24第20章非线性动力分析李永双Word下载.docx
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图20-1时程工况定义对话框如果需要定义的是非线性时程分析,首先需要在分析类型选项中选择非线性分析类型。
与线性时程分析相同,需要选择时程分析的类型,关于时程类型在线性时程分析已经进行了全面的阐述,其意义与线性时程分析相同,因此本章就不再进行赘述了。
当选择为直接积分时,可以为该工况定义初始条件,初始条件的意义在线性时程分析中已经阐述,并且该节中也描述了在初始条件的定义中需要注意的问题。
20.1.3积分方式和阻尼设置积分方式和阻尼设置非线性动力分析中结构某些单元的属性随时间的变化可能是非线性的,或结构某一方面效应随时间的变化是非线性的,但是对于每一时刻结构系统的经典力学平衡方程仍然是成立的,因此传统的非线性求解方法仍然是通过每一个时程积分时刻的平衡方程进行求解的。
与线性相同,非线性时程分析对于每一时刻的平衡方程的积分方式仍然分为两大类模态积分和直接积分。
对于直接积分方式,非线性时程分析所常用的积分方式与线性分析是相同的,这在本书的第十三章线性动力分析中已经给出了,本章不在重复叙述。
对于模态积分方法,SAP2000程序采用了一种新的求解方法FastNonlinearAnalysisMethod(快速非线性分析法),本章下一节将对这种方法进行介绍。
非线性时程分析工况中对于不同的时程类型也需要进行相关的阻尼设置,这一点仍然与线性时程分析定义方式相同,相关内容可以参见第十三章。
但是如果在结构中考虑非线性连接单元时,程序将允许单独定义非线性连接单元的阻尼属性,这些阻尼属性有时是随着时间发生非线性变化的,SAP2000程序将同时考虑结构非线性连接单元的阻尼属性和非线性时程工况阻尼属性,综合计算结构在动力分析中的阻尼效应。
在非线性时程分析过程中,当选择时程类型为直接积分时,需要考虑并选择时程积分的方式。
在非线性时程分析中时间积分方式可以选择的方式及其意义与线性时程分析相同,相关内容可以参见第十三章。
值得一提的是,对于非常大的结构系统,把振型叠加和增量法结合起来对于具有少量非线性构件的系统是很有效的。
SAP2000程序的新版本中已经加入了这种方法。
20.1.4SAP2000非线性类型非线性类型在使用SAP2000进行非线性时程分析之前还需要明确一个概念,即程序中可以考虑结构非线性属性的范围,目前SAP2000程序可以考虑的非线性属性可以根据性质分为四个类型:
几何非线性、材料非线性、边界非线性和连接单元的非线性,这些类型也基本涵盖了结构分析所需要考虑的几种非线性类型。
但是需要注意,并不是所有非线性时程分析类型都可以考虑这些非线性类型,不同的时程类型所能够考虑的非线性的类型是不一样的,这一点在后面的内容中会进一步说明。
几何非线性主要是指P-效应、几何大变形分析等与结构几何性质相关的非线性。
传统意义上的线性静力和动力分析都是以结构小变形假设为基础的,这对于一般结构体系是适用的,但是对于大跨度或柔性结构体系一般就不适用了。
几何非线性主要任务是在这一假设与实际结构相差比较大的情况下,考虑真实大变形的情况。
材料非线性主要是指构成建筑结构材料属性所带来的结构非线性,对于建筑结构常用的钢材和混凝土材料,其应力-应变在一定应力范围内表现基本是线性的,这是我们常规结构分析和设计的基础,而当应力超过这一范围后则会表现出很强的非线性属性,因此结构材料承载力特性总体上就会表现为非线性属性,结构材料的非线性还包括有些时候在结构分析中考虑的单拉或单压结构材料单元。
边界非线性指的是边界接触问题,比如常见的缝隙问题和边界连接问题,可以使用SAP2000的缝隙单元或钩单元来实现。
连接单元的非线性主要是指结构设计中考虑附加的阻尼器和隔振器等装置的非线性属性,这类结构单元不仅表现为非线性的属性,而且还可以通过滞回曲线的定义考虑单元往复加载过程中的塑性发展和能量耗损特性。
需要说明的是,对于材料非线性的考虑和实现,SAP2000目前仅限于框架单元(梁、柱及支撑),并没有给出面单元(比如剪力墙)以及实体单元的塑性破坏模型。
此外,对于框架单元的材料非线性是体现在塑性铰属性的,也就是当单元截面内力大于该截面的承载力极限时,该截面将会卸载直至表现为铰接的形式,这一内容将在后面相关的小节中进行讨论。
对于单拉、单压,包括索单元的单拉属性,是需要在框架属性定义中进行相关定义并进行考虑的。
在一定的单元范围内,SAP2000对于这四个类型的非线性都能够考虑,而且均能够在非线时程分析中进行考虑。
但是对于模态积分和直接积分两种积分方式的非线性分析所能够考虑的非线性属性是不一样的。
当使用模态积分非线性时,只能考虑结构中边界及连接单元的非线性,包括缝、钩、弹簧非线性连接单元和阻尼器隔振器等非线性连接单元。
而当使用直接积分非线性分析时,可以考虑全部四种类型非线性形式。
当选择模态积分类型非线性时程分析工况时,程序将默认选择考虑非线性连接单元的非线性,而且这一选择是不能够进行自定义修改的。
当选择直接积分类型非线性时程分析时,程序将默认选择考虑所有材料非线性和连接单元非线性,并且也是不能够进行修改,但是对于P-效应和几何大位移的几何非线性,工程师可以进行选择考虑或不考虑,程序默认是不进行考虑的。
此外需要注意,在两种积分方式中,非线性属性列表中时间相关的材料属性始终不会被选中,由于这一内容涉及到施工阶段混凝土材料属性龄期相关的非线性变化,而这一点在时程分析中是没有意义的,因此非线性时程分析不考虑这一属性。
这一属性在另一种非线性静力分析施工顺序加载分析中进行考虑的,也仅在这一分析工况中才考虑。
20.2快速非线性分析(快速非线性分析(FNA)方法)方法传统非线性模态积分求解方法是在每个荷载增量时形成完全的平衡方程并进行求解,也就是我们所说的“蛮力方法”(“bruteforcemethod”)。
这种方法每个时间步长对全部结构系统重新形成刚度矩阵,并在每个时间增量内要求通过迭代来满足平衡要求,因此即使是规模不大的结构也需要耗费大量的时间来计算。
SAP2000程序,以及CSI公司推出的另外一套针对于建筑结构有限元分析和设计软件ETABS没有采用“蛮力方法”进行非线性分析,而是使用了一种新的非线性分析方法FastNonlinearAnalysisMethod(快速非线性分析法),简称FNA方法。
本节的主要内容是对FNA法进行较为全面的介绍,这一新的方法的主要优势在于运算速度,一般情况下,它可以比传统的方法快几个数量级。
下面我们就从基本平衡方程出发,对FNA法进行简要的介绍,相关内容也可以从Wilson所著的其它程序理论书籍中查阅。
20.2.1基本平衡方程基本平衡方程虽然解决的是非线性问题,但是对于每一时刻基本力学方程,包括平衡、力-变形和协调性等要求,FNA法也是满足的。
在t时刻,结构计算模型精确的力平衡由下列矩阵方程表示:
(20.1)对于方程(20.1),我们可以看出其与结构二阶线性微分方程组(11.2)是很相似的,不同之处,引入了RNL(t)项,该项是来源于非线性单元力总和的整体节点力向量,是通过在每个时间点上的迭代计算出来的。
除此之外,需要指出的是方程中K为弹性刚度矩阵,因此它忽略了非线性单元的刚度。
对于添加了非线性连接单元的模型,一般情况下也是需要作一定的线性分析的。
在作线性分析时,非线性单元的属性将被忽略,这时结构模型可能是不稳定的,因此考虑这一情况,可在非线性单元的位置添加任意刚度的“有效弹性单元”,来考虑非线性单元在线性分析工况中的属性。
如果在方程(20.1)的两边加上这些有效力Keu(t),精确的平衡方程可写为:
(20.2)其中Ke是任意值的有效刚度。
方程(20.2)可以改写为下列形式:
(20.3)弹性刚度矩阵等于,并且是已知的。
有效外部荷载等于R(t)-R(t)NL+Keu(t),必须以迭代方式计算。
如果对有效弹性刚度进行较好的估计,收敛速度就可能会加速,这是因为未知的荷载项-R(t)NL+Keu(t)很小。
在任何时刻,非线性单元内的L个非线性变形d(t)可从下面的位移变换方程计算出来,并且可以推导出非线性变形中与时间相关的变化率:
(20.4)如果所有非线性单元中的时程变形和速度是已知的,在任何时刻非线性单元的非线性力f(t)可由每个非线性单元的非线性材料属性精确地计算出来。
并且非线性力只能通过在每个时间点上的迭代来完成。
20.2.2非线性模态方程的形成非线性模态方程的形成与线性二阶微分方程的求解类似,求解方程(20.3)的第一步是要计算一组N个正交荷载相关的Ritz向量,使其满足下列两个方程:
(20.5)其中I为单位矩阵,而2为对角矩阵,在该对角矩阵中,对角项被定义为2m。
系统的响应现在可以通过引入下面的矩阵变换用向量来表示:
(20.6)把这些方程代入方程式(20.1)并在方程式两边同乘以T,这将产生一组可由下面矩阵方程表示的N个非耦合方程:
(20.7)其中线性和非线性模态力由下式得出:
(20.8)阻尼矩阵可对角化的假设是和线性微分方程振型叠加法是一致的,矩阵的对角项为2mm,其中m是振型n的阻尼比。
在结构中的任何位置上与集中阻尼器相关的力可作为非线性力向量的一部分。
与线性振型叠加法相似,在这里也可以考虑与荷载相关的LDR方法,如果所用的LDR向量数等于自由度Nd的总数,方程(20.7)在时间t处就是精确的。
因此,如果使用非常小的时间步长并在每个时间步长中都使用迭代,此方法会收敛到精确解。
LDR向量的使用可明显减少所需的振型数量。
因为u(t)=Y(t),非线性单元中的变形可按模态坐标直接表示为:
(20.9)其中单元变形模态坐标变换矩阵由下式定义:
(20.10)在任何时刻,只要给出了非线性单元的变形与行为历史,可根据基本的非线性属性以及单元的变形历史来计算非线性单元中的力f(t)。
根据虚功基本原理,非线性模态力由下式计算:
(20.11)有效弹性力也可重写成:
(20.12)其中ke是局部非线性单元参考系的有效线性刚度矩阵。
20.2.3非线性模态方程的求解非线性模态方程的求解在求解模态方程之前,第一个步骤需要计算无非线性单元结构的荷载相关向量(LoadDependentVectors)。
在开始逐步求解之前,对变形-振型变换矩阵B也同样只需计算一次。
一个典型的模态方程是:
(20.13)其中是模态荷载,并且对于非线性单元而言,它是在同一时间点上的所有其他模态响应的函数。
因此,模态方程组必须同时积分,而且需要通过迭代以获得在时间t处的所有模态方程的解。
根据有关微分方程任意荷载解的求解办法,可以在较小时间增量内使用多项式近似出来荷载的近似解:
(20.14)在方程(20.13)的基础上,方程(20.15)总结了在某一时间步长中对荷载线性或三次变量的模态方程的精确解,并以指数、平方根、正弦和余弦函数表示。
(20.15)根据微分方程的基本理论,并进行一定的公式推导,可以得到如下方程(20.16):
(20.16)方程(20.16)用矩阵形式表示为:
(20.17)结合方程(20.15),我们就得到了如下公式(20.18)精确解表达形式,并且它同时也是一个强大的递归关系。
(20.18)SAP2000使用了精确分段多项式求解算法,并基于公式(20.18)所给出的递归关系,可以以更快的速度完成微分平衡方程的求解。
对于非线性单元而言,是在同一时间点上的所有其他模态响应的函数。
以上模态方程求解的分段积分法允许较大的时间步长。
20.2.4FNA法小结及应用法小结及应用快速非线性分析(FNA)方法是一种非线性分析的有效方法,在这种方法中,非线性被作为外部荷载处理,形成考虑非线性荷载并进行修正的模态方程。
该模态方程与结构线性模态方程相似,因此可以对模态方程进行类似于线性振型分解处理。
然后基于泰勒级数对解的近似表示,使用精确分段多项式积分对模态方程进行迭代求解。
最后基于前面分析所得到的非线性单元的变形和速度历史计算非线性力向量,并形成模态力向量,形成下一步迭代新的模态方程并求解。
以上就是SAP2000程序中FNA法的基本思路和步骤,由于本书篇幅所限,SAP2000所使用的FNA法的算法参见软件其它资料。
FNA方法是简单而又非常有效的方法,特别是FNA方法与LDR结合使用,可以产生一组LDR向量以精确捕捉这些力的效应。
在FNA方法中,通过对于一个较小时间步长中力的线性变化处理,可以精确求解简化的模态方程组,并且没有引入数值阻尼和使用较大时间步长的积分误差。
使用FNA方法时,计算模型必须在结构上是稳定的。
因此,程序中,对于非线性连接单元,将同时被赋予非线性属性和使用有效刚度定义的线性属性,保证结构所有工况的稳定性(这一点在后面还会谈到)。
在非线性迭代求解期间,这一有效刚度单元中的力将被移到平衡方程的右边并去除。
这些虚拟或有效刚度单元不会把长周期引入基本模型中,因此会改进许多非线性结构求解的精度和收敛速度。
FNA方法可以用于非线性结构动力分析求解,同时还可以对静力荷载分析工况进行求解。
这时,只是需要将荷载通过若干步缓慢地加到定值,并添加较大的模态阻尼值以抑制结构在该静荷载作用下的震动。
最终的收敛解将处于静力平衡,并且不含有惯性力。
需要注意如果要使用此方法求解决静力问题,则有必要使用与非线性自由度有关的Ritz向量法分析,而不应使用精确特征向量法分析。
使用SAP2000可以计算带有隔振、阻尼等非线性连接单元结构的非线性分析。
在这类结构中能量的耗损比例是衡量单元效用的重要指标,SAP2000程序通过把模态阻尼和非线性单元作为时间函数来计算并绘制总输入能量、应变能量、动能、和能量的损耗。
除此之外,程序还能够计算出能量误差,用户可以评估适当的时间步长。
这些功能对于此类非线性分析是非常有用和方便的。
20.3结构动力弹塑性分析结构动力弹塑性分析抗震规范第3.6.2条规定“不规则且具有明显薄弱部位可能导致地震时严重破坏的建筑结构,应按本规范有关规定进行罕遇地震作用下的弹塑性变形分析。
”并且规定“此时,可根据结构特点采用静力弹塑性分析或弹塑性时程分析方法”。
对于静力弹塑性分析经常被称为Pushover(推覆)分析,原因是该分析主要是在一种侧向静力荷载的作用下,不断提高荷载值直至结构不同部位相继出现塑性铰而卸载导致整体抗侧倾覆的过程。
Pushover在本书中上一章中进行了详细阐述。
本小节我们主要讨论动力弹塑性分析,也就是在时程分析工况中考虑框架结构材料非线性的分析方法。
20.3.1动力弹塑性分析的应用范围动力弹塑性分析的应用范围静力弹塑性Pushover分析是一种静力分析,结构分析将主要考虑侧向荷载作用平面内的响应,并由此判断结构单元的屈服状态。
Pushover分析是从单自由度结构体系发展过来的,因此这一分析从本质上讲只考虑了结构第一振型的动力特征,这对于我们选择何种荷载竖向分布方式是没有关系的。
因此对于规则框架结构这一方法是相对比较成熟的,得到的结果一般情况下也是比较合理的。
但是对于高阶振型比较敏感的结构或结构平面布置比较复杂而产生较大偶然偏心的结构,采用静力Pushover分析的结果就不一定合适了。
因此规范规定需要“根据结构特点”来选择结构弹塑性分析方式,如果结构本身的薄弱部位不会在第一振型结构运动中反应出来,或者结构具有较大的扭转效应而没有在Pushover分析中得到反应,这时静力Pushover分析所提供的罕遇地震下弹塑性结果的可信度就会大大的降低。
那么对于这类结构我们就需要使用动力弹塑性分析方面来罕遇地震作用的位移反应。
SAP2000所提供的动力时程分析是一个全三维的有限元分析,而且能够考虑计算结构在整个地震作用过程中每一时刻的内力和变形状态,如果在时程分析过程中考虑框架单元的材料非线性(塑性铰),则非线性时程分析就可以给出结构在罕遇地震作用下构件屈服顺序,发现应力和塑性变形集中的部位给出整个结构的屈服机制,对结构概念设计提供相应调整意见,这也是进行弹塑性时程分析的意义。
20.3.2动力弹塑性分析基本过程动力弹塑性分析基本过程动力弹塑性分析的首先需要定义框架单元的塑性铰,对于钢结构和混凝土结构程序提供了常用的默认铰属性,工程师根据需要可以对于塑性铰进行自定义,关于这一部分内容与静力Pushover分析完全相同,此处就不再做重复叙述了。
定义塑性铰以后,需要将塑性铰指定给框架单元,指定方式与静力Pushover分析完全相同。
其原则是对于轴向应力铰一般指定在单元中部,对于其他类型的铰指定于单元的两端。
另外,需要指出的是,对于实际工程的弹塑性时程分析需要占用的计算资源比较大,因此建议工程师对于概念判断有可能为薄弱部位的单元指定相关塑性铰,而不要对于太多构件单元甚至全部构件指定塑性铰。
指定框架单元的塑性铰后,就可以进行弹塑性时程分析工况的定义,这类时程工况的定义与一般时程工况定义相同。
需要注意的是,如我们在前面对于程序所考虑非线性的讨论,模态积分的时程分析是不考虑结构材料非线性的,在这一类分析工况中不能够考虑框架单元的塑性铰。
因此,如果需要进行弹塑性时程分析,在工况定义过程中必须选择直接积分的时程分析类型,这时程序会默认考虑框架塑性铰属性。
在定义时程分析工况以后,就可以进行弹塑性时程分析,分析完成之后可以根据我们后面算例给出的结果查看方式进行结果查看和分析。
静力弹塑性铰的属性中卸载方式可以选择卸载整个结构、应用局部重分配和使用正割刚度重新开始三种方法,但是在动力弹塑性分析中程序将默认使用第二种卸载方法,即应用局部重分配。
只是含有铰的单元被卸载。
当一个铰在应力应变曲线的负斜率部分上,而且应用荷载引起应变反转时,程序将使用暂时的、局部的、自平衡的内部荷载以卸载此单元。
这将引起铰卸载。
在铰卸载之后,暂时的荷载被反转,传递移除的荷载到附近的单元。
这个方法模仿了局部惯性力稳定一个快速卸载单元的方式。
20.3.3动力弹塑性分析需要说明的几个问题动力弹塑性分析需要说明的几个问题在SAP2000中框架塑性铰是刚塑性的,也就是说塑性铰由刚性和塑性两个阶段组成,不存在弹性的阶段。
由于没有弹性属性,因此与我们后面将谈到的非线性连接单元不同,添加到框架对象的塑性铰对于框架单元的弹性属性没有影响,因此对于结构线性分析,比如结构的模态分析和线性动力分析不会产生影响。
由于塑性铰是刚塑性的,因此在塑性铰在屈服之前无论是卸载状态还是重新加载状态,铰内部都不会发生任何变形(体现在塑性铰发展曲线上,是沿着铰发展曲线中与Y轴线重合部分变化)。
所有的弹性变形均发生在框架单元中。
当塑性铰屈服以后,塑性铰内部将发生塑性变形,并且在卸载时沿着平行于Y轴的直线卸载。
当进行动力弹塑性分析时,由于动力荷载一般体现了一定的周期性,因此塑性铰将出现加载和卸载的往复作用,如果塑性铰在这些往复作用过程中没有达到屈服,则塑性铰不会发生任何变形,也不会产生能量的耗损作用。
当作用的幅值足够大时,塑性铰将达到屈服,而进入塑性变形状态,此后的在往复加载过程中,将沿着类似如图20-2所示的滞回曲线轨迹发展,此时塑性将产生结构的能量耗损。
为了能够判断该塑性铰所处于的塑性发展阶段,图20-3同时输出了铰曲线和塑性铰骨架曲线。
图20-2塑性铰曲线图20-3塑性铰+铰骨架曲线通过图20-3可以看出结构塑性铰经过与Y轴重合的刚性段以后进入到塑性加强段,此后迅速发生作用反转而卸载,并反向加载。
因为本算例中我们使用的是比较稳定的正弦波,因此铰的发展趋向于相对稳定的状态,仅在塑性加强段的范围内滞回变化。
这是符合理论判断的结果的。
20.3.4动力弹塑性分析算例动力弹塑性分析算例图20-4给出了动力弹塑性分析的一个算例,该结构是一个十五层的单榀框架体系,层高均为3m,对于该结构框架梁两端指定了主轴方向(M3)弯曲铰,框架柱底部指定了PMM铰。
两种塑性铰局使用了程序默认铰的属性,本例为混凝土的铰,因此使用了ATC-40相关规定铰的形式,关于这种铰的卸载曲线形式和其它属性,可以参见前面非线性静力分析相关章节内容。
图20-4算例模型及铰属性定义方式对于本算例,基于本书非线性静力分析(Pushover分析)分析方法进行了弹塑性静力分析,并基于本章的方法进行了弹塑性动力分析。
动力时程分析工况使用直接积分方法,时间积分方法使用Hiber-Hughes-Taylor方法,Alpha系数取0。
动力时程分析选择使用了某地震波,时间间隔为0.02s,峰值加速度为172.96cm/s2。
为了模拟八度罕遇地震,也就是峰值为400cm/s2的加速度作用,将时程作用比例系数设置为2.33(在cm的单位制下)。
图20-5推覆分析结构变形及塑性发展图图20-5给出了此算例静力Pushover分析的结果,图中框架出现塑性铰的颜色及意义
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