曲线的切线和法面密切面.docx
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曲线的切线和法面密切面
§1.2曲线的切向量、切线和法面、密切平面
假设中的三个分量具有我们所需要的各阶导数。
一、切向量的定义及求法
z
对曲线进行研究,从曲线的割线及割线的极限入手。
(1)
定义如图
给出曲线上一点,
点是曲线上邻近的一点,经过和的直线称为曲线的一条割线。
当点沿着曲线趋近于点时,若割线趋近于一定的位置,则我们把这个割线的极限位置称为曲线在点处的切线。
而定点叫做切点。
直观上看,切线是通过点的所有直线当中最贴近曲线的直线。
设曲线的参数方程是
,。
设是该曲线上的一点,记为,,
给一个增量,
考虑曲线上的另外一点
记,;
则有,
在割线上作向量,使得
;
当(即)时,
如果有着确定的极限,
则,
根据曲线的切线的定义,那么这个极限就是切线上的一向量,称它为曲线在点处的切向量。
也就是说,定义
为曲线的切向量,用来表示。
(2)切向量的求法
因为
,
令得
。
特别,对平面曲线,
①:
,
切向量
为切线的斜率。
②曲线
切向量
为切线的斜率。
平面曲线的切线方程和法线方程。
例1、求圆
的切向量。
解:
切向量是
所以,这表明与垂直。
二、切线方程
曲线在点处的切线方程为
,
,
,
,
这称为切线方程的点向式。
三、曲线的法平面
经过切点而垂直于切线的平面,称为曲线的法平面或法面。
下面导出曲线的法平面方程。
设曲线上一点,它所对应的参数为,
点的向径是,
是法面上的任一点,
则由
,
得,
若设,
,
则得法面方程为
。
四、光滑曲线
定义8.2设曲线,
如果,则称是曲线的一个奇点。
如果,称为是曲线的一个正则点(或正常点)。
例如,
,
,
是曲线的一个奇点,其它点为正则点。
由,
得,
在处不可导。
画出曲线图象。
例曲线,
,
,
,
当时,
有,
均为曲线的奇点,其它点为正则点
画出曲线图形。
注:
,是奇点,
,不是奇点,
表示同一条曲线,原因是变换不是正则的。
定义如果曲线全由正则点组成,则称这条曲线是一条正则曲线。
设曲线,,如果切向量的三个分量都是上的连续函数,并且,则称曲线是一条光滑曲线。
设曲线(),
如果在上连续,
并且,则称曲线是一条光滑曲线。
如果曲线表示式
()中的函数是阶连续可微的函数,则把这曲线称为类曲线。
记号,,等的涵义。
例如:
圆柱螺线
是一条光滑曲线,且是类曲线(任意正整数)。
(这种曲线,也称为无穷次光滑曲线。
)
分段光滑的曲线概念。
分段光滑的曲线的图例,出现被使用的场合。
例1.求曲线在点处的切线和法平面方程.
解因及点对应参数
所以曲线在点M处的切向量为
于是所求的切线方程为;
法平面方程为
即
例2、求曲线
上平行于直线的切线方程.
解已知直线的方向向量
由于曲线的切向量
平行于向量
所以
解得切点坐标为
切向量为
所以切线方程为
即
例3.设曲线
在任一点的法平面都过原点,
证明此曲线必在以原点为球心的某个球面上.
解任取曲线上一点
曲线过该点的法平面方程为:
由于法平面过原点,得
于是,
即曲线在球面上.
例4.设参数曲线段,它的分量和在上连续,在可导,并且对,有,我们称由与两点决定的直线段为这条参数曲线段的弦.
求证:
曲线上至少有一点使得曲线在这点上的切线与弦平行.
证:
由柯西中值定理,
存在,使得,
弦的斜率为,
曲线上点处的切线斜率为,两者相等,
故弦线与点处的切线平行,结果得证.
五、空间曲线的密切平面
经过上面的讨论,我们知道,在类曲线的正常点处,总存在一条切线,它是最贴近曲线的直线。
下面我们将指出,对于一条类空间曲线而言,过曲线上一点有无数多个切平面,其中有一个最贴近曲线的切平面,它在讨论曲线的性质时起很重要的作用。
定义1过空间曲线上点的切线和点邻近一点可作一平面,
当点沿着曲线趋于时,平面的极限位置称为曲线在点的密切平面。
现在我们找出密切平面的方程。
给出类的空间曲线
:
。
设曲线上的和点分别对应参数和。
根据泰勒公式,有
,
其中,
。
因为向量和都在平面上,所以它们的线性组合
也在平面上。
当点沿着曲线趋于时,,
这时不动,但,
这个线性组合向量就趋于,
所以平面的极限位置是向量和所确定的平面。
也就是说,如果和不平行,即,
这两个向量及点就完全确定了曲线在点的密切平面。
根据以上的讨论,曲线在点的密切平面的方程是
,
其中表示点的密切平面上任意一点的向径。
上式也可以用行列式表示为
。
定义2给出类的空间曲线
:
。
设曲线上的和点分别对应参数和。
过点作由成的切平面,
当点沿着曲线趋于时,平面的极限位置称为曲线在点的密切平面。
现在我们找出密切平面的方程。
的方程为
,
其法方向为,
,
当点沿着曲线趋于时,,
,
平面的法向量的极限为
,就是的法方向,
故曲线在点的密切平面的方程是
,
其中表示点的密切平面上任意一点的向径。
密切平面的几何意义:
设曲线上的和点分别对应参数和。
过点作一平面,
考查点到平面的距离的接近情况,
设为平面的单位法向量,
由作平面的垂线,垂足为,则,其中从平面到点有向距离。
由于,,
,
其中,
。
所以有
,
欲使,需要,此时可为任一过切线的平面;
欲使,
需要,,
也就是需要的法方向为,此时的平面是一个切平面,并且与曲线的接近程度较高,
所以称这种平面为曲线的密切平面。
例求螺线
上点的密切平面。
解把点代入所给曲线方程,得。
直接计算,得
,
,
把代入,得
,
,
;
所求密切平面的方程为
,
即。
曲线,
,的物理意义。
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- 关 键 词:
- 曲线 切线 密切