优品课件之届中考数学特殊四边形专题复习导学案Word文档格式.docx
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②∠AEH+∠ADH=180°
;
③△EHF≌△DHC;
④若=,则3S△EDH=13S△DHC,其中结论正确的有( )A.1个B.2个C.3个D.4个4.(2016•黑龙江齐齐哈尔)如图,平行四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,请你添加一个适当的条件 使其成为菱形(只填一个即可).5.(2013山东烟台)如图,□ABCD的周长为36.对角线AC,BD相交于点O.点E是CD的中点.BO=12.则△DOE的周长为___________.6.(2013四川雅安)在□ABCD中,点E、F分别在AB、CD上,且AE=CF.
(1)求证:
△ADE≌△CBF;
(2)若DF=BF,求证:
四边形DEBF为菱形.
7.(2016•贵州安顺•10分)如图,在▱ABCD中,BC=2AB=4,点E、F分别是BC、AD的中点.
(1)求证:
△ABE≌△CDF;
(2)当四边形AECF为菱形时,求出该菱形的面积.
8.(2016广西南宁)已知四边形ABCD是菱形,AB=4,∠ABC=60°
,∠EAF的两边分别与射线CB,DC相交于点E,F,且∠EAF=60°
.
(1)如图1,当点E是线段CB的中点时,直接写出线段AE,EF,AF之间的数量关系;
(2)如图2,当点E是线段CB上任意一点时(点E不与B、C重合),求证:
BE=CF;
(3)如图3,当点E在线段CB的延长线上,且∠EAB=15°
时,求点F到BC的距离.
【达标检测】一.选择题1.如图,在正方形ABCD的外侧,作等边三角形ADE.AC,BE相交于点F,则∠BFC为()A.45°
B.55°
C.60°
D.75°
2.(2016•四川攀枝花)下列关于矩形的说法中正确的是( )A.对角线相等的四边形是矩形B.矩形的对角线相等且互相平分C.对角线互相平分的四边形是矩形D.矩形的对角线互相垂直且平分3.(2016•四川内江)下列命题中,真命题是()A.对角线相等的四边形是矩形B.对角线互相垂直的四边形是菱形C.对角线互相平分的四边形是平行四边形D.对角线互相垂直平分的四边形是正方形4.(2016•四川南充)如图,对折矩形纸片ABCD,使AB与DC重合得到折痕EF,将纸片展平;
再一次折叠,使点D落到EF上点G处,并使折痕经过点A,展平纸片后∠DAG的大小为( )A.30°
B.45°
5.(2016•四川泸州)如图,矩形ABCD的边长AD=3,AB=2,E为AB的中点,F在边BC上,且BF=2FC,AF分别与DE、DB相交于点M,N,则MN的长为( )A.B.C.D.6.(2016•湖北荆门)如图,在矩形ABCD中(AD>AB),点E是BC上一点,且DE=DA,AF⊥DE,垂足为点F,在下列结论中,不一定正确的是( )A.△AFD≌△DCEB.AF=ADC.AB=AFD.BE=AD�DF二.填空题7.(2016•内蒙古包头)如图,在矩形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,过点A作AE⊥BD,垂足为点E,若∠EAC=2∠CAD,则∠BAE= 度.8.(2016•陕西)如图,在菱形ABCD中,∠ABC=60°
,AB=2,点P是这个菱形内部或边上的一点,若以点P、B、C为顶点的三角形是等腰三角形,则P、D(P、D两点不重合)两点间的最短距离为 .9.如图,在菱形ABCD中,点A在x轴上,点B的坐标为(8,2),点D的坐标为(0,2),则点C的坐标为.10.如图,矩形ABCD中,AD=5,AB=7.点E为DC上一个动点,把△ADE沿AE折叠,当点D的对应点D'
落在∠ABC的角平分线上时,DE的长为.11.如图,正方形ABCD的边长为a,在AB、BC、CD、DA边上分别取点A1、B1、C1、D1,使AA1=BB1=CC1=DD1=a,在边A1B1、B1C1、C1D1、D1A1上分别取点A2、B2、C2、D2,使A1A2=B1B2=C1C2=D1D2=A1B2,….依次规律继续下去,则正方形AnBnCnDn的面积为.三.解答题12.(2016•黑龙江哈尔滨)已知:
如图,在正方形ABCD中,点E在边CD上,AQ⊥BE于点Q,DP⊥AQ于点P.
(1)求证:
AP=BQ;
(2)在不添加任何辅助线的情况下,请直接写出图中四对线段,使每对中较长线段与较短线段长度的差等于PQ的长.
13.(2016广西南宁)已知四边形ABCD是菱形,AB=4,∠ABC=60°
14.(2016河南)如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°
,点M是AC的中点,以AB为直径作⊙O分别交AC,BM于点D,E.
(1)求证:
MD=ME;
(2)填空:
①若AB=6,当AD=2DM时,DE= ;
②连接OD,OE,当∠A的度数为 时,四边形ODME是菱形.
15.(2016•陕西)问题提出
(1)如图①,已知△ABC,请画出△ABC关于直线AC对称的三角形.问题探究
(2)如图②,在矩形ABCD中,AB=4,AD=6,AE=4,AF=2,是否在边BC、CD上分别存在点G、H,使得四边形EFGH的周长最小?
若存在,求出它周长的最小值;
若不存在,请说明理由.问题解决(3)如图③,有一矩形板材ABCD,AB=3米,AD=6米,现想从此板材中裁出一个面积尽可能大的四边形EFGH部件,使∠EFG=90°
,EF=FG=米,∠EHG=45°
,经研究,只有当点E、F、G分别在边AD、AB、BC上,且AF<BF,并满足点H在矩形ABCD内部或边上时,才有可能裁出符合要求的部件,试问能否裁得符合要求的面积尽可能大的四边形EFGH部件?
若能,求出裁得的四边形EFGH部件的面积;
若不能,请说明理由.
【知识归纳答案】一、矩形1.定义有一个角是 直角的平行四边形叫做矩形2.性质
(1)矩形的四个角都是 直角;
(2)矩形的对角线互相平分并且 相等(3)矩形是一个轴对称图形,它有 2条对称轴3.判定
(1)根据矩形的定义;
(2)有 1个角是直角的平行四边形是矩形;
(3)对角线 相等的平行四边形是矩形二.菱形1.定义有一组邻边相等的平行四边形是菱形2.性质
(1)菱形的四条边 相等;
(2)菱形的对角线互相 垂直平分;
(3)每条对角线平分 一组对角(4)菱形是 轴对称图形,两条对角线所在的直线是它的对称轴,菱形是中心对称图形,它的对称中心是两条对角线的交点3.判定
(1)根据菱形的定义;
(2)四条边 相等的四边形是菱形;
(3)对角线互相 垂直的平行四边形是菱形三.正方形1.定义有一组邻边相等,且有一个角是直角的 平行四边形叫做正方形2.性质①正方形对边平行;
②正方形四边 相等;
③正方形四个角都是 直角;
④正方形对角线相等,互相垂直平分,每条对角线平分 一组对角;
⑤正方形既是轴对称图形也是 中心图形,对称轴有 四条,对称中心是对角线的交点3.判定
(1)根据正方形的定义;
(2)有一组邻边相等的 矩形是正方形;
(3)有一个角是直角的 菱形是正方形【基础检测答案】1.(2016•舟山)如图,矩形ABCD中,AD=2,AB=3,过点A,C作相距为2的平行线段AE,CF,分别交CD,AB于点E,F,则DE的长是( )A.B.C.1D.【分析】过F作FH⊥AE于H,根据矩形的性质得到AB=CD,AB∥CD,推出四边形AECF是平行四边形,根据平行四边形的性质得到AF=CE,根据相似三角形的性质得到,于是得到AE=AF,列方程即可得到结论.【解答】解:
过F作FH⊥AE于H,∵四边形ABCD是矩形,∴AB=CD,AB∥CD,∵AE∥CF,∴四边形AECF是平行四边形,∴AF=CE,∴DE=BF,∴AF=3�DE,∴AE=,∵∠FHA=∠D=∠DAF=90°
,∴∠AFH+∠HAF=∠DAE+∠FAH=90°
,∴∠DAE=∠AFH,∴△ADE∽△AFH,∴,∴AE=AF,∴=3�DE,∴DE=,故选D.【点评】本题考查了矩形的性质,相似三角形的判定和性质,勾股定理,平行四边形的判定和性质,熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键.2.(2016•兰州)如图,矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O,CE∥BD,DE∥AC,AD=2,DE=2,则四边形OCED的面积( )A.2B.4C.4D.8【分析】连接OE,与DC交于点F,由四边形ABCD为矩形得到对角线互相平分且相等,进而得到OD=OC,再由两组对边分别平行的四边形为平行四边形得到ODEC为平行四边形,根据邻边相等的平行四边形为菱形得到四边形ODEC为菱形,得到对角线互相平分且垂直,求出菱形OCEF的面积即可.【解答】解:
连接OE,与DC交于点F,∵四边形ABCD为矩形,∴OA=OC,OB=OD,且AC=BD,即OA=OB=OC=OD,∵OD∥CE,OC∥DE,∴四边形ODEC为平行四边形,∵OD=OC,∴四边形ODEC为菱形,∴DF=CF,OF=EF,DC⊥OE,∵DE∥OA,且DE=OA,∴四边形ADEO为平行四边形,∵AD=2,DE=2,∴OE=2,即OF=EF=,在Rt△DEF中,根据勾股定理得:
DF==1,即DC=2,则S菱形ODEC=OE•DC=×
2×
2=2.故选A【点评】此题考查了矩形的性质,菱形的判定与性质,以及勾股定理,熟练掌握矩形的性质是解本题的关键.3.(2016•云南省昆明市•4分)如图,在正方形ABCD中,AC为对角线,E为AB上一点,过点E作EF∥AD,与AC、DC分别交于点G,F,H为CG的中点,连接DE,EH,DH,FH.下列结论:
④若=,则3S△EDH=13S△DHC,其中结论正确的有( )A.1个B.2个C.3个D.4个【考点】正方形的性质;
全等三角形的判定与性质.【分析】①根据题意可知∠ACD=45°
,则GF=FC,则EG=EF�GF=CD�FC=DF;
②由SAS证明△EHF≌△DHC,得到∠HEF=∠HDC,从而∠AEH+∠ADH=∠AEF+∠HEF+∠ADF�∠HDC=180°
③同②证明△EHF≌△DHC即可;
④若=,则AE=2BE,可以证明△EGH≌△DFH,则∠EHG=∠DHF且EH=DH,则∠DHE=90°
,△EHD为等腰直角三角形,过H点作HM垂直于CD于M点,设HM=x,则DM=5x,DH=x,CD=6x,则S△DHC=×
HM×
CD=3x2,S△EDH=×
DH2=13x2.【解答】解:
①∵四边形ABCD为正方形,EF∥AD,∴EF=AD=CD,∠ACD=45°
,∠GFC=90°
,∴△CFG为等腰直角三角形,∴GF=FC,∵EG=EF�GF,DF=CD�FC,∴EG=DF,故①正确;
②∵△CFG为等腰直角三角形,H为CG的中点,∴FH=CH,∠GFH=∠GFC=45°
=∠HCD,在△EHF和△DHC中,,∴△EHF≌△DHC(SAS),∴∠HEF=∠HDC,∴∠AEH+∠ADH=∠AEF+∠HEF+∠ADF�∠HDC=∠AEF+∠ADF=180°
,故②正确;
③∵△CFG为等腰直角三角形,H为CG的中点,∴FH=CH,∠GFH=∠GFC=45°
=∠HCD,在△EHF和△DHC中,,∴△EHF≌△DHC(SAS),故③正确;
④∵=,∴AE=2BE,∵△CFG为等腰直角三角形,H为CG的中点,∴FH=GH,∠FHG=90°
,∵∠EGH=∠FHG+∠HFG=90°
+∠HFG=∠HFD,在△EGH和△DFH中,,∴△EGH≌△DFH(SAS),∴∠EHG=∠DHF,EH=DH,∠DHE=∠EHG+∠DHG=∠DHF+∠DHG=∠FHG=90°
,∴△EHD为等腰直角三角形,过H点作HM垂直于CD于M点,如图所示:
设HM=x,则DM=5x,DH=x,CD=6x,则S△DHC=×
DH2=13x2,∴3S△EDH=13S△DHC,故④正确;
故选:
D.4.(2016•黑龙江齐齐哈尔•3分)如图,平行四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,请你添加一个适当的条件 AC⊥BC或∠AOB=90°
或AB=BC 使其成为菱形(只填一个即可).【考点】菱形的判定;
平行四边形的性质.【分析】利用菱形的判定方法确定出适当的条件即可.【解答】解:
如图,平行四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,添加一个适当的条件为:
AC⊥BC或∠AOB=90°
或AB=BC使其成为菱形.故答案为:
或AB=BC5.(2013山东烟台)如图,□ABCD的周长为36.对角线AC,BD相交于点O.点E是CD的中点.BO=12.则△DOE的周长为__________________.【答案】15【解题思路】根据平行四边形的性质,对角线互相平分,两组对边分别相等,可以分别求出OD、OE+DE的长,即可求解.∵□ABCD的周长为36,∴BC+CD=18,∵四边形ABCD为平行四边形,∴O是BD的中点,∴OD=6,又∵E是CD的中点,∴OE是△BCD的中位线,∴OE+DE=9,∴△DOE的周长=OD+OE+DE=6+9=15【方法指导】本题考查了平行四边形的性质、三角形的中位线定理以及整体思想的运用.求三角形的周长可以分别求出三边的长,但是本题较新颖,根据对角线的交点是对角线的中点,可以求出其中一边的长,而另外两边运用整体思想,求出这两边的长度和后即可求解.在平行四边形中,由于对角线的交点即为中点,再加上另一中点,所以中位线定理是我们的首选.6.(2013四川雅安)在□ABCD中,点E、F分别在AB、CD上,且AE=CF.
(1)求证:
四边形DEBF为菱形.【答案】
(1)证明:
∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD=BC,∠A=∠C,又∵AE=CF,∴△ADE≌△CBF.
(2)证明:
∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB=CD,AB∥CD.∵AE=CF,∴BE=DF,BE∥DF,∴四边形DEBF是平行四边形,∵DF=BF,∴□DEBF是菱形.【解析】
(1)首先根据平行四边形的性质可得AD=BC,∠A=∠C,再加上条件AE=CF可利用SAS证明△ADE≌△CBF;
(2)首先证明DF=BE,再加上条件AB∥CD可得四边形DEBF是平行四边形,又DF=FB,可根据邻边相等的平行四边形为菱形证出结论.【方法指导】此题主要考查了全等三角形的判定,以及菱形的判定,关键是掌握全等三角形的判定定理,以及菱形的判定定理,平行四边形的性质.7.(2016•贵州安顺)如图,在▱ABCD中,BC=2AB=4,点E、F分别是BC、AD的中点.
(1)求证:
【分析】第
(1)问要证明三角形全等,由平行四边形的性质,很容易用SAS证全等.第
(2)要求菱形的面积,在第
(1)问的基础上很快知道△ABE为等边三角形.这样菱形的高就可求了,用面积公式可求得.【解答】
(1)证明:
∵在▱ABCD中,AB=CD,∴BC=AD,∠ABC=∠CDA.又∵BE=EC=BC,AF=DF=AD,∴BE=DF.∴△ABE≌△CDF.
(2)解:
∵四边形AECF为菱形时,∴AE=EC.又∵点E是边BC的中点,∴BE=EC,即BE=AE.又BC=2AB=4,∴AB=BC=BE,∴AB=BE=AE,即△ABE为等边三角形,(6分)▱ABCD的BC边上的高为2×
sin60°
=,(7分)∴菱形AECF的面积为2.(8分)【点评】考查了全等三角形,四边形的知识以及逻辑推理能力.
(1)用SAS证全等;
(2)若四边形AECF为菱形,则AE=EC=BE=AB,所以△ABE为等边三角形.8.(2016广西南宁)已知四边形ABCD是菱形,AB=4,∠ABC=60°
时,求点F到BC的距离.【考点】四边形综合题.【分析】
(1)结论AE=EF=AF.只要证明AE=AF即可证明△AEF是等边三角形.
(2)欲证明BE=CF,只要证明△BAE≌△CAF即可.(3)过点A作AG⊥BC于点G,过点F作FH⊥EC于点H,根据FH=CF•cos30°
,因为CF=BE,只要求出BE即可解决问题.【解答】
(1)解:
结论AE=EF=AF.理由:
如图1中,连接AC,∵四边形ABCD是菱形,∠B=60°
,∴AB=BC=CD=AD,∠B=∠D=60°
,∴△ABC,△ADC是等边三角形,∴∠BAC=∠DAC=60°
∵BE=EC,∴∠BAE=∠CAE=30°
,AE⊥BC,∵∠EAF=60°
,∴∠CAF=∠DAF=30°
,∴AF⊥CD,∴AE=AF(菱形的高相等),∴△AEF是等边三角形,∴AE=EF=AF.
(2)证明:
如图2中,∵∠BAC=∠EAF=60°
,∴∠BAE=∠CAE,在△BAE和△CAF中,,∴△BAE≌△CAF,∴BE=CF.(3)解:
过点A作AG⊥BC于点G,过点F作FH⊥EC于点H,∵∠EAB=15°
,∠ABC=60°
,∴∠AEB=45°
,在RT△AGB中,∵∠ABC=60°
AB=4,∴BG=2,AG=2,在RT△AEG中,∵∠AEG=∠EAG=45°
,∴AG=GE=2,∴EB=EG�BG=2�2,∵△AEB≌△AFC,∴AE=AF,EB=CF=2�2,∠AEB=∠AFC=45°
,∵∠EAF=60°
,AE=AF,∴△AEF是等边三角形,∴∠AEF=∠AFE=60°
∵∠AEB=45°
,∠AEF=60°
,∴∠CEF=∠AEF�∠AEB=15°
,在RT△EFH中,∠CEF=15°
,∴∠EFH=75°
,∵∠AFE=60°
,∴∠AFH=∠EFH�∠AFE=15°
,∵∠AFC=45°
,∠CFH=∠AFC�∠AFH=30°
,在RT△CHF中,∵∠CFH=30°
,CF=2�2,∴FH=CF•cos30°
=(2�2)•=3�.∴点F到BC的距离为3�.【点评】本题考查四边形综合题、菱形的性质、等边三角形的判定、全等三角形的判定和性质等知识,解题的关键是灵活应用这些知识解决问题,学会添加常用辅助线,属于中考压轴题.
【达标检测答案】一.选择题(每小题4分,满分40分)1.如图,在正方形ABCD的外侧,作等边三角形ADE.AC,BE相交于点F,则∠BFC为()A.45°
【答案】C.【解析】∵四边形ABCD是正方形,∴AB=AD,∠ABC=∠BAD=90°
,∠BAC=∠BCA=45°
.∵△ADE是等边三角形,∴AE=AD,∠BCA=45°
.∴∠BCE=135°
,AB=AD.∴∠ABE=15°
.∴∠CBF=75°
.∴∠BFC=60°
.故选C.2.(2016•四川攀枝花)下列关于矩形的说法中正确的是( )A.对角线相等的四边形是矩形B.矩形的对角线相等且互相平分C.对角线互相平分的四边形是矩形D.矩形的对角线互相垂直且平分【考点】矩形的判定与性质.【分析】根据矩形的性质和判定定理逐个判断即可.【解答】解:
A、对角线相等的平行四边形才是矩形,故本选项错误;
B、矩形的对角线相等且互相平分,故本选项正确;
C、对角线互相平分的四边形是平行四边形,不一定是矩形,故本选项错误;
D、矩形的对角线互相平分且相等,不一定垂直,故本选项错误;
故选B.【点评】本题考查了矩形的性质和判定的应用,能熟记矩形的性质和判定定理是解此题的关键.3.(2016•四川内江)下列命题中,真命题是()A.对角线相等的四边形是矩形B.对角线互相垂直的四边形是菱形C.对角线互相平分的四边形是平行四边形D.对角线互相垂直平分的四边形是正方形[答案]C[考点]特殊四边形的判定。
[解析]满足选项A或选项B中的条件时,不能推出四边形是平行四边形,因此它们都是假命题.由选项D中的条件只能推出四边形是菱形,因此也是假例题.只有选项C中的命题是真命题.故选C.4.(2016•四川南充)如图,对折矩形纸片ABCD,使AB与DC重合得到折痕EF,将纸片展平;
【分析】直接利用翻折变换的性质以及直角三角形的性质得出∠2=∠4,再利用平行线的性质得出∠1=∠2=∠3,进而得出答案.【解答】解:
如图所示:
由题意可得:
∠1=∠2,AN=MN,∠MGA=90°
,则NG=AM,故AN=NG,则∠2=∠4,∵EF∥AB,∴∠4=∠3
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