A点的一条直线,且B、C在AE的两侧,BD⊥AE于D,CE⊥AE于E,CE=2,BD=6,则DE的长为 4 .
考点:
全等三角形的判定与性质;等腰直角三角形.2979270
分析:
求出∠ADB=∠AEC,∠DBA=∠CAE,根据AAS证△ABD≌△CAE,推出BD=AE,AD=CE求出AE和AD即可.
解答:
解:
∵BD⊥AE,CE⊥AE,∠BAC=90°,
∴∠ADB=∠AEC=∠BAC=90°,
∴∠ABD+∠BAD=90°,∠BAD+∠CAE=90°,
∴∠DBA=∠CAE,
在△ABD和△CAE中
,
∴△ABD≌△CAE(AAS),
∴BD=AE,AD=CE,
∵CE=2,BD=6,
∴AE=6,AD=2,
∴DE=AE﹣AD=4,
故答案为:
4.
点评:
本题考查了全等三角形的性质和判定,等腰直角三角形,关键是求出AE=BD,CE=AD.
14.如图,在等边△ABC中,点D、E分别在BC、AB上,AD与CE交于F,且BD=AE.则∠DFC= 60 度.
考点:
等边三角形的性质;全等三角形的判定与性质.2979270
专题:
探究型.
分析:
因为△ABC为等边三角形,所以∠BAC=∠B=∠ACB=60°,AB=BC=AC,根据SAS易证△ABD≌△CAE,则∠BAD=∠ACE,再根据三角形内角和定理求得∠DFC的度数.
解答:
解:
∵△ABC为等边三角形,
∴∠BAC=∠B=∠ACB=60°,
∴AB=BC=AC.
在△ABD和△CAE中,
∵BD=AE,∠ABD=∠CAE,AB=AC,
∴△ABD≌△CAE,
∴∠BAD=∠ACE,
又∵∠BAD+∠DAC=∠BAC=60°,
∴∠ACE+∠DAC=60°,
∵∠ACE+∠DAC+∠AFC=180°,
∴∠AFC=120°,
∵∠AFC+∠DFC=180°,
∴∠DFC=60°.
故答案为:
60.
点评:
本题考查了全等三角形的判定、等边三角形性质、三角形内角和定理及外角的性质,综合性强,考查学生综合运用数学知识的能力.
15.如图所示,在△ABC中,∠ABC=100°,∠ACB=20°,CE平分∠ACB,D为AC上一点,若∠CBD=20°,BD=ED,则∠CED等于 10° .
考点:
角平分线的定义;等腰三角形的判定与性质.2979270
分析:
根据∠ACB=20°和∠CBD=20°,得BD=CD,结合BD=ED,得ED=CD,则∠CED=∠DCE,根据角平分线定义即可求解.
解答:
解:
∵∠ACB=20°,∠CBD=20°,
∴BD=CD,
又∵BD=ED,
∴ED=CD,
∴∠CED=∠DCE,
∵CE平分∠ACB,
∴∠CED=∠DCE=
∠ACB=10°.
点评:
此题综合运用了等腰三角形的判定和性质.
16.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,直线BD交AC于D,把直角三角形沿着直线BD翻折,使点C落在斜边AB上,如果△ABD是等腰三角形,那么∠A等于 30 °.
考点:
等腰三角形的性质.2979270
分析:
根据翻折的性质得∠CBD=∠ABD,又△ABD是等腰三角形,所以∠ABD=∠BAD,再根据直角三角形两锐角互余即可求出∠A等于30°.
解答:
解:
根据题意,∠CBD=∠ABD,
∵△ABD是等腰三角形,
∴∠ABD=∠A,
∴∠ABD=∠A=∠CBD,
∵∠C=90°,
∴∠A+∠ABC=3∠A=90°,
解得∠A=30°.
故答案为:
30.
点评:
本题考查了等腰三角形的性质;解题中主要运用翻折前后的两个图形全等,等角对等边的性质以及直角三角形两锐角互余的性质,熟练掌握性质得到∠ABD=∠A=∠CBD角之间的关系是解题的关键.
三.解答题(共7小题)
17.如图,△ABC中,AB=AC,∠BAC与∠BCA的平分线,AD、CD交于点D,若∠B=70°,则∠ADC= 125° .
考点:
等腰三角形的性质.2979270
专题:
应用题.
分析:
根据三角形内角和以及∠B的度数,先求出(∠BAC+∠BCA),然后根据角平分线的性质求出(∠DAC+∠ACD),从而再次利用三角形内角和求出∠ADC.
解答:
解:
∵AD、CD是∠BAC与∠BCA的平分线,
∴∠ADC=180°﹣(∠DAC+∠ACD),
=180°﹣
(∠BAC+∠BCA),
=180°﹣
(180°﹣∠B),
=90°+
∠B=125°.
故答案为:
125°.
点评:
本题主要考查了三角形的内角和是180°.求角的度数常常要用到“三角形的内角和是180°这一隐含的条件.
18.两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图所示放置,后一个图是由它抽象出的几何图形,B,C,E在同一条直线上,连接DC.
(1)求证:
△ABE≌△ACD
(2)试猜想DC与BE的位置关系,并说明理由.
考点:
等腰直角三角形;垂线;全等三角形的判定与性质.2979270
分析:
(1)根据等腰直角三角形的性质以及全等三角形的判定即可得出△ABE≌△ACD;
(2)利用全等三角形的性质得出∠B=∠ACB=∠ACD=45°,进而得出∠DCB=90°,即可得出答案.
解答:
(1)证明:
∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形,
∴AC=AB,AD=AE,∠BAC=∠EAD=90°,
∴∠BAC+∠CAE=∠EAD+∠CAE,
即∠BAE=∠CAD,
在△ABE和△ACD中,
∴
,
∴△ABE≌△ACD(SAS),
(2)解:
DC与BE的位置关系是垂直关系.
证明:
∵△ABE≌△ACD,
∴BE=CD,∠B=∠ACB=∠ACD=45°,
∴∠DCB=90°,
∴DC与BE的位置关系是垂直关系.
点评:
此题主要考查了
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