高三上学期开学摸底考试 数学理.docx
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高三上学期开学摸底考试数学理
2019-2020年高三上学期开学摸底考试数学理
高三理科数学试题卷蔡振奕
本试题分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,满分150分,时间120分钟.
一、选择题:
(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.已知复数,则的共轭复数是()
A. B.C.D.
2.已知集合
若,则实数的取值范围是()
A.B.C.D.
3.已知,则下列结论正确的是()
A.是偶函数B.是奇函数
C.是奇函数D.是偶函数
4.若平面截三棱锥所得截面为平行四边形,则该三棱锥与平面平行的棱有()
A.条B.条C.条D.条或条
5.已知方程表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为8,则的值是()
A.B.C.6D.8
6.函数
的部分图象如图所示,则的
解析式为()
A.
B.
C.
D.
7.设为平面上四点,
,则()
A.点在线段上B.点在线段上
C.点在线段上D.四点共线
8.五个人围坐在一张圆桌旁,每个人面前放着完全相同的硬币,所有人同时翻转自己的
硬币,若硬币正面朝上,则这个人站起来; 若硬币正面朝下, 则这个人继续坐着. 那么,
没有相邻的两个人站起来的概率为()
A.B.C.D.
9.已知函数,其中是常数,若对都有,
则()
A.B.C.D.
10.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:
“今有刍甍,下广三丈,袤四丈;上袤二丈,无广;高一丈,问:
积几何?
”其意思为:
“今有底面为矩形的屋脊状的楔体,下底面宽3丈,长4丈;上棱长2丈,高一丈.问它的体积是多少?
”已知1丈为10尺,现将该楔体的三视图给出如下图所示,其中网格纸上小正方形的边长为1丈,则该楔体的体积为()
A.5000立方尺B.5500立方尺C.6000立方尺D.6500立方尺
11.已知函数
在处取得极大值,在处取得极小值,满足
,,则的取值范围是()
A.B.C.D.
12.在数列及中,
.
设,则数列的前项和为().
A.B.C.D.
第Ⅱ卷(非选择题共90分)
二、填空题:
(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
13.二项式的展开式中所有项的系数和为_____________.
14.在直角坐标系中,抛物线的顶点在原点,以轴为对称轴,且经过点.设点在抛物线上,直线分别与轴交于点,则直线的斜率大小是.
15.不等式组
的解集是.
16.已知
若对任意两个不等的正实数x1,x2,都有
恒成立,则的取值范围是.
三、解答题:
(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分12分)设的内角所对的边分别为,
若,
1)求的值;
2)求的值为.
18.(本小题满分12分)在数列中,首项,前项和为,且
(1)求数列的通项
(2)如果,求数列的前n项和.
19.(本小题满分12分)如图,三棱锥中,是正三角形,
是直角三角形,,.
⑴证明:
平面⊥平面;
⑵若为棱与不重合的点,且,
求与平面所成的角的正弦值.
20.(本小题满分12分)设,函数.
(1)证明在上仅有一个零点;
(2)若曲线在点处的切线与轴平行,且在点处的切线与直线平行,(O是坐标原点),证明:
21.(本小题满分12分)已知椭圆E:
的焦点在轴上,是的左顶点,斜率为的直线交于两点,点在上,
(Ⅰ)当t=4,时,求的面积;
(Ⅱ)当时,求的取值范围.
选做题:
请在22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号后的方框涂黑.
22.(本小题满分10分)选修4-4:
坐标系与参数方程
在直角坐标系xoy中,曲线的参数方程是
(为参数).直线交曲线于两点.以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程是,点在曲线上.
1)求曲线的普通方程及点的直角坐标;
2)若直线的倾斜角为且经过点,求的值.
23.(本小题满分10分)选修4—5:
不等式选讲
若,且.
(I)求的最小值;
(Ⅱ)是否存在,使得?
并说明理由.
汕头市金山中学xx第一学期第1次测试
高三理科数学答案
一.选择BDACDBACDABB
12.
二.填空-512,,,
16.【解析】对任意两个不等的正实数x1,x2,都有>2恒成立,
则当x>0时,f′(x)≥2恒成立,f′(x)=+x≥2在(0,+∞)上恒成立,则a≥(2x-x2)max=1.
三.解答题
17.解:
1)在中,
由正弦定理,得--------2分
由余弦定理=
-------6分
2)
-------8分
-------10分
-------12分
18.解:
1)-------①,
---------------2分
当时,----------②
①-②等于()=-------4分
又------5分
数列是以,为公比的等数列,------7分
2)=------8分
=
又=
------9分
=
------12分
19.(本小题满分12分)解:
(1)由题设可得,≌,
又是直角三角形,所以
取AC的中点O,连接,则,
又由于
所以为二面角的平面角-------3分
在中,
又
平面⊥平面;-------5分
(2)由题设及
(1)知,两两垂直,以为坐标原点,的方向为轴正方向,
为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系,则
连接,----------------------7分
是等腰直角三形,
在直角三角形中,点是,得.------------------9分
--------------10分
平面的一个法向量是.设与平面所成的角为.
则为锐角,
.-------------12分
20.解:
(1)f'(x)=ex(x2+2x+1)=ex(x+1)2∴f′(x)≥0,-------2分
∴f(x)=(1+x2)ex﹣a在(﹣∞,+∞)上为增函数.----------------3分
∵a>1.∴1﹣a<0又f(0)=1﹣a,∴f(0)<0.
,
使得
∴f(x)在(﹣∞,+∞)上有且只有一个零点---------------------5分
(2)证明:
f'(x)=ex(x+1)2,
设点P(x0,y0)则)f'(x)=ex0(x0+1)2,
∵y=f(x)在点P处的切线与x轴平行,∴f'(x0)=0,即:
ex0(x0+1)2=0,
∴x0=﹣1---------------6分
将x0=﹣1代入y=f(x)得y0=.∴,
∴
-------8分
令;g(m)=em﹣(m+1)g(m)=em﹣(m+1),
则g'(m)=em﹣1,由g'(m)=0得m=0.
当m∈(0,+∞)时,g'(m)>0当m∈(﹣∞,0)时,g'(m)<0
∴g(m)的最小值为g(0)=0------------10分
∴g(m)=em﹣(m+1)≥0
∴em≥m+1∴em(m+1)2≥(m+1)3
即:
-------------------------------11分
∴m≤--------------------------------12分
21.
解:
1)设,则由题意知当时,的方程为,.---------1分
由已知及椭圆的对称性知,直线的倾斜角为.
因此直线的方程为.------------------3分
将代入得.解得或,所以.
因此的面积.--------------------5分
(Ⅱ)由题意,,.
将直线的方程代入得
.-------6分
由得,故
.
由题设,直线的方程为,故同理可得,-------8分
由得,即.
当时上式不成立,
因此.等价于
,-------10分
即.由此得,或,解得.-------12分
因此的取值范围是.
22.解:
1)-----------2分
∵点在曲线:
上,
设的直角坐标是,
------------5分
2)直线的参数方程是
-----6分
设有向线段对应的参数分别为-----7分
依题意
-----8分
.-----10分
23.【解析】(Ⅰ)由,得,且当时等号成立,
故,且当时等号成立,∴的最小值为.…5分
(Ⅱ)由(Ⅰ)知:
,
由于>6,从而不存在,使得.……………10分
2019-2020年高三上学期开学摸底考试数学试题含答案
1.填空题4分每题共56分
1.复数z=1-3i(i是虚数单位)的虚部是-3
2.设集合P={3,log2a},Q={a,b},若P∩Q={0},则P∪Q=_{3,10,1}____
3.已知函数,且有若a>0且b>0,则ab的最大值是_0.25_____
4.已知对数不等式
的解集是(,9),则实数a的值为__2____
5.函数y=tan的单调递减区间是_
_____
6.数列{an}满足
,则an=2n+1
7.已知向量
4
8.若关于x的方程sin2x+cos2x=k在区间上有两个不同的实数解,则实数k的取值范围为
9.圆周上有10个等分点,以这些点为顶点,每3个点可以构成一个三角行,如果随机选择了3个点,则刚好构成三角形的概率是
10.若
=-1
11.若无穷等比数列{an}的各项公比q,则首项a1的范围是
12.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,且x>0,f(x)=(x-2)(x-3)+0.02,则函数f(x)在R上的零点个数共有5个
13.已知关于t的一元二次方程
,当方程有实根时,则点x,y的轨迹方程为
14.如图,F为双曲线的右焦点,过F作直线l与圆切于点M,与双曲线交于点P,且M恰为线段PF的中点,则双曲线的渐进方程是
二,选择题5分每题共20分
15.若
(B)
A.锐角三角形B.直角三角形
C.钝角三角形D.等腰直角三角行
16.如果一组数据的平均数是,方差是,则数据
的平均数和方差分别是(D)
A.B.
C.D.
17.一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上,其中地面的三个顶点在该球的一个大圆上,则该正三棱锥的体积是(B)
A.B.C.D.
18.在平面直角坐标系中,定义为点
的一个变换,我们把它称为点变换。
已知
是经过点变换得到的一列点,设,则数列的前n项的和为,那么的值是(C)
A.B.C.D.
三、解答题(本大题共有5题,满分74分)解答下列各题必须写出必要的步骤.
19(本小题满分12分,第1小题满分6分,第2小题满分6分)
已知△ABC的周长为4(+1),且sinB+sinC=sinA.
(1)求边长a的值;
(2)若S△ABC=3sinA,求角A的大小(结果用反三角函数值表示).
解析
(1)利用正弦定理,将角转化为边之间的关系,利用周长即可求出a的值.
(2)利用三角形的面积公式,求出b,c的关系,利用余弦定理即可求出A的大小.
答案
解:
(1)∵sinB+sinC=sinA,∴由正弦定理得,b+c=a,(*)
∵a+b+c=4(+1),∴解得a=4;
(2)由S△ABC=bcsinA=3sinA,得bc=6,
两边平方(*)式,求得b2+c2=20,
由余弦定理,cosA==
,故A=arccos.
20本小题满分14分,第1小题满分8分,第2小题满分6分)
在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=2,过A1、C1、B三点的平面截去长方体的一个角后,得到如图所示的几何体ABCD-A1C1D1,且这个几何体的体积为10.
(Ⅰ)求棱AA1的长;
(Ⅱ)若A1C1的中点为O1,求异面直线BO1与A1D1所成角的余弦值.
答案
解:
(Ⅰ)设AA1=h,
由题设
=
-=10,
∴
即
,解得h=3.
故A1A的长为3.
(Ⅱ)∵在长方体中,A1D1∥BC,
∴∠O1BC为异面直线BO1与A1D1所成的角(或其补角).
在△O1BC中,AB=BC=2,A1A=3,
∴AA1=BC1=,=,
∴
,
则cos∠O1BC=
==.
∴异面直线BO1与A1D1所成角的余弦值为.
21(本小题满分14分,第1小题满分6分,第2小题满分8分)
已知函数(a,b为常数),
(1)若b=1,解不等式f(x-1)>0;
(2)当x∈[-1,2]时,f(x)的值域为,求a,b的值.
答案
解:
(1)
①1-a>0,即a<1时,不等式的解为:
x>1-a或x<0
②1-a=0,即a=1时,不等式的解为:
x∈R且x≠0
③1-a<0,即a>1时,不等式的解为:
x>0或x<1-a
(2)
①a>b时,f(x)单调递减,所以
②a=b时,不符合题意
③a<b时,f(x)单调递增,所以
22(本题满分16分,第1小题满分4分,第2小题满分4分,第3小题满分8分)
已知F1,F2为椭圆C:
的左右焦点,O是坐标原点,过F2作垂直于x轴的直线MF2交椭圆于M,设|MF2|=d.
(1)证明:
d,b,a 成等比数列;
(2)若M的坐标为(),求椭圆C的方程;
(3)在
(2)的椭圆中,过F1的直线l与椭圆C交于A、B两点,若,求直线L的方程.
答案
(1)由条件知M点的坐标为(c,y0),其中|y0|=d,知,d=b•,由此能证明d,b,a成等比数列.
(2)由条件知
,知,由此能求出椭圆方程.
(3)设点A(x1,y1)、B(x2,y2),当l⊥x轴时,A(-,-1)、B(-,1),所以. 设直线l的方程为y=k(x+),代入椭圆方程得
再由韦达定理能够推导出直线l的方程.
答案
解:
(1)证明:
由条件知M点的坐标为(c,y0),其中|y0|=d,
∴,d=b•,…
∴,即d,b,a成等比数列. …
(2)由条件知
,∴,…
∴,
∴椭圆方程为,…
(3)设点A(x1,y1)、B(x2,y2),
当l⊥x轴时,A(-,-1)、B(-,1),所以. …
设直线l的方程为y=k(x+),
代入椭圆方程得
.…
所以
…
由,得x1x2+y1y2=0,
,
代入得
,解得k=.
所以直线l的方程为y=±. …
23(本题满分18分,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分8分)
已知数列{an}的各项均为正数,其前n项的和为Sn,满足(n∈N*),其中p为正常数,且p≠1.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)是否存在正整数M,使得当n>M时,a1•a4•a7•…•a3n-2>a78恒成立?
若存在,求出使结论成立的p的取值范围和相应的M的最小值;若不存在,请说明理由.
(3)若p=,设数列{bn}对任意n∈N*,都有b1an+b2an-1+b3an-2+…+bn-1a2,问数列{bn}是不是等差数列?
若是,请求出其通项公式;若不是,请说明理由.
【解析】
(1)因为,所以当n≥2时,,
两式相减得(p-1)an=an-an-1,即pan=an-1,所以=,
所以数列{an}为等比数列,公比为,
又当n=1时,(p-1)s1=p2-a1,即(p-1)a1=p2-a1,所以pa1=p2,
因为p>0,所以a1=p,
所以{an}的通项公式为:
an==;
(2)由
(1)知,a1•a4•a7•…•a3n-2=p•••…•=,a78=,
∴a1•a4•a7•…•a3n-2>a78恒成立,等价于>
p为正常数,且p≠1,所以当0<p<1时,>1,∴,解得n<-或n>8,
故存在最小值为8的M,使得a1•a4•a7•…•a3n-2>a78恒成立;
当p>1时,0<<1,所以,解得-<n<8,不合题意,
综合可得:
当0<p<1时,所求M的最小值为8;
(3)p=时,an=2n-2,设存在数列{bn}是等差数列,其通项为bn=kn+b,则
∵b1•2n-2+b2•2n-3+…+bn-1,
∴b1•2n-1+b2•2n-2+…+2bn-1,
两式相减可得b1•2n-1+k(2n-2+2n-3+…+1)-bn=
∴=
∴
∴k=1,b=0
∴bn=n,
即存在数列{bn}是等差数列,其通项为bn=n,对任意n∈N*,都有b1an+b2an-1+b3an-2+…+bn-1a2,
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