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他為了逃避窮困、病痛、毀謗和不公平的待遇，曾在25年之中，每天玩骰子，並天天玩棋達40年之久。

青年時代，他致力於研究數學、物理。

從帕維亞大學醫學院畢業後，在波隆納和米蘭行醫並教受他人醫術，成為全歐有名的醫生。

這期間，他也受聘在義大利的多所大學，擔任數學講座。

西元1570年，因丟擲耶穌的天宮圖，被視為異教徒，而被捕入獄。

不過，令人稱其奇的是，主教隨即以占星術士來聘用他。

卡當的著作涵蓋了數學、天文學、占星學、物理學、醫學以及關於道德方面的語錄。

藉著辛勤的耕耘，他將古世紀、中世紀以及當代所能蒐集到的數學知識，編成百科全書的形式。

他更將自己珍愛、偏好的數論和代數理論，結合在一起。

西元1545年，他出版的著作《ArsMagra》（大術），在代數學上具有相當重要之地位。

書中首次出現使用符號的雛形，例如：

"

3.quad.quad.p.29.quad.p.57.aqualia36.pos.p.74."

這相當於"

3X4+29X2+57=36X+74"

；

他對三次及四次方程式提出了系統性的解法，這是一個非常重要的成就。

卡當在代數學上的另一個貢獻，是認真地引入了虛數，並接受虛數是方程式的根。

虛數的出現，是數學史上一件大事。

虛數和原有的實數統稱為複數系。

根據代數基本定理，在複數系裡任何多項式必有根，而且n次多項式恰有n個根，這就解決了根的存在性問題。

要解出方程式的根，在複數系中，便可迎刃而解了。

除了在代數學上的重要成就，卡當在概率論這門學科上，也扮演了奠基的工作。

例如在其《DeLudoAleoe》（博奕論，西元1663年出版）一書中，他已經計算了投擲兩顆或三顆骰子時，在可能方法裡，有多少方法是得到某一點數，這可以說是機率論發展的一個濫觴。

以下提出兩個有關卡當的數學故事

故事一：

塔達里亞vs.卡當，究竟是誰想出了三次方程式解?

故事二：

虛數

的誕生

自然科學是人類共同的財富，它的誕生和發展凝聚著許多科學家的心血。

在科學上的某一發現或發明，即使在相當不同的文化環境裡，也往往有許多科學家同時或先後為之奮鬥。

正因為這樣，在自然科學史上，就會經常產生發明權或發現先後的爭議。

於是，無可避免地形成了自然科學史上一系列懸而未決的疑案。

翻開十六世紀的數學思想發展過程，最令人津津樂道的一個懸案莫過於「三次方程解法之爭」。

其中兩位主角塔達里亞（N.FontanaTartaglia）和卡丹諾（Cardano）雖然早已蓋棺，但事實真相卻仍無法論定。

緣由

遠在巴比倫時代人們就已經知道用配方法解二次方程式，而對於三次方程式，除了一些孤立的情形外，仍不時地困擾著數學家，甚至在1494年，巴喬里（Pacioli）假定了一般三次方程式不可解。

這個論斷既代表了當時一般人的認識，又刺激了人們對尋找三次方程求根公式的強烈興趣，以致使尋找三次方程的公式解法成了當時數學界十分風行的課題。

大約1500年，波隆那（Bologna）的數學教授費羅（Ferro）解過形如x3+mx=n的方程式，但他並沒有發表其解法，因為在十六世紀和十七世紀中，各種發現都被祕密地藏起來，並持之以向對手挑戰。

大約1510年，他將這個精心研究的解法交託給一個學生費奧（Fior）以及他的女婿兼繼承人納維（Nave）。

但這項工作在布瑞西亞（Brescia）的塔達里亞出場之前，一切都還沒有什麼進展。

孩提時代，由於被一個法國軍人用軍刀從臉上劃過，而使他患了口吃，所以大家都稱其為塔達里亞（口吃者）。

在窮困的環境中成長，他自修學得拉丁文、義大利文和數學，雖然文學程度不怎麼好（據說其著作常令讀者發噱），但是憑著豐富的知識，他在義大利各城市中傳授科學以賺取生活。

當時由於三次方程還沒有公式，很多數學家都在潛心鑽研三次方程的解法。

而塔塔利亚在三次方程的解法上一直走在前面。

而塔達利亞在三次方程的解法上一直走在前面。

1535年初，他对外宣称已经知道了三次方程的解法，但绝对保守秘密。

1535年初，他對外宣稱已經知道了三次方程的解法，但絕對保守秘密。

这引起了一名叫菲俄的数学家的不服，他也称自己会解三次方程。

這引起了一名叫費奧的數學家的不服，他也稱自己會解三次方程。

塔塔利亚认为他是吹牛，于是相约于1535年2月22日在米兰大教堂进行公开竞赛。

塔達利亞認為他是吹牛，於是相約於1535年2月22日在米蘭大教堂進行公開競賽。

　　塔塔利亚闻知菲俄得到当时的大数学家费罗的秘传，而自己的方法又欠完善，深知要取得胜利，必须想出更好的方法来，于是他重新开始钻研，常常彻夜不眠。

　　塔達利亞聞知費奧得到當時的大數學家費羅的秘傳，而自己的方法又欠完善，深知要取得勝利，必須想出更好的方法來，於是他重新開始鑽研，常常徹夜不眠。

比赛日期一天天临近，2月12日夜，他照例伏案工作到黎明，当他步出户外，刹那间豁然开朗，多日思考，有了结果。

比賽日期一天天臨近，2月12日夜，他照例伏案工作到黎明，當他步出戶外，剎那間豁然開朗，多日思考，有了結果。

他终于掌握了较好的解法。

他終於掌握了較好的解法。

　　2月22日，竞赛正式开始。

　　2月22日，競賽正式開始。

两人各给对方出30个题目，谁解得最多最快，谁就胜利。

兩人各給對方出30個題目，誰解得最多最快，誰就勝利。

塔塔利亚在2小时内解完所有题目，而菲俄一个题目也解不出来。

塔達利亞在2小時內解完所有題目，而費奧一個題目也解不出來。

塔塔利亚大获全胜而归。

塔達利亞大獲全勝而歸。

卡當逼著他透露解法，在得到不洩密的保證後，塔達里亞將這種解法寫成含糊的詩體形式交給卡當，這是1539年的事。

1542年，卡當諾和他的學生費拉里（Ferrari）在訪問納維的機會裡，確知了費羅的方法與塔達里亞的是一樣的，所以就不顧自己所提過的保證，在《ArsMagna》中發表了這個方法的解說。

在該書的第十一章裡，他說:

「波隆那的費羅大約在三十年以前，發現了這個規則，並將之交給威尼斯的費奧，他與塔達里亞的較量為後者提供了發現這個規則的機會;

塔達里亞應我的要求將解法透露給我，但保留其證明。

有了這些幫助，我推出了其各種形式的證明，這是相當困難的，我的觀點如下：

……」。

卡丹諾舉了x3+6x=20為例說明他的方法，但為了不失一般性，我們考慮x3+mx=n其中m,n均為正數。

他提出輔助量t和u，使t-u=n

（1）以及tu=（m/3）3

（2）。

其次他假設

（3）。

由

（1）和

（2）可以消去解得

卡丹諾所取的是正平方根，既然得到t和u，再代入（3）就能得到x的一值，這也正是塔達里亞所得到的根。

如果解法只寫到這裡，相信有很多人都會提出疑問，難道（3）式一定是正確的嗎？

於是卡丹諾也附上了幾何觀點的證明，確定（3）式是無誤的。

塔達里亞對這種背信提出抗議，並且在他的《Quesitiedinvenzionediverse》（1546年）中公開自己的解法；

然而，這部著作和他的另一部著作《Generaltrattatode'

numeriemisure》（1556年）均未對三次方程式本身做更進一步的探討。

到底是誰先解開三次方程式？

這個爭論導致塔達里亞和卡丹諾之間發生了公開的衝突。

卡丹諾的學生費拉里挺身而出，竭力為他的老師辯護，在塔達里亞和費拉里之間前後許多次的通信，都是互相譴責以至最後變成雙方肆意謾罵收場。

在這場爭論中，卡丹諾始終保持著中立。

而塔達里亞本人也不能免於被責備，他出版了一本得自於WilliamofMoerbecke有關阿基米德之作品的譯本，且自認已經發現了斜面運動定律，然而這個定律實際上是得自Jordanus。

另一種解釋

通常在這時期的義大利數學家的社會背景大致可分為以下四群:

那就是技術員、醫生和城市的專家、小土地的貴族以及都會貴族。

而要成為專業的精英，通常也要以社會和經濟地位作為判斷的基準。

由以上所討論的觀點，現在再讓我們回過頭來看看塔達里亞和卡丹諾之爭-「究竟是誰想出了三次方程式解?

」-這樁懸案時，應該能對整個事件有更清楚的了解，也較能知道其所代表的歷史意義。

由於卡丹諾是大學理論醫學的教授，而塔達里亞為實用算術和幾何的大眾教師，兩者的社會背景自有不同。

當塔達里亞在1540年代攻擊卡丹諾時，卡丹諾已躋身於醫學界的精英群中並頗有名聲。

當時的卡丹諾既沒有接受也沒有明顯地拒絕塔達里亞的挑戰。

因為不想與「低等」的算盤師傅對話，於是他把問題丟給了應用數學家費拉里。

有趣的是，雖然如此，塔達里亞卻寧願把答案給卡丹諾。

塔達里亞原本的用意是藉由打敗卡丹諾，可以獲得社會的合法地位，由算盤師傅晉身於醫生的階層。

若贏的是與他社會地位幾乎相等的費拉里，並不能達到他的目的。

史家柏托洛堤（Bortolotti）相信最初激怒塔達里亞的並不是卡丹諾發表他的三次方程式的解法，因為這個「祕密」的發表可能是被當作一種交換條件。

塔達里亞希望卡丹諾能夠引薦他進入社會地位較高的圈子，但卡丹諾食言了。

卡丹諾違反了禮物交換的承諾，這應該是塔達里亞激烈反應的主因。

這一段公案雖然仍未落幕，但隨著三次方程解法的發表，代數學正不斷地蓬勃發展，再加上拉格蘭吉（Lagrange）、阿貝耳（Abel）、伽羅瓦（Galois）、約旦（Jordan）等人的努力，從古代開始到十九世紀中葉為止，用代數方法解n次方程的問題終於得到徹底、圓滿的解決。

由於前人的執著，使後繼者能更清楚地掌握數學知識的豐富面貌，而這也正是科學發展的真諦!

科學研究畢竟是人從事的事業，人性的弱點也會在其中表現出來。

做為一項最為看重首創權的工作，因爭名奪利結下的種種個人恩怨也就難以避免，有時也難以讓人看清其中的是非曲折。

雖然根據現代科研的規範和歷史資料來看，卡當在這個事件中的所作所為並無過錯，他並沒有試圖去剽竊他人成果，為了公布學術成果與眾人分享所作的努力還很值得讚賞，反倒是塔塔利亞死守學術成果的偏執和對卡當的憎恨都有點變態。

奇怪的是，在後人的傳說中，卡當卻成了欺世盜名的騙子，人們對弱者的同情有時會超過了對真相的探求。

不過事實的真相畢竟難以掩蓋，尤其是在信息發達的今天，更是如此。

一般人都知道虛數

是方程式x2+1=0的根，在合理的推論之下，虛數

應該是誕生在二次方程中。

如果你也這樣以為，那麼數學史家的觀點，絕對出乎你的意料之外。

在數學史的發展過程中，早期的數學家面對方程式x2+1=0時，和我們現在的國中數學課本處理方式一樣，他們認為這樣的方程式是無解，當然也就沒有發明一個數來表示方程式x2+1=0的根。

因此，當我們回顧虛數

誕生的故事時，便會認同數學史家的觀點，虛數

並非誕生在二次方程式中，而是在三次方程。

關於虛數

誕生的故事，可以從西元1545年義大利的學者卡當諾（G.Cardano，1501-1576）談起。

卡當諾是數學史上有名的怪人，不但博學多才，通曉醫學、數學與天文學，且喜好賭博與占星術。

他對當時的一切知識相當投入，著述豐富且涉及許多方面。

在1545年時，卡當諾發表了他的傑作《大術》（ArsMagna，原意為「偉大的技藝」），其中介紹一般三、四次方程的求根公式最為著名。

書中首先以具體方程為例，說明了（不完全）三次方程x3+mx=n（m、n為正整數）的解法：

「將x項係數的三分之一自乘三次，再加上方程式常數項係數n一半的平方，將兩者之和開平方。

將此過程重複一次，其中一根加上常數項係數n的一半，另一根則減去常數項係數n的一半……然後前者的立方根減去後者的立方根，剩下的即為x的值。

」換言之，所謂卡當諾公式解即是

x=

。

要特別注意的是，十六世紀時的數學家要求方程式中的係數必須為正數，因此，卡當諾在書中分別針對x3=mx+n、x3+n=mx等等（不完全）三次方程，提出了以現代眼光來看似乎是多此一舉的公式解。

《大術》的最後，卡當諾做出了結論，他認為三次方程已獲得解答。

事實果真是如此嗎？

答案顯然是否定的，因為他所處理的是不完全的三次方程，並非針對一般的三次方程式。

儘管如此，對於三次方程的解決，卡當諾公式仍令人感到相當振奮。

不過，卻也因為卡當諾公式的出現，引出了一個數學史上的重要難題。

接著出現的難題，卻成為虛數

誕生的契機。

當我們考慮到三次方程x3=15x+4時，卻出現了令當時數學家難以解釋的結果，因為根據卡當諾的公式解可得x=

就當時數學家的觀點，出現負數的平方根絕對是不合理的，所以很容易忽略它，而認為這個三次方程是不可解。

然而，我們卻可以輕易的檢驗出x=4是此三次方程的一個解，但是為何在利用卡當諾公式所求得的結果中，卻沒有看到x=4出現？

究竟所得到的解

和4有沒有關係呢？

事實上，卡當諾早已遇到虛數根的問題。

他在《大術》第三十七章中，提出並解決這樣的問題：

「把10分為兩部分，其中一部份乘以另一部份結果為40…因此，將分成的兩部分應是5+

和5-

」並且分析：

「讓我們解除思想的束縛，用5+

乘5-

，我們便得到25-（-15），也就是25+15。

因此乘積為40。

」然後，他寫道：

「算術就是這樣的精巧奇妙，它最根本的特點，正如我所說過的，是既精妙又無用。

」雖然卡當諾已經遇到虛數根，但卻未能解決三次方程所謂“不可約”（即判別式為負）的情形。

關於卡當諾所面對虛數根的困惑，數十年後另一個義大利數學家邦貝力（R.Bombelli，1526-1573）提出了他的深刻想法。

邦貝力認真看待虛數，用它解出不可約三次方程，並建立了虛數的運算法則，這是人們對數認識的一大進步，儘管他仍認為虛數是人為而非真實的數。

針對三次方程x3=15x+4的兩個解

和4的關係，他暫時拋開當時數學家對虛數

潛在的成見，提出了不受侷限的奇妙想法。

因為

和

只是運算符號上的差異，所以他大膽地令

=

和

=

，將

開立方的結果和

作對照可得a=2，b=1，然後檢驗出x=

=（

）+（

）=4。

如此，邦貝力不但賦予了虛數

的意義，並且也發展出虛數

的運算法則，奠定了虛數理論的基石。

用現在的符號i=

（尤拉在1748年提出）表示，除了乘法運算法則：

，

，

，也包含虛數的加法與乘法運算，例如：

邦貝力深刻洞悉了虛數

在代數中所扮演的角色，不愧為十六世紀義大利的偉大數學家之一。

在虛數尚未在數學王國之中取得正統地位之前，許多數學家和卡當諾一樣，認為虛數是不存在的。

的地位，一直要到兩世紀後經過尤拉（L.Euler，1707-1783）、高斯（F.Gauss，1777-1855）和柯西（A.Cauchy，1789-1857）的努力，才算在數學王國之中取得正統。

十六、七世紀的數學家，大都把虛數看成是不可能或是不存在的。

數學家之所以願意如此為虛數「扶正」身分，全都是因為它十分「有用」。

虛數

發展至今，在處理代數、分析、幾何與數論的問題上，皆可看到複數的蹤跡。

任何數學知識的發展，都是由解決問題開始，虛數的誕生當然也不例外。

希臘數學家丟番圖（Diophantus，250-275）的《算術》（Arithmetica）書中，就已出現負數根的問題：

「一直角三角形周長為12面積為7試求其邊長」，但是丟番圖並不考慮虛根的問題，一直到卡當諾才去面對方程式中的虛數根，雖然他認為虛數是精妙卻無用，卻引起邦貝利對虛數的興趣，進一步研究虛數的運算法則。

因為方程式的虛數根是不可避免的，虛數不應輕易再被忽視，數學家也因此被強迫去面對虛數。

當然，要讓數學家就此接受虛數是不容易的。

正如吉拉德雖然認為要接受虛數，但卻將它視為「形式」上的根；

笛卡兒一樣也難以接受虛數，認為是它並不是數。

那麼是何種理由，奠定了虛數在數學王國裡的地位呢？

在經過尤拉、高斯和柯西等人的努力，除了虛數可以滿足數學家天生對完美的渴望外（例如：

滿足算術基本定理），更重要的是它相當「有用」。

正如吉拉德所說：

「有人可以說這些不可能的解有什麼用？

我回答：

它有三方面的用處－一是因為它能肯定一般法則；

二是它們有用；

再有，還因為除此之外再沒有別的解。

」總之，它的誕生與發展，倒真地呼應了克萊恩（M.Kline）所言：

「虛數……其強自佔入算術計算也，不特未嘗獲得世人之承諾，抑且與算學家之始願相違，但終以日積月累之功，在其表現效能範圍之內，流行日廣。

」

回顧了虛數

誕生的過程，值得一提的是虛數

的出現，與一般人所認知的並不相符。

它之所以出現在數學的領域，並不是用來作為解二次方程式的工具，而是誕生在三次方程x3=15x+4解法的懷抱中。

這不是很出乎我們的意料之外嗎？