七下73探索轴对称的性质P2轴对称的性质解答 1Word文档格式.docx

七下73探索轴对称的性质P2轴对称的性质解答 1Word文档格式.docx

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对称轴条数

根据上表，可以猜想得到：

一个正n边形有对称轴　_________　条．

9．在台球桌矩形，ABCD上，放有两个球P和Q，恰有∠PAB和∠QAD相等．如果打击球P使它撞在AB的M点反弹后撞到球Q，其路线记为P→M→Q；

如果打击球Q，使它撞在AD的N点反弹后撞到球P，其路线记为Q→N→P．证明：

P→M→Q与Q→N→P的路线长相等．

10．如图，△ABC和△A′B′C′关于直线l对称，求证：

△ABC≌△A′B′C′．若△ABC≌△A′B′C′，那么△ABC和△A′B′C′一定关于某条直线l对称吗？

若一定请给出证明，若不一定请画出反例图．

11．小明同学学习了对称后，忽然想起了过去做过一道题：

有一组数排列成方阵，如图，试计算这组数的和．小明想方阵就像正方形，正方形是轴对称图形，能不能用轴对称的思想来解决方阵的计算问题呢？

小明试了试，竟得到非常巧妙的方法，你也能试试看吗？

12．如图所示，AB=AC，D是BC的中点，DE=DF，BC∥EF，这个图形是轴对称图形吗？

13．如图所示，已知AB=AC，DB=DC，E是AD延长线上的一点，问：

BE与CE相等吗？

请说明理由．

14．如图所示．AD为△ABC的角平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．

求证：

E，F关于AD对称．

15．如图，△ABC和△A′B′C′关于直线m对称．

（1）结合图形指出对称点．

（2）连接A、A′，直线m与线段AA′有什么关系？

（3）延长线段AC与A′C′，它们的交点与直线m有怎样的关系？

其它对应线段（或其延长线）的交点呢？

你发现了什么规律，请叙述出来与同伴交流．

16．如图所示，两个三角形关于某条直线成轴对称，则x=　_________　°

．

17．如图，在△ABC中，∠ABC=45°

，点D在边BC上，∠ADC=60°

，且BD=

CD．将△ACD以直线AD为轴做轴对称变换，得到△AC′D，连接BC′

（Ⅰ）求证：

BC′⊥BC；

（Ⅱ）求∠C的大小．

参考答案与试题解析

考点：

轴对称的性质．3824674

专题：

探究型．

分析：

（1）根据轴对称的性质可做出判断和说明．

（2）关于AM对称的边和角都分别相等．

解答：

解：

（1）正确．AM是对称轴，B的对称点C；

沿AM折叠，AB、AC重合．

（2）AB=AC，AD=AE，BD=CE，DM=EM；

∠B=∠C等

理由：

对应边相等，对应角相等．

点评：

本题考查轴对称的性质，注意对应边相等，对应角相等性质的运用．

根据轴对称的性质把△OEF的转化为MN的长度，根据题意即能得出△OEF的周长．

根据轴对称的性质得：

OE=EM，OF=FN

△OEF的=OE+OF+EF=ME+EF+FN=MN=5cm

∴△OEF的周长为5cm．

本题考查轴对称的性质，属于基础题，注意数形结合的运用．

证明题．

作出关于AD对称的图形，借助轴对称的性质，得到BD=DE，借助∠B=2∠C，得到AE=EC．根据题意有CD=DE+EC，将等量关系代入可得CD=DE+EC=AB+BD．

证明：

在CD上取一点E使DE=BD，连接AE．

∵BD=DE，且∠AED为△AEC的外角，∠B=2∠C，

∴∠B=∠AED=∠C+∠EAC=2∠C，

∴∠EAC=∠C，

∴AE=EC；

则CD=DE+EC=AB+BD．

本题考查轴对称的性质与运用．对应点的连线与对称轴的位置关系是互相垂直，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，对应的角、线段都相等．

把两矩形简化为两线段，根据轴对称的性质，可把两尺子重合．

能．

至少变换两次，为叙述方便，把两尺缩为两相等线段AB，CD

（1）连BD，以BD的中垂线l1为轴将CD对称变换至C′B

（2）以∠ABC′的平分线l2为轴将C′B对称边变换至AB即重合．

示意图如下：

本题考查轴对称的性质，有一定难度，要注意解答的严密性．

阅读型．

第一个图形中阴影部分的面积通过割补法可知，S阴影=

S正方形=100÷

2=50；

第二个图形可以分开来看，4个小的黑弧形的面积相等，一个小黑弧形的面积=四分之一个圆的面积减去一个等腰三角形的面积．圆的R=5，所以S阴影=（

﹣

）×

4=25π﹣50．

（1）S阴影=

（2）S阴影=（

此题考查轴对称的基本性质，注意：

对称轴垂直平分对应点的连线，对应角相等，对应边相等．解题的关键是要通过分析找到阴影部分的面积和已知正方形或扇形的面积之间的关系．

6．如图，OE是∠AOB的平分线，BD⊥OA于D，AC⊥BO于C，则关于直线OE对称的三角形有　4　对．

计算题．

根据角平分线定理得到ED=EC，易证Rt△ODE≌△Rt△OCE，Rt△EDA≌Rt△ECB，得到OD=OC，AD=BC，EA=EB，可证出△OAE≌△OBE，△OAC≌△OBD，然后根据轴对称的性质可得到△ODE、△EDA、△OAE、△OAC关于直线OE对称的图形为△OCE、△ECB、△OBE、△OBD．

∵OE是∠AOB的平分线，BD⊥OA于D，AC⊥BO于C，

∴ED=EC，

∴Rt△ODE≌△Rt△OCE，Rt△EDA≌Rt△ECB，

∴OD=OC，AD=BC，EA=EB，

∴△OAE≌△OBE，△OAC≌△OBD，

∴△ODE、△EDA、△OAE、△OAC沿直线OE对折后分别与△OCE、△ECB、△OBE、△OBD重合．

故答案为4．

本题考查了轴对称的性质：

关于某直线对称的两图象全等，即对应角相等，对应线段相等；

对应点的连线段被对称轴垂直平分．

轴对称的性质；

等边三角形的判定与性质．3824674

连OQ，由点P关于直线OB的对称点是Q，根据轴对称的性质得到OB垂直平分PQ，则∠POB=∠QOB=30°

，OP=OQ，得到△POQ为等边三角形，根据等边三角形的性质得PQ=PO=2．

如图，连OQ，

∵点P关于直线OB的对称点是Q，

∴OB垂直平分PQ，

∴∠POB=∠QOB=30°

，OP=OQ，

∴∠POQ=60°

，

∴△POQ为等边三角形，

∴PQ=PO=2．

对应点的连线段被对称轴垂直平分．也考查了等边三角形的判定与性质．

一个正n边形有对称轴　n　条．

规律型：

图形的变化类．3824674

先画出各图形的对称轴，数出各图形对称轴的条数填入表格，总结出规律即可．

如图所示：

一个正n边形有对称轴n条．

本题考查的是轴对称的性质，根据轴对称的性质作出各图形的对称轴是解答此题的关键．

全等三角形的判定与性质．3824674

作点P关于AB的对称点P1，连接P1Q交AB于点M，连接PM，作点Q关于AD的对称点Q1，连接PQ1交AD于点N，连接QN，根据轴对称性可知，要证P→M→Q与Q→N→P的路线长相等，即证明PM+MQ=QN+NP，也就是要证P1Q=Q1P，由对称性可得P1A=PA，Q1A=QA，再证明∠P1AQ=∠PAQ1，然后利用“边角边”证明△P1AQ和△PAQ1全等，根据全等三角形对应边相等即可证明．

如图，台球P撞AB于M反弹打到Q，满足∠PMB=∠QMA，即对P的路线是作P关于BA的对称点P1，连接P1Q交BA于M点，则P→M→Q为球P的路线，

再作Q关于AD的对称点Q1连接PQ1交AD于N点，则Q→N→P为球Q的路线，

由对称性，知P1A=PA，Q1A=QA，

∠3=∠1=∠2=∠4，

PM+MQ=P1M+MQ=P1Q，

QN+NP=Q1N+NP=Q1P．

因此，要证P→M→Q与Q→N→P的路线长相等，即证明PM+MQ=QN+NP，也就是要证P1Q=Q1P，

∵∠P1AQ=∠3+∠BAQ=∠2+∠BAQ=90°

∠PAQ1=∠PAD+∠4=∠PAD+∠1=90°

∴∠P1AQ=∠PAQ1，

在△P1AQ和△PAQ1中，

∴△P1AQ≌△PAQ1（SAS），

∴P1Q=Q1P，

所以P→M→Q与Q→N→P的路线长相等．

本题考查了轴对称的性质，全等三角形的判定与性质，根据轴对称的性质作点P、Q的对称点，找出表示两条路线的长度的线段是解题的关键．

根据轴对称的性质证明即可；

根据全等的三角形不一定关于某一条直线对称作出反例图形．

∵△ABC和△A′B′C′关于直线l对称，

∴△ABC和△A′B′C′能够完全重合，

∴△ABC≌△A′B′C′．

若△ABC≌△A′B′C′，△ABC和△A′B′C′不一定一定关于某条直线l对称，如图所示．

本题考查了轴对称的性质，成轴对称既要考虑大小还要考虑位置，全等三角形只考虑能够完全重合，不考虑位置．

根据轴对称的性质，对角线两边对称位置上的两个数的和都是10，然后查出10的个数与对角线上5的个数，列式进行计算即可得解；

根据中心对称的性质，把方阵旋转180°

，得到另一方阵，加到原来方阵上得到所有数都是10的方阵，然后列式计算即可得解．

从方阵中的数看出，一条对角线上的数都是5，把这条对角线当作轴，把正方形反折一下，对称位置的两数之和都是10，

所以这样方阵中数的和=10×

（1+2+3+4）+5×

5=10×

10+25=100+25=125；

也可以把方阵绕中心旋转180°

，就得到另一方阵，再加到原来的方阵上去，就得到所有数都是10的方阵，

这一方阵的和=10×

5×

5=250，

所以原方阵中数的和=

=125．

本题考查了轴对称的性质，中心对称的性质，读懂题意，认清图形的变化是解题的关键．

根据图象，连接AD，依次说明AD是△ABC与△DEF的对称轴，再综合整个图形，可得这个图形是轴对称图形．

连接AD，

∵AB=AC，D是BC的中点，

故AD是BC的垂直平分线，

故△ABC关于AD对称，

又∵DE=DF，BC∥EF，

∴AD是EF的垂直平分线，

故△DEF关于AD对称．

综上可得：

这个图形是轴对称图形．

本题考查轴对称图形的定义与判断，如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能完全重合，这个图形就是轴对称图形．折痕所在的这条直线叫做对称轴．

推理填空题．

根据垂直平分线的定义可分别判定：

点A在线段BC的垂直平分线上，D点也在线段BC的垂直平分线上，所以可推出AD是线段BC的垂直平分线．从而求得BE=EC．

连接BC，交AE于F，

∵AB=AC，

∴点A在线段BC的垂直平分线上．

同理，D点也在线段BC的垂直平分线上．

∵两点确定一条直线，

∴AD是线段BC的垂直平分线．

∵E是AD延长线上的一点，

∴BE=EC．

本题主要考查了轴对称的性质．轴对称图形具有以下的性质：

（1）轴对称图形的两部分是全等的；

（2）对称轴是连接两个对称点的线段的垂直平分线．

直角三角形全等的判定；

角平分线的性质．3824674

先证明Rt△ADE≌Rt△ADF，再证明△AGE≌△AGF，所以AD垂直平分EF，∴E，F关于AD对称（如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称）．

证法一：

连接EF交AD于G，

∵AD平分∠BAC，

∴∠EAD=∠FAD．

在Rt△ADE和Rt△ADF中

∴Rt△ADE≌Rt△ADF（AAS）．

∴AE=AF（全等三角形对应边相等）．

∴在△AGE和△AGF中，

∴△AGE≌△AGF（SAS）．

∴∠AGE=∠AGF，EG=FG．

又∵∠AGE+∠AGF=180°

∴∠AGE=∠AGF=90°

∴AD垂直平分EF．

∴E，F关于AD对称（如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称）．

证法二：

∴AD垂直平分EF（三线合一）．

要想证明其对称，就要证明那两条线段相等，且与AD垂直．

常规题型．

根据轴对称的性质即可得出答案．

（1）对称点有A和A'

，B和B'

，C和C'

（2）连接A、A′，直线m是线段AA′的垂直平分线．

（3）延长线段AC与A′C′，它们的交点在直线m上，其它对应线段（或其延长线）的交点也在直线m上，

即若两线段关于直线m对称，且不平行，则它们的交点或它们的延长线的交点在对称轴上．

本题考查轴对称图形的定义，如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能完全重合，这个图形就是轴对称图形．折痕所在的这条直线叫做对称轴．

16．如图所示，两个三角形关于某条直线成轴对称，则x=　60　°

根据关于某条直线成轴对称的三角形的性质，即可得出这两个三角形是全等三角形，从而求出答案．

∵图中两个三角形关于某条直线成轴对称，故这两个三角形全等，

故x=180°

﹣65°

﹣55°

=60°

故答案为：

60．

本题考查了轴对称的性质，属于基础题，注意轴对称性质的熟练应用．

全等三角形的判定与性质；

等边三角形的判定与性质；

（1）首先根据折叠得到△AC′D≌△ACD，然后利用全等三角形的性质得到C′D=CD，∠ADC′=∠ADC，接着利用已知条件和等腰三角形的性质与判定即可证明题目的结论；

（2）如图，过点A分别作BC，C′D，BC′的垂线，垂足分别为E，F，G．由于∠ADC′=∠ADC，即点A在∠C′DC的平分线上，然后利用角平分线的性质得到AE=AF．而∠C'

BD=90°

，∠ABC=45°

，可以得到∠GBA=∠C'

BC﹣∠ABC=45°

，再利用角平分线的性质得到AG=AE，这样得到AG=AF，则点A在∠GC′D的平分线上，最后利用∠BC′D=30°

即可求出∠GC'

D的度数．

（Ⅰ）∵△AC'

D是△ACD以AD为轴对称变换得到的，

∴△AC′D≌△ACD．

有C′D=CD，∠ADC′=∠ADC．

∵BD=

CD，∠ADC=60°

∴BD=

C′D，∠BDC'

=180°

﹣∠ADC′﹣∠ADC=60°

取C'

D中点P，连接BP，则△BDP为等边三角形，△BC′P为等腰三角形，

有∠BC′D=

∠BPD=

∠BDC′=30°

∴∠C'

即BC′⊥BC．

（Ⅱ）解：

如图，过点A分别作BC，C'

D，BC'

的垂线，垂足分别为E，F，G．

∵∠ADC'

=∠ADC，即点A在∠C′DC的平分线上，

∴AE=AF．

∵∠C'

∴∠GBA=∠C′BC﹣∠ABC=45°

即点A在∠GBC的平分线上，

∴AG=AE．

于是，AG=AF，则点A在∠GC′D的平分线上．

又∵∠BC′D=30°

，有∠GC'

D=150°

∴∠AC′D=

∠GC′D=75°

∴∠C=∠AC′D=75°

此题分别考查了等边三角形的性质与判定、全等三角形的性质与判定及轴对称的性质，解题的关键是利用角平分线的性质与判定构造全等三角形，然后利用全等三角形的性质即可解决问题．