第一章第4讲简单的逻辑联结词全称量词与存在量词Word下载.docx
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A.∃x0∈N,x
>
x
B.∀x∈N,x2≤x3C.∃x0∈N,x
≤x
D.∀x∈N,x2<
x3
3.下列命题是真命题的是( )
A.所有的素数都是奇数B.∀x∈R,x2+1≥0
C.对于每一个无理数x,x2是有理数D.∀x∈Z,
∉Z
4.已知命题p:
∃x0∈R,使sinx0=
;
命题q:
∀x∈R,都有x2+x+1>
0.给出下列结论:
①命题“p∧q”是真命题;
②命题“p∧(¬
q)”是假命题;
③命题“(¬
p)∨q”是真命题;
④命题“(¬
p)∨(¬
q)”是假命题,其中正确的是________(把所有正确结论的序号都填上).
全称命题、特称命题(高频考点)
(1)设命题p:
∃n∈N,n2>2n,则
p为( )
A.∀n∈N,n2>2n B.∃n∈N,n2≤2nC.∀n∈N,n2≤2nD.∃n∈N,n2=2n
(2)下列命题中的假命题为( )
A.∀x∈R,ex>
0B.∀x∈N,x2>
0C.∃x0∈R,lnx0<
1D.∃x0∈N*,sin
=1
角度一 判断全称命题、特称命题的真假性
1.有下列四个命题,其中真命题是( )
A.∀n∈R,n2≥nB.∃n∈R,∀m∈R,m·
n=m
C.∀n∈R,∃m∈R,m2<
nD.∀n∈R,n2<
n
角度二 全称命题、特称命题的否定
2.命题“对任意x∈R,都有x2≥ln2”的否定为( )
A.对任意x∈R,都有x2<
ln2B.不存在x∈R,使得x2<
ln2
C.存在x0∈R,使得x
≥ln2D.存在x0∈R,使得x
<
含有逻辑联结词的命题的真假判断[学生用书P12]
已知命题p:
∀x∈R,x+
≥2;
∃x∈
,使sinx+cosx=
,
则下列命题中为真命题的是( )
A.(¬
p)∧q B.p∧(¬
q)C.(¬
p)∧(¬
q)D.p∧q
∃x0∈R,使tanx0=1,命题q:
x2-3x+2<
0的解集是{x|1<
x<
2},
现有以下结论:
①命题“p且q”是真命题;
②命题“p且¬
q”是假命题;
③命题“¬
p或q”是真命题;
④命题“¬
p或¬
q”是假命题.其中正确的是( )
A.②③B.①②④C.①③④D.①②③④
由命题的真假确定参数的取值范围[学生用书P12]
关于x的方程x2-ax+4=0有实根;
关于x的函数y=2x2+ax+4
在[3,+∞)上是增函数.若p∨q是真命题,则实数a的取值范围是________.
(1)在本例条件下,若p∧q为真命题,求实数a的取值范围.
(2)在本例条件下,若p∨q为真命题,p∧q为假命题,求实数a的取值范围.
(3)在本例条件下,若¬
p为真命题,求实数a的取值范围.
已知p:
∃x∈R,mx2+1≤0,q:
∀x∈R,x2+mx+1>0,若p∨q为假命题,
则实数m的取值范围为( )A.m≥2 B.m≤-2C.m≤-2或m≥2D.-2≤m≤2
——分类讨论思想求解命题中的参数
已知c>
0,且c≠1,设p:
函数y=cx在R上单调递减;
q:
函数f(x)=x2-2cx+1在
上为增函数,若“p且q”为假,“p或q”为真,求实数c的取值范围.
命题p:
∀x∈R,ax2+ax+1≥0,若¬
p是真命题,则实数a的取值范围是( )
A.(0,4] B.[0,4]C.(-∞,0]∪[4,+∞)D.(-∞,0)∪(4,+∞)
1.已知命题p:
∀x∈R,ex-x-1>
0,则¬
p为( )A.∀x∈R,ex-x-1<
0
B.∃x0∈R,ex0-x0-1≤0C.∃x0∈R,ex0-x0-1<
0D.∀x∈R,ex-x-1≤0
2.命题“∃x0∈R,x
-2x0+1<
0”的否定是( )
A.∃x0∈R,x
-2x0+1≥0B.∃x0∈R,x
-2x0+1>
C.∀x∈R,x2-2x+1≥0D.∀x∈R,x2-2x+1<
3.设非空集合A,B满足A⊆B,则以下表述一定正确的是( )
A.∃x0∈A,x0∉B B.∀x∈A,x∈BC.∀x∈B,x∉AD.∀x∈B,x∈A
4.以下四个命题既是特称命题又是真命题的是( )
A.锐角三角形有一个内角是钝角B.至少有一个实数x,使x2≤0
C.两个无理数的和必是无理数D.存在一个负数x,
>
2
5.下列命题中的假命题是( )
A.∃x0∈R,lgx0=0B.∃x0∈R,tanx0=
C.∀x∈R,x3>
0D.∀x∈R,2x>
6.已知命题p:
∃x∈R,log2(3x+1)≤0,则( )
A.p是假命题;
p:
∀x∈R,log2(3x+1)≤0B.p是假命题;
∀x∈R,log2(3x+1)>
C.p是真命题;
∀x∈R,log2(3x+1)≤0D.p是真命题;
7.已知命题p:
∀x∈R,2x<
3x;
∃x∈R,x3=1-x2,则下列命题中为真命题的是( )
A.p∧qB.(¬
p)∧qC.p∧(¬
q)D.(¬
q)
8.已知命题p:
若x>y,则-x<-y;
若x>y,则x2>y2.
在命题①p∧q;
②p∨q;
③p∧(¬
q);
④(¬
p)∨q中,真命题是( )
A.①③B.①④C.②③D.②④
9.若命题“∃x0∈R,x
+(a-1)x0+1<
0”是真命题,则实数a的取值范围是( )
A.[-1,3]B.(-1,3)C.(-∞,-1]∪[3,+∞)D.(-∞,-1)∪(3,+∞)
10.已知命题p:
“x>
3”是“x2>
9”的充要条件,命题q:
“a2>
b2”是“a>
b”的充要条件,则( )
A.p∨q为真B.p∧q为真C.p真q假D.p∨q为假
11.已知命题p:
∃x∈R,x2+1<
2x;
若mx2-mx+1>
0恒成立,则0<
m<
4,那么( )
A.“¬
p”是假命题B.q是真命题C.“p∨q”为假命题D.“p∧q”为真命题
12.下列结论中错误的是( )
A.命题“若p,则q”与命题“若¬
q,则¬
p”互为逆否命题
B.命题p:
∀x∈[0,1],ex≥1;
∃x0∈R,x
+x0+1<0,则p∨q为真
C.“若am2>bm2(m∈R),则a>b”的逆命题为真命题
D.若p∨q为假命题,则p,q均为假命题
13.命题“∃x0∈
,tanx0>
sinx0”的否定是________.
14.若“∀x∈
,tanx≤m”是真命题,则实数m的最小值为________.
15.已知命题p:
∀x∈R,x2-a≥0,命题q:
+2ax0+2-a=0.
若命题“p且q”是真命题,则实数a的取值范围为________.
16.下列结论:
①若命题p:
∃x∈R,tanx=1;
∀x∈R,x2-x+1>
0.则命题“p∧(¬
②已知直线l1:
ax+3y-1=0,l2:
x+by+1=0,则l1⊥l2的充要条件是
=-3;
③命题“若x2-3x+2=0,则x=1”的逆否命题为“若x≠1,则x2-3x+2≠0”.
其中正确结论的序号为________.
17.已知命题p1:
∀x∈(0,+∞),3x>
2x,p2:
∃θ∈R,sinθ+cosθ=
则在命题q1:
p1∨p2;
q2:
p1∧p2;
q3:
(¬
p1)∨p2和q4:
p1∧(¬
p2)中,真命题是________.
18.已知a>
0,设命题p:
函数y=ax在R上单调递减,q:
函数y=
且y>
1恒成立,若p∧q为假,p∨q为真,求a的取值范围.
第4讲 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
[学生用书P10])
1.简单的逻辑联结词
(1)常用的简单的逻辑联结词有“或”“且”“非”.
(2)命题p∧q、p∨q、¬
2.全称命题和特称命题
(1)全称量词和存在量词
(1)p∧q中一假即假.
(2)p∨q中一真必真.
(3)¬
A.命题p不一定是假命题
B.命题q一定是真命题
C.命题q不一定是真命题
D.命题p与命题q同真同假
[答案]B
2.
命题p:
B.∀x∈N,x2≤x3
C.∃x0∈N,x
D.∀x∈N,x2<
C [解析]因为命题∀x∈M,p(x)的否定是∃x0∈M,¬
p(x0),故选C.
3.
下列命题是真命题的是( )
A.所有的素数都是奇数
B.∀x∈R,x2+1≥0
C.对于每一个无理数x,x2是有理数
D.∀x∈Z,
B [解析]对于A,2是素数,但2不是奇数,A假;
对于B,∀x∈R,总有x2≥0,则x2+1≥0恒成立,B真;
对于C,
是无理数,(
)2=π还是无理数,C假;
对于D,1∈Z,但
=1∈Z,D假,故选B.
[解析]因为对任意实数x,|sinx|≤1,而sinx0=
1,所以p为假;
因为x2+x+1=0的判别式Δ<
0,
所以q为真.故②③正确.
[答案]②③
全称命题、特称命题(高频考点)[学生用书P11]
全称命题与特称命题是高考的常考内容,多与其他数学知识相结合命题,以选择题、填空题的形式出现.
高考对全称命题、特称命题的考查主要有以下两个命题角度:
(1)判断全称命题、特称命题的真假性;
(2)全称命题、特称命题的否定.
[典例引领]
(1)(2015·
高考全国卷Ⅰ)设命题p:
p为( )
A.∀n∈N,n2>2n B.∃n∈N,n2≤2n
C.∀n∈N,n2≤2nD.∃n∈N,n2=2n
0B.∀x∈N,x2>
C.∃x0∈R,lnx0<
【解析】
(1)因为“∃x∈M,p(x)”的否定是“∀x∈M,
p(x)”,所以命题“∃n∈N,n2>2n”的否定是“∀n∈N,n2≤2n”.故选C.
(2)对于选项A,由函数y=ex的图象可知,∀x∈R,ex>
0,故选项A为真命题;
对于选项B,当x=0时,x2=0,故选项B为假命题;
对于选项C,当x0=
时,ln
=-1<
1,故选项C为真命题;
对于选项D,当x0=1时,sin
=1,故选项D为真命题.综上知选B.
【答案】
(1)C
(2)B
(1)全、特称命题的真假判断方法
①要判断一个全称命题是真命题,必须对限定集合M中的每个元素x验证p(x)成立;
但要判断全称命题是假命题,只要能找出集合M中的一个x=x0,使得p(x0)不成立即可(这就是通常所说的“举出一个反例”).
②要判断一个特称命题是真命题,只要在限定集合M中,至少能找到一个x=x0,使p(x0)成立即可,否则,这一特称命题就是假命题.
(2)全称命题与特称命题的否定
一是要改写量词,全称量词改写为存在量词,存在量词改写为全称量词;
二是要否定结论,而一般命题的否定只需直接否定结论即可.
[题点通关]
A.∀n∈R,n2≥n
B.∃n∈R,∀m∈R,m·
D.∀n∈R,n2<
B [解析]对于选项A,令n=
即可以验证其不正确;
对于选项C、选项D,可令n=-1加以验证,均不正确,故选B.
B.不存在x∈R,使得x2<
≥ln2
D.存在x0∈R,使得x
D [解析]按照“任意”改“存在”,结论变否定的模式,应该为存在x0∈R,使得x
ln2.
(2017·
云南昆明一中考前强化)已知命题p:
,则下列命题中为真命题的是( )
p)∧q B.p∧(¬
C.(¬
【解析】 在命题p中,当x<
0时,x+
0,所以命题p为假命题,所以¬
p为真命题;
在命题q中,sinx+cosx=
sin
,当x=
时,sinx+cosx=
,所以q为真命题,故选A.
【答案】 A
(1)判断含有逻辑联结词的命题真假的步骤
①先判断简单命题p,q的真假.
②再根据真值表判断含有逻辑联结词命题的真假.
(2)含逻辑联结词命题真假的等价关系
①p∨q真⇔p,q至少一个真⇔(¬
q)假.
②p∨q假⇔p,q均假⇔(¬
q)真.
③p∧q真⇔p,q均真⇔(¬
④p∧q假⇔p,q至少一个假⇔(¬
⑤¬
p真⇔p假;
p假⇔p真.
西安模拟)已知命题p:
2},现有以下结论:
q”是假命题.
其中正确的是( )
A.②③B.①②④
C.①③④D.①②③④
D [解析]因为命题p:
∃x0∈R,使tanx0=1为真命题,命题q:
2}也为真命题,所以“p且q”是真命题,“p且¬
q”是假命题,“¬
p或q”是真命题,“¬
q”是假命题,故①②③④都正确.
关于x的函数y=2x2+ax+4在[3,+∞)上是增函数.若p∨q是真命题,则实数a的取值范围是________.
【解析】 若命题p是真命题,则Δ=a2-16≥0,即a≤-4或a≥4;
若命题q是真命题,则-
≤3,即a≥-12.因为p或q是真命题,所以a∈R,即a的取值范围是(-∞,+∞).
【答案】 (-∞,+∞)
[解]
(1)因为p∧q为真,所以p和q均为真,
所以a的取值范围是[-12,-4]∪[4,+∞).
(2)由p∨q是真命题,p∧q是假命题知,命题p和q一真一假.若p真q假,则a<
-12;
若p假q真,则-4<
a<
4.故a的取值范围是(-∞,-12)∪(-4,4).
(3)因为¬
p为真命题,所以p为假命题,
故Δ=a2-16<
0,即-4<
4.
即实数a的取值范围是(-4,4).
∀x∈R,x2+mx+1>0,若p∨q为假命题,则实数m的取值范围为( )
A.m≥2 B.m≤-2
C.m≤-2或m≥2D.-2≤m≤2
A [解析]依题意知p,q均为假命题,当p是假命题时,mx2+1>0恒成立,则有m≥0;
当q是真命题时,则有Δ=m2-4<0,-2<m<2.
因此由p,q均为假命题得
即m≥2.
[学生用书P13])
【解】 因为函数y=cx在R上单调递减,
所以0<
c<
1,即p:
0<
1.
因为c>
0且c≠1,
所以¬
c>
又因为f(x)=x2-2cx+1在
上为增函数,
所以c≤
,即q:
c≤
.
且c≠1.
又因为“p或q”为真,“p且q”为假,
所以p真q假或p假q真.
①当p真,q假时,
{c|0<
1}∩
=
②当p假,q真时,
{c|c>
=∅.
综上所述,实数c的取值范围是
解答本题时运用了分类讨论思想,由条件可知p、q一真一假,因此需分p真q假与p假q真两类讨论,分别求解,最后将解合并,实质上,分类讨论是“化整为零,各个击破,再积零为整”的解题策略.
广州海珠区摸底考试)命题p:
A.(0,4] B.[0,4]
C.(-∞,0]∪[4,+∞)D.(-∞,0)∪(4,+∞)
∀x∈R,ax2+ax+1≥0,所以命题¬
∃x0∈R,ax
+ax0+1<
0,则a<
0或
解得a<
0或a>
[学生用书P301(独立成册)])
1.(2017·
辽宁东北育才学校模拟)已知命题p:
A.∀x∈R,ex-x-1<
B.∃x0∈R,ex0-x0-1≤0
C.∃x0∈R,ex0-x0-1<
D.∀x∈R,ex-x-1≤0
B [解析]因为全称命题的否定是特称命题,所以命题p:
∃x0∈R,ex0-x0-1≤0.故选B.
-2x0+1≥0
B.∃x0∈R,x
C.∀x∈R,x2-2x+1≥0
D.∀x∈R,x2-2x+1<
C [解析]原命题是特称命题,“∃”的否定是“∀”,“<
”的否定是“≥”,因此该命题的否定是“∀x∈R,x2-2x+1≥0”.
A.∃x0∈A,x0∉B B.∀x∈A,x∈B
C.∀x∈B,x∉AD.∀x∈B,x∈A
B [解析]根据集合之间的关系以及全称、特称命题的含义可得B正确.
A.锐角三角形有一个内角是钝角
B.至少有一个实数x,使x2≤0
C.两个无理数的和必是无理数
D.存在一个负数x,
B [解析]A中锐角三角形的内角都是锐角,所以A是假命题;
B中当x=0时,x2=0,满足x2≤0,所以B既是特称命题又是真命题;
C中因为
+(-
)=0不是无理数,所以C是假命题;
D中对于任意一个负数x,都有
0,不满足
2,所以D是假命题.
A.∃x0∈R,lgx0=0
B.∃x0∈R,tanx0=
C.∀x∈R,x3>
D.∀x∈R,2x>
C [解析]当x=1时,lgx=0,故命题“∃x0∈R,lgx0=0”是真命题;
当x=
时,tanx=
,故命题“∃x0∈R,tanx0=
”是真命题;
由于x=-1时,x3<
0,故命题“∀x∈R,x3>
0”是假命题;
根据指数函数的性质,对∀x∈R,2x>
0,故命题“∀x∈R,2x>
0”是真命题.
6.(2017·
西安质量检测)已知命题p:
∀x∈R,log2(3x+1)≤0
B.p是假命题;
D.p是真命题;
B [解析]因为3x>
0,所以3x+1>
1,则log2(3x+1)>
0,所以p是假命题;
0.故选B.
命
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