数学教学智慧Word文档格式.docx

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三十九、找寻知识源头28

四十、筛选28

四十一、给学生保留教辅资料中的参考答案29

四十二、由一般到特殊29

四十三、由函数定义域获取有效解题信息30

四十四、转化30

四十五、每道题由两名学生来扮演30

一． 

提炼简缩性语言

数学的研究对象是现实世界的数量关系和空间形式。

它是人类智慧的结晶，有着非常丰富的内容，它也是一种非常高的文化品位。

数学看不见摸不着，也听不见，但它存在于我们的心中，是一种发自于心灵深处的呼唤。

数学广泛应用于生产、生活和科学技术之中。

数学改变着人类的生产方式和生活方式，推动人类科学、文明的前进。

人类自从有了数学的萌芽，就开始了由自然王国向必然王国的转变，从黑暗、愚昧走向光明和智慧。

高中数学教学中有无穷的智慧，她在吸引着我们老师和学生，也在不断地激励我们数学老师不断的挖掘、提炼、总结和运用。

数学语言最精彩，数学语言最简练，数学语言中蕴涵着智慧，任何动人的文字语言在数学语言面前都黯然失色。

在数学教学中挖掘、提炼简缩性语言是数学教学中的智慧之一。

例1． 

对数函数正负性质

由对数函数图象知：

当a,x位于1的同侧时，y>

0;

当a,x位于1的异侧时，y<

这个结果可以简缩为：

“同正；

异负”

例2． 

函数奇偶性与增减性的关系可以简缩为“奇同；

偶异”

例3． 

数学归纳法证明中第二步可用简缩性语言表述为：

1． 

回到定义中去；

2。

使用归纳法假设；

3。

看结论，向结论变

常用到的简缩性语言还有：

“二次函数在给定区间上的值域（最值）”

“在约束条件下求二元函数的值域（最值）”

等等。

二．为学生做出从失败到成功的示范

问题是数学的心脏。

学习数学主要是解题，而数学题的求解过程充满着艰难险阻与重重困难，特别是在新题、难题面前更需要意志、毅力和智慧。

智慧是在克服困难中产生并形成的。

作为数学教师，经常给学生辅导，答疑解惑，当学生问到新题、难题时，教师不应回避，要抓住机遇，迎难而上，积极大胆动脑思考，动手分析演算，与学生共同研讨，积极采纳学生的正确见解，向学生展示科学思维过程背景。

数学解题思考过程主要包括以下几个方面：

一．审题：

（1）已知是什么？

有没有读不懂的信息？

（2）图形是怎样的？

有没有隐含信息？

（3）结论是什么？

（结论也是已知信息，这是解数学题中最激动人心之处）已知信息与结论信息之间有无直接关系？

（4）结论能不能再简化一点？

有没有具体简单情形或背景（模型）？

如果解题思路没有形成，可再读一遍题，是否遗漏已知信息或隐含信息？

二．形成解题计划

三．实施解题计划

四．反思：

（1）有无遗漏或出现错误

（2）重新读题，感知题中已知信息与结论信息，使解题思路实现简缩，为今后解决同类型问题或新题积累经验，加快今后解题的进程。

（3）能否把解题思路或方法推广到更一般、更广阔的背景之中？

（4）有没有别的更简单的解法？

（5）能否用简缩性语言归纳总结所用的解题思路或方法？

（6）其他

通常，在一个新问题面前，即使是教师，也不一定能迅速给出解答，往往需经历模糊、失败，一计不成，再生一计的思考过程，而这一过程正好是智慧形成的过程。

应该让学生深刻感受到，清晰、简练、优美的解题思路总是伴随着模糊、失败，不断提出新的设想而产生，对于见多识广，经验丰富的教师也是如此。

从而使学生遇到新问题时，不拘泥于框框限制，敢想、敢试、敢探索，不断提高思想境界，追求新意。

在独立解题实践中积累经验，增长才干，体验智慧人生，逐步实现提高解决新问题能力的教学目标。

三．探索知识网络交汇点

培养直觉思维的能力

《考纲说明》中指出：

对数学基础知识的考查，要求全面又突出重点。

注重学科的内在联系和知识的综合，重点知识是支撑学科知识体系的主要内容，考查时要保持高度的比例，并达到必要的深度，构成数学试题的主体。

学科的内在联系，包括代数、立体几何、平面解析几何三个分科之间的相互联系及在各自发展过程中各部分知识间的纵向联系。

知识的综合性，则是从学科的整体高度考虑问题，在知识网络交汇点设计试题。

探索知识网络交汇点是数学教学中的智慧之一。

⒈什么是知识网络交汇点？

知识网络交汇点主要是指在数学的不同分支或不同课题中起支撑作用的、在各部分知识相互联系中起联结作用的知识。

直观的理解，知识网络交汇点就是在立体结构的综合性问题中联结两个知识平面的交线，三个以上知识平面交线的交汇点。

下面以2005年全国高考数学试题全国卷（三）选择填空题中部分试题为例谈谈自己的看法。

例⒈已知过点A（-2，m）和B（m，4）的直线与直线2x+y—1=0平行，则m的值为（ 

）

（A）0；

（B）-8；

（C）2；

（D）10 

解：

由已知得–2=（4-m）/（m+2）　解得　ｍ＝－８　　　故选（B　）

知识网络交汇点：

平行的充要条件是

例⒉　若　　ａ＝，ｂ＝，ｃ＝，　　　则（　　）

（A） 

ａ<

ｂ<

ｃ；

　（B）ｃ<

ａ；

　（C）ｃ<

ａ<

ｂ；

　（D）ｂ<

ｃ

构造函数　＝，

由＝知

当０<

ｘ<

ｅ时，１－㏑ｘ>

０，函数　＝是（０，ｅ）上的单调增函数；

当ｘ>

ｅ时，１－㏑ｘ<

０，函数　＝是（ｅ，＋∞）的单调减函数；

当ｘ＝ｅ时，函数　＝有极大值．

作出函数　＝的图象可知（C）答案正确．

函数　＝的单调性．

例⒊　设０≤ｘ<

２π，且＝sinx-cosx，则

０≤ｘ≤π；

　　　　　　（B）≤ｘ≤

（C）≤ｘ≤；

　（D）≤ｘ≤

∵＝＝sinx-cosx

∴sinx≥cosx

∴≤ｘ≤，故选（C）

①=∣a∣

②当角α的终边落在直线ｙ＝ｘ上时，sinx＝cosx；

当角α的终边落在直线ｙ＝ｘ上方时，sinx>

cosx；

当角α的终边落在直线ｙ＝ｘ下方时，sinx<

cosx 

例⒋　已知双曲线ｘ２－＝１的焦点为,，点在双曲线上且·

＝０，则点到ｘ轴的距离为　　　（　）

；

（B）；

　（C）；

（D）

由已知得ａ＝１，ｂ＝，ｃ＝，且⊥

又由于∣∣∣－∣∣∣＝２＝２

∣∣２＋∣∣２＝∣∣２＝１２

由２∣∣∣∣

＝∣∣２＋∣∣２－∣∣∣－∣∣∣２＝８

得∣∣∣∣＝４

设点到ｘ轴的距离为ｘ，由等积法知　２ｘ＝４，

解得　ｘ＝，故选（C）

代数恒等式

例⒌　已知向量＝（ｋ，１２），＝（４，５），＝（－ｋ，１０），且Α、Β、C三点共线，则ｋ＝

∵　Α、Β、C三点共线，

∴　＝ｔ＋（１－ｔ）

（４，５）＝ｔ（ｋ，１２）＋（１－ｔ）（－ｋ，１０）

　　　　　＝（２ｋｔ－ｋ，１０＋２ｔ）

∴　　２ｋｔ－ｋ＝４ 

（1）

　　{　１０＋２ｔ＝５　

（2）, 

（1）

（2）　解得　ｋ＝

已知、不共线，Α、Β、三点共线，则

＝ｔ＋（１－ｔ）

（人教版：

高中数学课本第一册下１０７页例５）

例⒍　已知在ΔΑΒС中，∠ΑСΒ＝９００，ΒС＝３，ΑС＝４，是ΑΒ上的一点，则点到ΑС，ΒС的距离乘积的最大值是

以С为原点，ΑС为ｘ轴正半轴，ΒС为ｙ轴正半轴建立平面直角坐标系．

线段ΑΒ方程为＋＝１

即３ｘ＋４ｙ＝１２（０<

４），设（ｘ，ｙ）

由　１２＝３ｘ＋４ｙ≥２

解得ｘｙ≤３，故答案为３

二元均值不等式，　则

由上述数例可以看出，知识网络交汇点是教材知识体系中最重要、最基本、最一般的核心内容，是综合题的咽喉，是站在更高的境界去分析、观察和处理高中数学中的各种问题．对知识网络交汇点的不同理解和看法，可以设计出不同的解题思路和方法．探索知识网络交汇点是最具创造性思维和创新成果的源泉。

在数学教学中抓住了知识网络交汇点，就能培养学生对问题的迅速识别，敏锐而深入的洞察，综合性整体判断，丰富的假设和想象，迅速作出试验性结论，达到高度省略、简化、浓缩方式洞察问题实质的直觉思维形式，实现不断提高创造性思维的目的。

⒉培养学生探索应用知识网络交汇点分析问题和解决问题，培养直觉思维能力的途径。

⒉1使学生深刻理解和掌握基础知识。

在基础知识教学中，要把主要精力放在基本概念的发生过程、基本定理发现和证明的思考过程、基本公式的推导过程上来。

使学生掌握知识的来龙去脉，深刻理解其实质，并能熟练地加以运用。

⒉2教师在讲解例题过程中，要给学生做出探索应用知识网络交汇点解决问题的示范，要使学生明确问题的实质是什么，难点是怎样突破的。

使学生懂得用基础知识分析解决问题，通过解题强化对基础知识理解的辨证关系。

⒉3不断培养学生独立思考和创新精神。

可以请学生讲解习题，给学生发表独立见解和展示思考过程的机会，教师从中了解学生对知识网络交汇点突破的程度。

课内作业力求精练，使学生能独立完成，并有余力阅读课外书报刊，扩大知识视野，不断接受各种新信息，充实解题力量。

使学生学会独立获取信息并转化为知识能力的方法，在独立解题实践中积累经验，提高对知识网络交汇点识别和运用的自觉性。

⒉4培养学生良好的解题习惯。

从已知、求解、图形等信息中探索知识网络交汇点，以简缩方式形成解题思路，制定解题计划并予以实施，养成解后反思的习惯。

不断实现对知识网络交汇点的有意识记、理解和积累，提高分析问题解决问题能力的目标。

四．兵教兵

彭莉华是我教过的文科班学生。

进入高二时，数学成绩每次考试不到六十分。

我在教学中树立了这样一个理念：

“学生之间互相提问、互相讲解、互相帮助，就会发挥巨大的作用。

”因此，把学生分成三人一个学习小组，进行兵教兵式学习。

而彭莉华相对于另两名学生成绩要好些，就担任学习小组长。

在学习小组中，她给另两人讲的机会多一些。

到了高三，彭莉华的数学成绩提高很快，每次月考成绩稳定在100分（总分150分）以上，她经常高兴地说：

“我在给同学讲题中理解了，记住了，熟练了。

”在高考中，彭莉华数学考了135分，总分进入了全市文科前十名，上了重点大学。

M．希尔伯曼在《积极学习，101种有效教学策略》一书中一开始就写到：

“2400年前，孔子在论述教育时，曾说到：

对于我听过的东西，我会忘记。

对于我看过的东西，我会记得。

对于我做过的东西，我会理解。

这三句简洁的话可作为积极学习的精要。

我将孔子的智慧做一修改并扩展成我的积极学习信条：

对于我听过和看过的东西，我会记得一点。

“

对于我听过，看过并问过问题或与人讨论过的东西，我会开始理解。

对于我听过、看过、讨论过和做过的东西，我会从中获得知识和技能。

对于我教过另外一个人的东西，我会掌握。

”

从理论和实践来看，兵教兵是数学教学中的智慧之一。

作为教师，一个人的力量是单薄的，除了上课、辅导外，与学生接触机会不多。

作为学生，整天在一起相处，遇到问题，通过及时提问，共同思考，研究解决，这样可以激活思维，发挥出巨大效益。

同时，学生在互相提问中增进了友谊，加强了团结，对于一生都有很大益处。

我认为，学生从学生身上学到的东西，是学生从老师身上学到的许多倍。

兵教兵是我们数学老师的智慧武器。

五．揭示知识来龙去脉

培养数学思维能力

高中数学课程标准指出：

“教材应注意创设问题情境，从具体实例出发，展现数学知识的发生、发展过程，使学生能够从中发现问题，提出问题，经历数学的发现和创造过程，了解知识的来龙去脉。

揭示知识来龙去脉是数学教学中的智慧之一。

下面以四种命题为例谈谈自己在课堂教学实践中的看法与做法。

一．从四种命题的构造过程揭示数学概念的发生过程。

四种命题及其构造

原命题：

若两个角是对顶角，则这两个角相等。

一般形式：

若p，则q

问题1：

由原命题的题设和结论，可以构造出那些新的命题？

逆命题：

若两个角相等，则这两个角是对顶角。

若q，则p

否命题：

若两个角不是对顶角，则这两个角不相等。

若┑p，则┑q

逆否命题：

若两个角不相等，则这两个角不是对顶角。

若┑q，则┑p

还有哪些新命题吗？

在这里，引导学生从具体熟悉的命题出发，以原命题的条件与结论为素材，研究创新构造新命题，出现了命题的四种形式。

一般地，在数学基础知识教学中，教师应注意引导学生由具体到抽象、由特殊到一般研究揭示基本概念的发生过程，基本公式的推导过程，基本定理发现和证明中的思考过程，使学生掌握知识的前后联系，来龙去脉，使数学基础知识的学习过程充满生动活泼。

二．由原命题与逆命题的真假关系揭示在数学教学中提高学生数学思维能力的重要性和科学方法。

问题2：

研究四种命题（原命题以及由它构造出的新命题）有价值吗？

基本结论1：

原命题是真命题，逆命题不一定是真命题。

否命题也不一定是真命题。

例1．已知方程有两个正实根，求实数m的范围。

由已知可得

解得：

0<

m≤1

∴m的范围为（0，1]

例2．已知方程有两个大于2的实根，求实数m的范围。

错解：

由已知可得

为什么例1.解法正确，而例2.解法错误？

这是因为例1.中原命题：

若 

的逆命题：

是真命题；

而例2.中若 

若 

是假命题 

。

正确解法：

已知等价于

（以下略）

此例说明，在解题当中，当逆用原命题是真命题时，一定要注意它的逆命题是真命题还是假命题。

学生在数学学习以及解题活动中，常会不自觉地把原命题是真命题应用于逆命题之中，造成思维混乱与解题失误。

这说明培养数学思维能力是非常重要的，此例为学生学会科学的思考方法提供了具体实例。

三．由原命题与它的逆否命题的真假关系揭示数学知识的理论价值。

基本结论2：

原命题是真命题，逆否命题一定是真命题。

应用1：

判断命题的真假。

例3：

判断命题“若方程没有实数根，则”的真假。

学生由题设推得m<

—，认为这是一个假命题。

然而，它的逆否命题“若，则方程有实数根”是一个真命题，所以它应该是一个真命题。

事实上，“若方程没有实数根，则m<

—”是真命题，而

=（—∞，—）∪[—，0）

由p或q的真值表易知命题2是真命题。

数学课程标准指出：

“高中数学课程对于认识数学与自然界、数学与人类社会的关系，认识数学的科学价值、文化价值、提高分析问题和解决问题的能力，形成理性思维，发展智力和创新意识具有基础性的作用。

”在例3.中，由于从它的逆否命题为真命题发现在判定原命题真假中的失误，通过进一步分析，明确了四种命题关系以及复合命题真值表的理论价值。

一般地，深刻理解并掌握数学理论知识的内涵和实质，就会在解题实践中站的更高，看的更远。

不仅可以迅速明确解题思路，而且能够发现出现的问题及其产生问题的原因，这就是数学理论的科学价值。

四．由逆命题与原命题的真假关系揭示反证法的实质。

数学课程标准指出：

“体现相关内容的联系，帮助学生全面地理解和认识数学。

”

应用：

为反证法提供了理论依据。

在证明原命题：

“若p，则q”不易证明时，改证其逆否命题“若┐q,则┐p”，也就是通常所说的反证法，由于证明过程中使用了原命题中没有的条件“若┐q”，这就为证明无中生有的增加了已知条件，即“有效增设”，使证明易于进行。

由原命题与它的逆否命题的真假关系揭示出反证法的实质，这充分说明数学知识之间具有相互联系。

在数学教学中，教师的作用就在于挖掘数学知识相互之间的关系，帮助学生建立互相渗透，互相依托，互相关联的知识体系。

在新一轮课程改革的伟大实践中，数学教师的课堂教学应体现新课改的理念和精神。

不断坚持揭示数学知识的来龙去脉，建立知识之间的联系，构建整体数学知识体系，对于培养具有数学思维能力和创新精神人才，实现新课改目标具有十分重要的意义。

六．以少胜多

在数学教学的各个环节中，不少教师热衷于大容量，从课堂讲授内容、例题的数量、作业量，到测验次数都超负荷，不仅老师教的辛苦，而且学生学的艰难。

到头来，老师越教越没劲，学生越学越害怕。

常见的现象是，数学教与学投入最多，而数学考试特别是高考成绩最不理想。

以少胜多是数学教学中的智慧之一。

首先，课堂容量应宜少不宜多。

老师在课堂上不要说与教学无关的话，不要把自己对职业、对学校领导、对社会的牢骚话带入课堂。

要节省每一分、每一秒，直奔课堂教学主题。

在内容上，力求简练，抓住本质与要害予以展开分析，做到游刃有余。

课堂容量适度，能使学生听得懂，跟得上，也能使学生积极参与。

只有让学生能学会，才能激发学生的学习兴趣和热情，才能使学生在学会中会学，也才能收到事半功倍、举一反三、以一当十的效果。

在基础知识教学中，课堂容量适度可以使学生从基本概念的发生过程，基本定理的发现与证明过程，基本公式的推导过程中体验知识的来龙去脉、内涵和外延，使基础知识在学生心中扎根、发芽、开花、结果。

使基础知识成为学生解题力量的源泉。

数学教学的精髓是对基础知识的理解和运用，离开了学生的思考，单靠大容量灌输，只能是事倍功半。

在习题课教学中，一些老师每节课讲授十几道题，而实际上每道题只提示了一下，说了一下思路，而没有认真解完一道题，导致学生在解题中经常出现中途夭折，漏洞百出，失误很多，在考试中差错率高，成绩差。

我在数学教学中坚持以少胜多的观点。

对于习题每节课不超过三个题，要讲，就讲深、讲透、讲到底。

坚持把一道题解完，包括具体求解方程组、不等式组等等都给学生做出示范。

解完一道题，引导学生反思，揭示出该题与课本基础知识的联系、基本技能与发展，与以往解题经验相互应，进行横向、纵向比较，建立起知识体系。

因为容量适中，所以学生能听懂，能学会，课堂对于学生是享受，而不是痛苦。

每节课讲完后，留出五分钟左右的时间，一是让学生提问题，有没有没听懂的地方，疑点是什么，学生有无新见解，等等；

二是让学生把讲过的内容复习一遍，需要记笔记的地方让学生记上，同桌之间可以相互交流，对课堂内容加深理解；

三是避免拖堂，保证按时下课，一个经常拖堂的老师，其教学质量肯定不会好，按时上下课是教师的良好习惯。

关于作业，我每次不超过5道题，而且明确提出允许大于等于2来处理，不歧视只做两道题的学生，因为老师说话算数。

作业适量是为了让大部分学生能轻松愉快的完成作业，而且是独立完成作业，使完成作业成为学生的自觉行动。

同时，学生早一些完成作业，有余力阅读教材和教辅资料，投入课外解题之中，有时间和精力与教材对话，与同学商量讨论问题。

七．让学生与教材对话

数学教与学，实质上是教师围绕教材教，学生利用教材学。

就课程资源来看，最根本的课程资源是教材。

让学生与教材对话，是数学教学中的智慧之一。

首先，教师要给学生做出与教材对话的示范。

在基础知识教学中，教师要把教材当作重要学习内容来对待。

对于教材中的问题背景、概念、定理、例习题给予高度关注，把基本概念的内涵和外延讲清、讲细、讲透，经常在学生面前高度赞扬教材内容及概念、公式、定理在数学知识体系中的重要地位和价值，结合数学史介绍数学知识在发生和形成过程中伟大的数学家先驱对于科学和人类文明的重大贡献，以激励学生热爱数学，研读教材的兴趣。

对于教材中的习题，一些老师自认为太简单，学生肯定会做为理由而不去关注，把重心过早放在课外难题上，出现课外习题与教材脱节的情形，致使学生对教材不熟悉，缺乏坚实的根基，把思考性很强的数学变成了纯粹的技能训练，形成记题型，背套路的生搬硬套式教学模式，致使数学越学越难，越难越怕，严重挫伤了学生学习数学的热情。

在数学教学中，老师经常把新问题、高考题、难题与教材内容和课本上习题加以比较，找寻根源，建立联系，使学生明确高考试题题在书外，根在书内的道理。

老师重视课本，学生就会经常研读课本，不断与教材对话，用心体会教材内容，不断提高对教材的认识。

只有认识深刻，有独到体会和见解，才能在解题中加以熟练运用。

在一些学校的管理层中，存在着忽视课本的现象，他们认为高考不会从课本上出题，因而安排教学进度时，要求教师赶进度，把新课很快上完。

更有甚者，在假期补课中，在学生没有教材的情况下盲目赶进度，把赢得的时间用于题海战术上，导致学生独立分析问题解决问题能力的下降，给学生学习造成更大困难。

从多年来的高考试题来看，数学试题侧重于课本基础知识的灵活运用与延伸，与教材联系非常紧密。

平时重视与课本对话的学生，高考成绩就高，平时脱离教材基础知识指导的学生成绩就低。

我在高三数学教学中，首先检查学生课本到位情况。

特别是补习班学生，容易出现重视做题忽视教材的情形。

我在每章知识复习中，至始至终把课本带着，经常告诫学生那些与教材基础知识联系密切的习题是重点习题，教材上有的，必须高度关注。

经常向学生介绍这样的学习理念：

用基础知识指导解题，通过解题强化、活化理解课本基础知识。

抓住了课本，就是抓住了要害，促使学生与教材对话。

八．关注学生思维最近发展区

数学学习本身是一种满足人类对科学文化的需要，就象吃饭一样，当有某种欲望时，就觉得学习很有意思，对获得老师帮助有一种发自内心的感激，这对于促进学生良好品德的形成也有很大的意义和价值。

在数学教学中，关注学生思维最近发展区，在学生最需要的时候给予指点、鼓励和帮助，是数学教学中的智慧之一。

在辅导课上，我一般不集体讲，而是采取个别指导，答疑解惑，给学生留出自己思考、阅读、求解的时间，然后有问题的提出来，我给予点拨性提示，帮助学生把断线的思维连接起来，形成思维回路，这样做的理由有以下几点：

1．摆正了老师、教材和学生三者之间的关系。

教师是引领者，学生是学习实践者，教材是知识的精华，是学习的内容。

老师给学生留出时间，让学生阅读教材，理解教材，然后提出问题，和老师交流，老师是学生学习的坚强后盾，帮助学生及时解决存在的困难和问题。

2．培养了创新精神。

学生先独立思考，然后提出问题。

所提问题是学生已经通过独立思考后提出来的，经过老师指点，就会与学生思维碰撞出智慧的火花，使学生有顿悟之感，经过学生独立解决，学生从老师身上学到了科学的思想方法，养成了独立分析问题解决问题的良好习惯，对学生今后在大学学习和从事工作后都具有发展功能。

相反，如果教师在课堂、自习辅导上