届《步步高》高考数学大一轮总复习人教新课标文科配套学案13 导数的概念及运算Word格式.docx
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f(x)=ex
f′(x)=________
f(x)=logax(a>
0,a≠1,且x>
0)
f′(x)=__________(a>
f(x)=lnx
5.导数运算法则
(1)[f(x)±
g(x)]′=__________;
(2)[f(x)g(x)]′=______________;
(3)′=______________[g(x)≠0].
6.复合函数的求导法则:
设函数u=φ(x)在点x处有导数ux′=φ′(x),函数y=f(u)在点x处的对应点u处有导数yu′=f′(u),则复合函数y=f(φ(x))在点x处有导数,且y′x=y′u·
u′x,或写作f′x(φ(x))=f′(u)φ′(x).
自我检测
1.在曲线y=x2+1的图象上取一点(1,2)及附近一点(1+Δx,2+Δy),则为( )
A.Δx++2B.Δx--2
C.Δx+2D.2+Δx-
2.设y=x2·
ex,则y′等于( )
A.x2ex+2xB.2xex
C.(2x+x2)exD.(x+x2)·
ex
3.(2010·
全国Ⅱ)若曲线y=x-在点(a,a-)处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18,则a等于( )
A.64B.32C.16D.8
4.(2011·
临汾模拟)若函数f(x)=ex+ae-x的导函数是奇函数,并且曲线y=f(x)的一条切线的斜率是,则切点的横坐标是( )
A.-B.-ln2
C.D.ln2
5.(2009·
湖北)已知函数f(x)=f′()cosx+sinx,则f()=________.
探究点一 利用导数的定义求函数的导数
例1
利用导数的定义求函数的导数:
(1)f(x)=在x=1处的导数;
(2)f(x)=.
变式迁移1 求函数y=在x0到x0+Δx之间的平均变化率,并求出其导函数.
探究点二 导数的运算
例2
求下列函数的导数:
(1)y=(1-);
(2)y=;
(3)y=xex;
(4)y=tanx.
变式迁移2 求下列函数的导数:
(1)y=x2sinx;
(2)y=3xex-2x+e;
(3)y=.
探究点三 求复合函数的导数
例3
(2011·
莆田模拟)求下列函数的导数:
(1)y=(1+sinx)2;
(3)y=ln;
(4)y=xe1-cosx.
变式迁移3 求下列函数的导数:
(1)y=;
(2)y=sin2;
(3)y=x.
探究点四 导数的几何意义
例4
已知曲线y=x3+.
(1)求曲线在点P(2,4)处的切线方程;
(2)求曲线过点P(2,4)的切线方程;
(3)求满足斜率为1的曲线的切线方程.
变式迁移4 求曲线f(x)=x3-3x2+2x过原点的切线方程.
1.准确理解曲线的切线,需注意的两个方面:
(1)直线与曲线公共点的个数不是切线的本质特征,若直线与曲线只有一个公共点,则直线不一定是曲线的切线,同样,若直线是曲线的切线,则直线也可能与曲线有两个或两个以上的公共点.
(2)曲线未必在其切线的“同侧”,如曲线y=x3在其过(0,0)点的切线y=0的两侧.
2.曲线的切线的求法:
若已知曲线过点P(x0,y0),求曲线过点P的切线则需分点P(x0,y0)是切点和不是切点两种情况求解.
(1)点P(x0,y0)是切点的切线方程为y-y0=f′(x0)(x-x0).
(2)当点P(x0,y0)不是切点时可分以下几步完成:
第一步:
设出切点坐标P′(x1,f(x1));
第二步:
写出过P′(x1,f(x1))的切线方程为y-f(x1)=f′(x1)(x-x1);
第三步:
将点P的坐标(x0,y0)代入切线方程求出x1;
第四步:
将x1的值代入方程y-f(x1)=f′(x1)(x-x1)可得过点P(x0,y0)的切线方程.
3.求函数的导数要准确地把函数分割为基本初等函数的和、差、积、商及其复合运算,再利用运算法则求导数.在求导过程中,要仔细分析函数解析式的结构特征,紧扣法则,联系基本初等函数求导公式,对于不具备求导法则结构形式的要适当变形.
(满分:
75分)
一、选择题(每小题5分,共25分)
1.已知函数f(x)=2ln(3x)+8x,则
的值为( )
A.10B.-10C.-20D.20
2.(2011·
温州调研)如图是函数f(x)=x2+ax+b的部分图象,则函数g(x)=lnx+f′(x)的零点所在的区间是( )
A.B.(1,2)
C.D.(2,3)
3.若曲线y=x4的一条切线l与直线x+4y-8=0垂直,则l的方程为( )
A.4x-y-3=0B.x+4y-5=0
C.4x-y+3=0D.x+4y+3=0
4.(2010·
辽宁)已知点P在曲线y=上,α为曲线在点P处的切线的倾斜角,则α的取值范围是( )
A.B.C.D.
5.(2011·
珠海模拟)在下列四个函数中,满足性质:
“对于区间(1,2)上的任意x1,x2(x1≠x2),|f(x2)-f(x1)|<
|x2-x1|恒成立”的只有( )
A.f(x)=B.f(x)=|x|
C.f(x)=2xD.f(x)=x2
题号
1
2
3
4
5
答案
二、填空题(每小题4分,共12分)
6.一质点沿直线运动,如果由始点起经过t秒后的位移为s=t3-t2+2t,那么速度为零的时刻是__________.
7.若点P是曲线f(x)=x2-lnx上任意一点,则点P到直线y=x-2的最小距离为________.
8.设点P是曲线y=-x2-3x-3上的一个动点,则以P为切点的切线中,斜率取得最小值时的切线方程是__________________.
三、解答题(共38分)
9.(12分)求下列函数在x=x0处的导数.
(1)f(x)=+,x0=2;
(2)f(x)=,x0=1.
10.(12分)(2011·
保定模拟)有一个长度为5m的梯子贴靠在笔直的墙上,假设其下端沿地板以3m/s的速度离开墙脚滑动,求当其下端离开墙脚1.4m时,梯子上端下滑的速度.
11.(14分)(2011·
平顶山模拟)已知函数f(x)=x2-alnx(a∈R).
(1)若函数f(x)的图象在x=2处的切线方程为y=x+b,求a,b的值;
(2)若函数f(x)在(1,+∞)上为增函数,求a的取值范围.
1.
2.
(1)
(2)切线的斜率 切线斜率的取值范围
3.y′或f′(x)
4.0 αxα-1 cosx -sinx axlna ex
5.
(1)f′(x)±
g′(x)
(2)f′(x)g(x)+f(x)g′(x)
(3)
1.C 2.C 3.A 4.D
5.1
解析 ∵f′(x)=-f′()sinx+cosx,
∴f′()=-1.
∴f()=1.
课堂活动区
解题导引
(1)用导数定义求函数导数必须把分式中的分母Δx这一因式约掉才可能求出极限,所以目标就是分子中出现Δx,从而分子分母相约分.
(2)第
(1)小题中用到的技巧是“分子有理化”.“有理化”是处理根式问题常用的方法,有时用“分母有理化”,有时用“分子有理化”.
(3)注意在某点处的导数与导数定义式的区别:
;
(4)用导数的定义求导的步骤为:
①求函数的增量Δy;
②求平均变化率;
③化简取极限.
解
(1)=
=
,
∴
=-.
(2)=
=,
变式迁移1 解 ∵Δy=-
∴=.
∴y'
=
==.
解题导引 求函数的导数要准确地把函数分割为基本函数的和、差、积、商及其复合运算,再利用运算法则求导数.在求导过程中,要仔细分析函数解析式的结构特征,紧扣求导法则,联系基本函数求导公式.对于不具备求导法则结构形式的要适当恒等变形.
解
(1)∵y=(1-)
=-=
∴y′=
.
(2)y′=′=
(3)y′=x′ex+x(ex)′=ex+xex=ex(x+1).
(4)y′=′=
变式迁移2 解
(1)y′=(x2)′sinx+x2(sinx)′=2xsinx+x2cosx.
(2)y′=(3xex)′-(2x)′+(e)′
=(3x)′ex+3x(ex)′-(2x)′
=3xln3·
ex+3xex-2xln2
=(ln3+1)(3e)x-2xln2.
(3)y′=
解题导引
(1)求复合函数导数的思路流程为:
→→
(2)由复合函数的定义可知,中间变量的选择应是基本函数的结构,解这类问题的关键是正确分析函数的复合层次,一般是从最外层开始,由外向内,一层一层地分析,把复合函数分解成若干个常见的基本函数,逐步确定复合过程.
解
(1)y′=[(1+sinx)2]′
=2(1+sinx)·
(1+sinx)′
cosx
=2cosx+sin2x.
(2)y′=
′
(3)y′=(ln)′
=·
()′
(x2+1)-·
(x2+1)′
=.
变式迁移3 解
(1)设u=1-3x,y=u-4.
则yx′=yu′·
ux′=-4u-5·
(-3)
(2)设y=u2,u=sinv,v=2x+,
uv′·
vx′=2u·
cosv·
=4sin·
cos
=2sin.
(3)y′=(x)′
=x′·
+x()′
=+=.
解题导引
(1)求曲线的切线要注意“过点P的切线”与“在点P处的切线”的差异;
过点P的切线中,点P不一定是切点,点P也不一定在已知曲线上,而在点P处的切线,必以点P为切点.
(2)求函数对应曲线在某一点处的切线的斜率,只要求函数在该点处的导数即可.
(3)解决“过某点的切线”问题,一般是设出切点坐标解决.
解
(1)∵y′=x2,
∴在点P(2,4)处的切线的斜率k=y′|x=2=4.
∴曲线在点P(2,4)处的切线方程为
y-4=4(x-2),
即4x-y-4=0.
(2)设曲线y=x3+与过点P(2,4)的切线相切于点A,则切线的斜率k=y′|x=x0=x.
∴切线方程为y-=x(x-x0),
即y=xx-x+.
∵点P(2,4)在切线上,∴4=2x-x+,
即x-3x+4=0,∴x+x-4x+4=0,
∴x(x0+1)-4(x0+1)(x0-1)=0,
∴(x0+1)(x0-2)2=0,
解得x0=-1或x0=2,
故所求切线方程为4x-y-4=0或x-y+2=0.
(3)设切点为(x0,y0),则
切线的斜率为k=x=1,解得x0=±
1,
故切点为,(-1,1).
故所求切线方程为y-=x-1和y-1=x+1,
即3x-3y+2=0和x-y+2=0.
变式迁移4 解 f′(x)=3x2-6x+2.设切线的斜率为k.
(1)当切点是原点时k=f′(0)=2,所以所求曲线的切线方程为y=2x.
(2)当切点不是原点时,设切点是(x0,y0),则有y0=x-3x+2x0,k=f′(x0)=3x-6x0+2,①
又k==x-3x0+2,②
由①②得x0=,k=-.
∴所求曲线的切线方程为y=-x.
综上,曲线f(x)=x3-3x2+2x过原点的切线方程为
y=2x或y=-x.
课后练习区
1.C 2.C 3.A 4.D 5.A
6.1秒或2秒末
7.
8.12x+3y+8=0
9.解
(1)∵f′(x)=′=
=,∴f′
(2)=0.………………………………………………………………(6分)
(2)∵f′(x)=(x-)′-x′+(lnx)′
=-x--1+,∴f′
(1)=-.……………………………………………………(12分)
10.解 设经时间t秒梯子上端下滑s米,
则s=5-,
当下端移开1.4m时,……………………………………………………………………(3分)
t0==,……………………………………………………………………………(5分)
又s′=-(25-9t2)-·
(-9·
2t)
=9t·
,…………………………………………………………………………(10分)
所以s′(t0)=9×
·
=0.875(m/s).
故所求的梯子上端下滑的速度为0.875m/s.……………………………………………(12分)
11.解
(1)因为f′(x)=x-(x>
0),……………………………………………………(2分)
又f(x)在x=2处的切线方程为y=x+b,
所以……………………………………………………………(5分)
解得a=2,b=-2ln2.……………………………………………………………………(7分)
(2)若函数f(x)在(1,+∞)上为增函数,
则f′(x)=x-≥0在(1,+∞)上恒成立,……………………………………………(10分)
即a≤x2在(1,+∞)上恒成立.
所以有a≤1.……………………………………………………………………………(14分)
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