五年级奥数题因数与倍数Word格式文档下载.docx
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(例如:
a=12、b=300、c=300,与a=300、b=12、c=300是不同的两个
自然数组)
答案
答案:
1.56
28的因数有1,2,4,7,14,28,它们的和为
1+2+4+7+14+28=56.
2.4
因为105的因数有1,3,5,7,15,21,35,105能拼成的长方形的长与宽分别是
105和1,35和3,21与5,15与7.所以能拼成4种不同的长方形.
3.64
因为28=227,所以28的因数有6个:
1,2,4,7,14,28.在数字0,1,2,…,9中,只有6与4之积,或者8与3之积是24,又6-4=2,8-3=5.
故符合题目要求的两位数仅有64.
4.28
因为667=2329,所以这班师生每人种的棵数只能是667的因
数:
1,23,29,667.显然每人种667棵是不可能的.
当每人种29棵树时,全班人数应是23-1=22,但22不能被4整除不可能.
当每人种23棵树时,全班人数应是29-仁28,且28恰好是4的倍数,符合题目要求.
当每人种1棵树时,全班人数应是667-仁666,但666不能被4整除,不可能.
所以,一班共有28名学生.
5.40或20
两个自然数的和是50,最大公因数是5,这两个自然数可能是5和45,15和
35,它们的差分别为(45-5=)40,(35-15=)20,所以应填40或20.
[注]这里的关键是依最大公因数是5的条件,将50分拆为两数之和:
50=5+45=15+35.
6.36,1,3.
要把梨36个、桔子108个分给若干个小朋友,要求每人所得的梨数、桔子相等,小朋友的人数一定是36的因数,又要是108的因数,即一定是36和108的公因数.因为要求最多可分给多少个小朋友,可知小朋友的人数是36和108的最大公因数.36和108的最大公因数是36,也就是可分给36个小朋友.
每个小朋友可分得梨:
3636=1(只)
每个小朋友可分得桔子:
10836=3(只)
所以,最多可分得36个小朋友,每个小朋友可分得梨1只,桔子3只.
7.56
剪出的正方形布片的边长能分别整除长方形的长48厘米及宽42厘米,所以它是48与42的公因数,题目又要求剪出的正方形最大,故正方形的边长是48与42的最大公因数.
因为48=22223,42=237,所以48与42的最大公因数是6.这样,
最大正方形的边长是6厘米.由此可按如下方法来剪:
长边每排剪8块,宽边可剪7块,共可剪(486)(426)=87=56(块)正方形布片.
8.200
根据没有余料的条件可知长、宽和高分别能被正方体的棱长整除,即正方体
的棱长是180,45和18的公因数.为了使正方体木块尽可能大,正方体的棱长应是180、45和18的最大公因数.180,45和18的最大公因数是9,所以正方体的棱长是9厘米.这样,长180厘米可公成20段,宽45厘米可分成5段,高18厘米可分成2段.这根木料共分割成(1809)(459)(189)=200块棱长是9厘米的
正方体.
9.150
根据3与5的最小公倍数是15,张老师傅以5元钱买进15个苹果,又以6元钱卖出15个苹果,这样,他15个苹果进与出获利1元.所以他获利10元必须卖出150个苹果.
10.16
含有6个因数的数,它的质因数有以下两种情况:
一是有5个相同的质因数连乘;
二是有两个不同的质因数其中一个需连乘两次,如果用M表示含有6个因数的数,用a和b表示M的质因数,那么
Ma5或Ma2b
因为M是两位数,所以M=a5只有一种可能M=25,而M=a2b就有以
下15种情况:
M
22
3,M
5,M
7,
11,M
13,M
17,
19,M
23,M
322,
32
7,M
11,
52
2,M
72
2.
所以,含有6个因数的两位数共有
15+1=16(个)
11.三个数都不是质数,至少是两个质数的乘积,两两之间的最大公因数只
能分别是2,3和5,这种自然数有6,10,15和12,10,15及18,10,15三组.
12.四个数的最大公因数必须能整除这四个数的和,也就是说它们的最大公因数应该是1111的因数.将1111作质因数分解,得
1111=11101
最大公因数不可能是1111,其次最大可能数是101.若为101,则将这四个数分别除以101,所得商的和应为11.现有
1+2+3+5=11,
即存在着下面四个数
101,1012,1013,1015,
它们的和恰好是
101(1+2+3+5)=10111=1111,
它们的最大公因数为101.
所以101为所求.
3399
13.黄鼠狼掉进陷井时已跳的行程应该是2-与12-的“最小公倍数”99,
484
991113
即跳了99口=9次掉进陷井,狐狸掉进陷井时已跳的行程应该是4丄和123的
4428
99999
“最小公倍数”99,即跳了99-=11次掉进陷井.
222
1
经过比较可知,黄鼠狼先掉进陷井,这时狐狸已跳的行程是4丄9=40.5(米).
14.先将12、300分别进行质因数分解:
12=223
300=22352
(1)确定a的值依题意a只能取12或125(=60)或1225(=300).
(2)确定b的值.
当a=12时,b可取12,或125,或1225;
当a=60,300时,b都只能取12.
a=300
所以,满足条件的a、b共有5组:
b=12,b=60,b=300,b=12,b=12.
(3)确定a,b,c的组数.
对于上面a、b的每种取值,依题意,c均有6个不同的值:
52,522,5222,523,5223,52223,即25,50,100,75,
150,300.
所以满足条件的自然数a、b、c共有56=30(组)
因数与倍数相关习题
(2)
1.把20个梨和25个苹果平均分给小朋友,分完后梨剩下2个,而苹果还
缺2个,一共有小朋友.
2.幼儿园有糖115颗、饼干148块、桔子74个,平均分给大班小朋友;
结果糖多出7颗,饼干多出4块,桔子多出2个.这个大班的小朋友最多有人.
3.用长16厘米、宽14厘米的长方形木板来拼成一个正方形,最少需要用
这样的木板块.
4.用长是9厘米、宽是6厘米、高是7厘米的长方体木块叠成一个正方体,
至少需要这种长方体木块块.
5.一个公共汽车站,发出五路车,这五路车分别为每隔3、5、9、15、10分
钟发一次,第一次同时发车以后,钟又同时发第二次车•
6.动物园的饲养员给三群猴子分花生,如只分给第一群,则每只猴子可得12
粒;
如只分给第二群,则每只猴子可得15粒;
如只分给第三群,则每只猴子可得20粒.那么平均给三群猴子,每只可得粒.
7.这样的自然数是有的:
它加1是2的倍数,加2是3的倍数,加3是4的倍
数加4是5的倍数,加5是6的倍数加6是7的倍数,在这种自然数中除了1以外最小的是.
8.能被3、7、8、11四个数同时整除的最大六位数是.
9.把26,33,34,35,63,85,91,143分成若干组,要求每一组中任意两个数的最
大公因数是1,那么至少要分成组.
10.210与330的最小公倍数是最大公因数的倍.
二、解答题
11•公共汽车总站有三条线路,第一条每8分钟发一辆车,第二条每10分钟发一辆车,第三条每16分钟发一辆车,早上6:
00三条路线同时发出第一辆车•该总站发出最后一辆车是20:
00,求该总站最后一次三辆车同时发出的时刻.
12.甲乙两数的最小公倍数除以它们的最大公因数,商是12.如果甲乙两数
的差是18,则甲数是多少?
乙数是多少?
5151
13.用—、兰、1丄分别去除某一个分数,所得的商都是整数•这个分数最
285620
小是几?
14.有15位同学,每位同学都有编号,他们是1号到15号,1号同学写了一个自然数,2号说:
“这个数能被2整除”3号说:
“这个数能被他的编号数整除.1号作了检验:
只有编号连续的二位同学说得不对,其余同学都对,问:
(1)说的不对的两位同学,他们的编号是哪两个连续自然数?
(2)如果告诉你,1号写的数是五位数,请找出这个数.
1.9
若梨减少2个,则有20-2=18(个);
若将苹果增加2个,则有25+2=27(个),这
样都被小朋友刚巧分完•由此可知小朋友人数是18与27的最大公因数.所以最多
有9个小朋友.
2.36
根据题意不难看出,这个大班小朋友的人数是
115-7=108,148-4=144,74-2=72的最大公因数.
所以,这个大班的小朋友最多有36人.
3.56
所铺成正方形的木板它的边长必定是长方形木板长和宽的倍数,也就是长方
形木板的长和宽的公倍数,又要求最少需要多少块,所以正方形木板的边长应是14与16的最小公倍数.
先求14与16的最小公倍数.
21614
故14与16的最小公倍数是287=112.
因为正方形的边长最小为112厘米,所以最少需要用这样的木板
8=56(块)
112112「=7
1614
4.5292
与上题类似,依题意,正方体的棱长应是9,6,7的最小公倍数,9,6,7的最小公倍数是126.所以,至少需要这种长方体木块
126126126
967
=142118=5292(块)
[注]上述两题都是利用最小公倍数的概念进行“拼图”的问题,前一题是平面图形,
后一题是立体图形,思考方式相同,后者可看作是前者的推广•将平面问题推广为空间问题
是数学家喜欢的研究问题的方式之一•希望引起小朋友们注意•
5.90
依题意知,从第一次同时发车到第二次同时发车的时间是3,5,9,15和10的最
小公倍数.
因为3,5,9,15和10的最小公倍数是90,所以从第一次同时发车后90分钟又同时发第二次车.
6.5
依题意得
花生总粒数=12第一群猴子只数
=15第二群猴子只数
=20第三群猴子只数
由此可知,花生总粒数是12,15,20的公倍数,其最小公倍数是60.花生总粒数是60,120,180,……,那么
第一群猴子只数是5,10,15,……
第二群猴子只数是4,8,12,……
第三群猴子只数是3,6,9,……
所以,三群猴子的总只数是12,24,36,…….因此,平均分给三群猴子,每只猴子所得花生粒数总是5粒.
7.421
依题意知,这个数比2、3、4、5、6、7的最小公倍数大1,2、3、4、5、6、7的最小公倍数是420,所以这个数是421.
8.999768
由题意知,最大的六位数是3,7,8,11的公倍数,而3,7,8,11的最小公倍数是1848.
因为9999991848=541••…231,由商数和余数可知符合条件的最大六位
数是1848的541倍,或者是999999与231的差.所以符合条件的六位数是999999-23仁999768.
9.3
根据题目要求,有相同质因数的数不能分在一
组,26=213,91=713,143=1113,所以,所分组数不会小于3.下面给出一种分
组方案:
(1)26,33,35;
(2)34,91;
(3)63,85,143.
因此,至少要分成3组.
[注]所求组数不一定等于出现次数最多的质因数的出现次数,如15=35,2仁37,
35=57,3,5,7各出现两次,而这三个数必须分成三组,而不是两组
除了上述分法之外,还有多种分组法,下面再给出三种:
(1)26,35;
33,85,91;
34,63,143.
⑵85,143,63;
26,33,35;
34,91.
(3)26,85,63;
91,34,33;
143,35.
10.77
根据“甲乙的最小公倍数甲乙的最大公因数=甲数乙数”将210330
分解质因数,再进行组合有
210330=235723511
=223252711
=(235)(235711)
因此,它们的最小公倍数是最大公因数的71仁77(倍).
11.根据题意,先求出8,10,16的最小公倍数是80,即从第一次三车同时发出后,每隔80分钟又同时发车.
从早上6:
00至20:
00共14小时,求出其中包含多少个80分钟.
601480=10…40分钟
由此可知,20:
00前40分钟,即19:
20为最后一次三车同时发车的时刻.
12.甲乙两数分别除以它们的最大公因数,所得的两个商是互质数.而这两
个互质数的乘积,恰好是甲乙两数的最小公倍数除以它们的最大公因数所得的商
——12.这一结论的根据是:
(我们以“约”代表两数的最大公因数,以“倍”代表两数的最小公倍数)
甲数乙数=倍约
甲数乙数倍约比
甲数
乙数二倍药=约,
乙数
=12
约约约约,所
将12变成互质的两个数的乘积:
①12=43,②12=112
先看①,说明甲乙两数:
一个是它们最大公因数的4倍,一个是它们最大公
因数的3倍.
甲乙两数的差除以上述互质的两数(即4和3)之差,所得的商,即甲乙两数的最大公因数.
18(4-3)=18甲乙两数,一个是:
183=54,另一个是:
184=72.再看②,18(12-1)=1—,不符合题意,舍去.
11
13.依题意,设所求最小分数为M,则
N
5
15u
M彳
=a
=b
=c
28
56
20
56-
即
15
21
其中a,b,c为整数.
因为M是最小值且a,b,c是整数所以M是5,15,21的最小公倍数,N是N
M1051
28,56,20的最大公因数,因此,符合条件的最小分数:
M=^=26-
N44
14.
(1)根据2号~15号同学所述结论将合数4,6,…,15分解质因数后,
由1号同学验证结果,进行分析推理得出问题的结论.
4=22,6=23,8=23,9=32,10=25,12=223,14=27,15=35
由此不难断定说得不对的两个同学的编号是8与9两个连续自然数(可逐次
排除,只有8与9满足要求).
(2)1号同学所写的自然数能被2,3,4,5,6,7,10,11,12,13,14,15这12个数整
除,也就是它们的公倍数.它们的最小公倍数是
223571113=60060
因为60060是一位五位数,而这12个数的其他公倍数均不是五位数,所以1号同学写的五位数是60060.
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