考研数学一389真题含答案与解析交互.docx
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考研数学一389真题含答案与解析交互
考研数学一-389
(总分150,做题时间90分钟)
一、选择题
每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求.
1.
已知反常积分收敛,则
A 0<α<2
B 1<α<2
C 2<α<3
D 1<α<3
该题您未回答:
х 该问题分值:
4
答案:
C
[解析]由与x=0是无界点,则将原积分为两个反常积分
由于当x→0时,ln(1+x2)~x2,则反常积分同敛散,而要使收敛,α-2<1,则由收敛可得α<3.
由于反常积分当α>1时收敛,当α≤1时发散,且,则当α≤1时,发散,而当α>1时,,其中ε>0,α-ε>1,由于收敛,,则收敛.
故要使反常积分收敛,则1<α<3.
2.
设在x=-2处条件收敛,则在处
A 绝对收敛.
B 条件收敛.
C 必发散.
D 敛散性不确定.
该题您未回答:
х 该问题分值:
4
答案:
A
[解析]显然幂级数的收敛半径为1,由于幂级数在x=-2处条件收敛,则x=-2为该幂级数收敛区间的端点,从而a=-3或a=-1,但a=-3与在x=-2处条件收敛矛盾,而a=-1时,在x=-2处条件收敛,符合题意,
则a=-1,此时,
显然该幂级数的收敛半径为1,则其收敛区间为(-2,0),又,则幂级数在处绝对收敛,故应选A.
3.
函数在点(0,0)处
A 不连续.
B 偏导数不存在.
C 可微.
D 偏导数连续.
该题您未回答:
х 该问题分值:
4
答案:
C
[解析]显然,则f(x,y)在点(0,0)处连续,又
]
同理fy(0,0)=0.
则f(x,y)在点(0,0)处可微.故应选C.
4.
若y=xex+x是微分方程y"-2y"+ay=bx+c的解,则
A a=1,b=1,c=0
B a=1,b=1,c=-2
C a=-3,b=-3,c=0
D a=-3,b=1,c=1
该题您未回答:
х 该问题分值:
4
答案:
B
[解析]由解y=xex+x的形式及原方程右端的非齐次项可知,xex为齐次方程的解,则其特征方程有二重根λ1-λ2=1,特征方程应为(λ-1)2=0,则a=1,而y=x应为非齐次方程的解,将其代入方程y"-2y"+y=bx+c得b=1,c=-2,故应选B.
5.
设,,,,则不能相似于对角矩阵的是
A .A
B .B
C .C
D .D
该题您未回答:
х 该问题分值:
4
答案:
D
[解析]C是对称矩阵必和对角矩阵相似.
矩阵A的特征值是1,2,3,有3个不同的特征值必和对角矩阵相似.
矩阵B的特征值是3,3,-1,特征值有重根,但λ=3有2个线性无关的特征向量,故和对角矩阵相似.
矩阵D的特征值是2,0,0,特征值有重根,但λ=0时(0E-D)χ=0只有一个线性无关的解,亦即λ=0只有一个线性无关的特征向量,故D不能相似对角化.
6.
已知多项式,则其x4的系数和常数项依次为
A 1,40
B 0,40
C 0,-40
D 1,-40
该题您未回答:
х 该问题分值:
4
答案:
C
[解析]由于行列式是不同行不同列元素乘积的代数和,现在第四行元素中没有x项,因此多项式f(x)中不存在x4项,其系数必为0.
而常数项是由不含x的项所得,故令x=0,有
7.
甲、乙两人各自独立地向同一目标重复射击两次,已知每次射击甲命中目标的概率为p(0<p<1),乙命中目标的概率为0.6,则使甲、乙两人命中目标次数相等的概率达到最大的p为
A.0.6.
B.0.7.
C.
D.
A B C D
该题您未回答:
х 该问题分值:
4
答案:
D
[解析]用X,Y分别表示两次射击甲、乙击中目标的次数,则X与y相互独立.X~B(2,p),Y~B(2,0.6).
事件“两次射击甲、乙两人命中目标次数相等”即{X=Y},为
{X=0,Y=0)∪{X=1,Y=1}∪{X=2,Y=2)
依题意选p使得P{X=Y)最大.由于
对p求导,得时,P{X=Y)最大.
8.
已知随机变量X与Y都服从正态分布N(μ,σ2),如果P{max(X,Y)>μ)=a(0<a<1),则P{min(X,Y)≤μ)等于
A.
B.
C.a.
D.1-a.
A B C D
该题您未回答:
х 该问题分值:
4
答案:
C
[解析]
选择C.
我们也可以这样考虑,由于
P{max(X,Y)>μ}=1-P{max(X,Y)≤μ)
=1-P{X≤μ,Y≤μ}1-P(AB),
其中A={X≤μ},B={Y≤μ},已知X~N(μ,σ2),Y~N(μ,σ2),
所以P(A)=P(B)=,
选择C.
二、填空题
1.
设方程确定了函数y=f(x),则=______.
该题您未回答:
х 该问题分值:
4
[解析]又t=1时x=0,则
2.
=______.
该题您未回答:
х 该问题分值:
4
当n为偶数时为0,当n为奇数时为[解析]当n为偶数时,tne-t2为偶函数,则为奇函数,从而为奇函数,则
当n为奇数时,
3.
设D={(x,y)|x2+y2≤2x+2y),则=______.
该题您未回答:
х 该问题分值:
4
5π[解析]积分域x2+y2≤2x+2y为圆域(x-1)2+(y-1)2≤2.
令x-1=u,y-1=v,则
4.
设z=f(xy,x2+y2),其中f(u,v)有二阶连续偏导数,则=______.
该题您未回答:
х 该问题分值:
4
f"1+xyf"11+4xyf"22+2(x2+y2)f"22[解析]
5.
设α=(1,0,1)T,β=(0,1,-1)T,,A=P-1αβTP,则A2017=______.
该题您未回答:
х 该问题分值:
4
[解析]记又B2=(αβT)(αβT)=α(βTα)βT=-αβT=-B递推地,B2017=(-1)2016B=B故A2017=(P-1BP)2017=P-1B2017P=P-1BP注意是初等矩阵,关于初等矩阵注意左乘右乘,以及其逆矩阵的公式.
6.
设二维随机变量(X,Y)服从正态分布N(1,-2;σ2,σ2;0),则P{XY<2-2X+Y}=______.
该题您未回答:
х 该问题分值:
4
[解析](X,Y)~N(1,-2;σ2,σ2;0),所以X与Y相互独立,且X~N(1,σ2)和Y~N(-2,σ2),也就有(X-1)~N(0σ2)与(Y+2)~N(0,σ2),且(X-1)与(Y+2)也相互独立
P{XY<2-2X+Y}=P{XY+2X-Y-2<0}=P{(X-1)(Y+2)<0}
=P{X-1<0,Y+2>0)+P{X-1>0,Y+2<0}
=P{X-1<0}P{Y+2>0}+P{X-1>0}P{Y+2<0}
根据正态分布的对称性:
P{X-1<0}=P{X-1>0)=P{Y+2>0}=P{Y+2<0}=
所以P{XY<2-2X+Y}=.
三、解答题
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
1.
求极限.
该题您未回答:
х 该问题分值:
9
[解法1]
[解法2]
[解法3]
2.
设f(x)为连续函数,,,当x→0时F(x)-与bxk为等价无穷小,其中常数b≠0,k为某正整数.求k与b的值及f(0),f"(0).
该题您未回答:
х 该问题分值:
11
[解]令x-t=u,则dt=-dv
由知
从而,f(0)=1,,且k=3,,此时
3.
计算,其中
(Ⅰ)Σ为的上侧.
(Ⅱ)Σ为上半椭球面(z≥0)的上侧.
该题您未回答:
х 该问题分值:
10
其中S为平面域x2+y2≤a2的下侧,则由高斯公式得
(Ⅱ)补面Σ1和Σ2,其中Σ1为上半球面的下侧,Σ2为xOy面上介于x2+y2=1与之间的平面域的下侧.则
4.
设f(x)在[0,+∞)上连续,且收敛,令,证明:
收敛.
该题您未回答:
х 该问题分值:
10
[证明]令nx=t,则
从而又由于收敛,设,则
当α>0时,级数收敛,故级数收敛.
5.
设f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且f(0)=f
(1),常数a>0与b>0.求证:
存在满足0<ξ<η<1的ξ与η使得af"(ξ)+bf"(η)=0.
该题您未回答:
х 该问题分值:
10
[证明]令,在[0,c]和[c,1]上分别对f(x)用拉格朗日定理得
此时,[解析]本题属中值定理的证明题中要证存在两个不同点ξ和η,这种问题应将[0,1]分为两个区间[0,c]和[c,1],然后在这两个区间上分别用拉格朗日中值定理.问题的关键在于c点的选取,为此,利用拉格朗日中值定理得
从而有若能选得c∈(0,1),使,则必有af"(ξ)+bf"(η)=0,问题得以证明.显然.
6.
已知α1,α2,β1,β2均是3维向量,且α1,α2线性无关,β1,β2线性无关,证明存在非零向量γ,使得γ既可由α1,α2线性表出,又可由β1,β2线性表出.
当,,,时,求出所有的向量γ.
该题您未回答:
х 该问题分值:
11
[证]4个3维向量α1,α2,β1,β2必线性相关,故不全为0的k1,k2,l1,l2使
k1α1+k2α2+l1β1+l2β2
令γ=k1α1+k2α2=-l1β1-l2β2
如果γ=0,即k1α1+k2α2=0且l1β1+l2β2=0
由α1,α2线性无关,故必有k1=0,k2=0,同理由β1,β2线性无关知l1=0,l2=0与k1,k2,l1,l2不全为0相矛盾.所以必有γ≠0且γ即可由α1,α2线性表出,又可由β1,β2线性表出.
对已知的α1,α2,β1,β2设x1α1+x2α2+y1β1+y2β2=0
作初等行变换有
得方程组通解为:
k(-3,2,-1,1)T
7.
已知二次型χTAχ=,a≠0
(Ⅰ)求矩阵A的特征值和特征向量.
(Ⅱ)若二次型χTAχ正定,求a的取值.
(Ⅲ)当a=-2时,χTAχ=1所表示的曲面.
该题您未回答:
х 该问题分值:
11
[解](Ⅰ)二次型矩阵
由
A的特征值:
2+2a,2-a(二重根)
对λ=2+2a,由(λE-A)χ=0且a≠0有
得基础解系α1=(1,1,1)T.对λ=2-a,由(λE-A)χ=0
得基础解系α2=(-1,1,0)T,α3=(-1,0,1)T.
故λ=2+2a时,特征向量为k1α1,k1≠0,
λ=2-a时,特征向量为k2α2+k3
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