第8章 整式的乘除与因式分解Word文档下载推荐.docx
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(3)a4×
a5
1.
你发现了什么?
注意观察计算前后底数和指数的关系,并能用自己的语言描述.
[师]根据乘方的意义,同学们可以独立解决上述问题.
[生]
(1)22×
23=(2×
2)×
(2×
2×
2)=25=22+3.
因为22表示2个2相乘,;
23表示3个2相乘,根据乘方的意义,同样道理可得a2·
a3=(a·
a)·
(a·
a·
a)=a5=a2+3.
a4×
a5=(a·
a·
a)=a9=a4+5.
(让学生自主探索,在启发性设问的引导下发现规律,并用自己的语言叙述).
[生]我们可以发现下列规律:
(一)这四个式子都是底数相同的幂相乘.
(二)相乘结果的底数与原来底数相同,指数是原来两个幂的指数的和.
2.议一议
am·
an等于什么(m、n都是正整数)?
为什么?
[师生共析]
an表示同底数幂的乘法.根据幂的意义可得:
an=
·
=
=am+n
于是有am·
an=am+n(m、n都是正整数),用语言来描述此法则即为:
“同底数幂相乘,底数不变,指数相加”.
[师]请同学们用自己的语言解释“同底数幂相乘,底数不变,指数相加”的道理,深刻理解同底数幂的乘法法则.
[生]am表示n个a相乘,an表示n个a相乘,am·
an表示m个a相乘再乘以n个a相乘,也就是说有(m+n)个a相乘,根据乘方的意义可得am·
an=am+n.
[师]也就是说同底数幂相乘,底数不变,指数要降一级运算,变为相加.
[例1]计算:
(1)
(2)
a3×
a6(4)xm·
x3m+1
[例2]计算am·
an·
ap后,能找到什么规律?
3.例题讲解
[师]我们先来看例1,是不是可以用同底数幂的乘法法则呢?
[生1]
(1)、
(2)、(4)可以直接用“同底数幂相乘,底数不变,指数相加”的法则.
[生2](3)也可以,先算2个同底数幂相乘,将其结果再与第三个幂相乘,仍是同底数幂相乘,再用法则运算就可以了.
[师]同学们分析得很好.请自己做一遍.每组出一名同学板演,看谁算得又准又快.
[师]接下来我们来看例2.受(3)的启发,能自己解决吗?
与同伴交流一下解题方法.
解法一:
am·
ap=(am·
an)·
ap
=am+n·
ap=am+n+p;
解法二:
ap=am·
(an·
ap)=am·
an+p=am+n+p.
解法三:
ap=
=am+n+p.
评析:
解法一与解法二都直接应用了运算法则,同时还用了乘法的结合律;
解法三是直接应用乘方的意义.三种解法得出了同一结果.我们需要这种开拓思维的创新精神.
[生]那我们就可以推断,不管是多少个幂相乘,只要是同底数幂相乘,就一定是底数不变,指数相加.
[师]是的,能不能用符号表示出来呢?
[生]am1·
am2·
…·
amn=am1+m2+mn
[师]太棒了.那么例1中的第(3)题我们就可以直接应用法则运算了.
四.随堂练习
1.课本P47练习
五.课时小结
[师]这节课我们学习了同底数幂的乘法的运算性质,请同学们谈一下有何新的收获和体会呢?
[生]在探索同底数幂乘法的性质时,进一步体会了幂的意义.了解了同底数幂乘法的运算性质.
[生]同底数幂的乘法的运算性质是底数不变,指数相加.应用这个性质时,我觉得应注意两点:
一是必须是同底数幂的乘法才能运用这个性质;
二是运用这个性质计算时一定是底数不变,指数相加,即am·
an=am+n(m、n是正整数).
六.课后作业
1.课本P472.
七、教学反思
8.1.2幂的乘方
一、教学目标:
1、经历探索幂的乘方与积的乘方的运算性质的过程,进一步体会幂的意义,发展推理能力和有条理的表达能力。
2、了解幂的乘方与积的乘方的运算性质,并能解决一些实际问题。
二、教学重点难点:
教学重点:
会进行幂的乘方的运算。
教学难点:
幂的乘方法则的总结及运用。
三、教学过程:
通过练习的方式,先让学生复习乘方的知识,并紧接着利用乘方的知识探索新课的内容。
(一)探索练习:
1、64表示_________个___________相乘.
(52)3表示_________个___________相乘.
A3表示_________个___________相乘.
(a2)3表示_________个___________相乘.
在这个练习中,要引导学生观察,推测(62)4与(a2)3的底数、指数。
并用乘方的概念解答问题。
2、(62)4=________×
_________×
_______×
________
=__________(根据an·
am=anm)
=__________
(23)5=_____×
________×
_______
(a2)3=_______×
(am)2=________×
_________
(am)n=________×
…×
即(am)n=______________(其中m、n都是正整数)
通过上面的探索活动,发现了什么?
幂的乘方,底数__________,指数__________.
学生在探索练习的指引下,自主的完成有关的练习,并在练习中发现幂的乘方的法则,从猜测到探索到理解法则的实际意义从而从本质上认识、学习幂的乘方的来历。
教师应当鼓励学生自己发现幂的乘方的性质特点(如底数、指数发生了怎样的变化)并运用自己的语言进行描述。
然后再让学生回顾这一性质的得来过程,进一步体会幂的意义。
(二)、巩固练习:
例2
1、计算下列各题:
(1)(105)3
(2)(x4)2(3)(-a2)3
解:
(1)(105)3=105×
3=1015
(2)(x4)2=x42=x8
(3)(-a2)3=(-a)2×
3=-a6
学生在做练习时,不要鼓励他们直接套用公式,而应让学生说明每一步的运算理由,进一步体会乘方的意义与幂的意义。
1、判断题,错误的予以改正。
(1)a5+a5=2ª
10()
(2)(s3)3=x6()
(3)(-3)2·
(-3)4=(-3)6=-36()
(4)x3+y3=(x+y)3()
(5)[(m-n)3]4-[(m-n)2]6=0()
学生通过练习巩固刚刚学习的新知识。
在此基础上加深知识的应用.
(三)、课堂练习:
P481,2
四、课堂小结:
五、课堂作业:
课本P48练习:
2。
六、教学反思:
8.1.3积的乘方
一、教学目标
1.经历探索积的乘方的运算法则的过程,进一步体会幂的意义.
2.理解积的乘方运算法则,能解决一些实际问题.
1.在探究积的乘方的运算法则的过程中,发展推理能力和有条理的表达能力.
2.学习积的乘方的运算法则,提高解决问题的能力.
在发展推理能力和有条理的语言、符号表达能力的同时,进一步体会学习数学的兴趣,提高学习数学的信心,感受数学的简洁美.
二、教学重点难点:
积的乘方运算法则及其应用.
幂的运算法则的灵活运用.
三、教学过程
[师]提出的问题:
若已知一个正方体的棱长为1.1×
103cm,你能计算出它的体积是多少吗?
[生]它的体积应是V=(1.1×
103)3cm3.
[师]这个结果是幂的乘方形式吗?
[生]不是,底数是1.1和103的乘积,虽然103是幂,但总体来看,我认为应是积的乘方才有道理.
[师]你分析得很有道理,积的乘方如何运算呢?
能不能找到一个运算法则?
有前两节课的探究经验,老师想请同学们自己探索,发现其中的奥秒.
老师列出自学提纲,引导学生自主探究、讨论、尝试、归纳.
1.填空,看看运算过程用到哪些运算律,从运算结果看能发现什么规律?
(1)(ab)2=(ab)·
(ab)=(a·
(b·
b)=a()b()
(2)(ab)3=______=_______=a()b()
(3)(ab)4=______=______=a()b()
(4)(ab)n=______=______=a()b()(n是正整数)
2.把你发现的规律用文字语言表述,再用符号语言表达.
3.解决前面提到的正方体体积计算问题.
4.积的乘方的运算法则能否进行逆运算呢?
请验证你的想法.
5.完成课本P48-49例3.
学生探究的经过:
1.
(1)(ab)2=(ab)·
(ab)=(a·
b)=a2b2,其中第①步是用乘方的意义;
第②步是用乘法的交换律和结合律;
第③步是用同底数幂的乘法法则.同样的方法可以算出
(2)、(3)题.
(2)(ab)3=(ab)·
(ab)·
b·
b)=a3b3;
(3)(ab)4=(ab)·
b)=a4b4
(3)(ab)n=
=anbn
2.积的乘方的结果是把积的每一个因式分别乘方,再把所得的幂相乘,也就是说积的乘方等于幂的乘积.
用符号语言叙述便是:
(ab)n=an·
bn(n是正整数)
3.正方体的体积V=(1.1×
103)3它不是最简形式,根据发现的规律可作如下运算:
V=(1.1×
103)3=1.14×
(103)3=1.14×
103×
3=1.14×
109=1.331×
109(cm3)
通过上述探究,我们可以发现积的乘方的运算法则:
bn(n为正整数)
积的乘方,等于把积的每一个因式分别乘方,再把所得的幂相乘.
4.积的乘方法则可以进行逆运算.即:
an·
bn=(ab)n(n为正整数)
分析这个等式:
左边是幂的乘积,而且幂指数相同,右边是积的乘方,且指数与左边指数相等,那么可以总结为:
同指数幂相乘,底数相乘,指数不变.
看来这也是降级运算了,即将幂的乘积转化为底数的乘法运算.
对于an·
bn=(a·
b)n(n为正整数)的证明如下:
bn=
─幂的意义
=
──乘法交换律、结合律
=(a·
b)n──乘方的意义
5.[例3]计算
(1)(2x)4=24·
x4=16a4.
(2)(-3ab2c3)2=(-3)2(a)2·
(b2)2(c3)2=9a2·
b4c6.
(学生活动时,老师要深入到学生中,发现问题,及时启发引导,使各个层面的学生都能学有所获)
[师]通过自己的努力,发现了积的乘方的运算法则,并能做简单的应用.可以作如下归纳总结:
1.积的乘方法则:
积的乘方等于每一个因式乘方的积.即(ab)n=an·
bn(n为正整数).
3.积的乘方法则也可以逆用.即an·
bn=(ab)n(n为正整数).
四.随堂练习
1.课本P49练习
(由学生板演或口答)
[师]通过本节课的学习,你有什么新的体会和收获?
1.课本P54习题8.1─1.2题.
七.教学反思
8.1.4同底数幂的除法
一、教学目标
1.同底数幂的除法的运算法则及其应用.
2.同底数幂的除法的运算算理.
经历探索同底数幂的除法的运算法则的过程,会进行同底数幂的除法运算.
经历探索同底数幂的除法运算法则的过程,获得成功的体验,积累丰富的数学经验.
二、教学重点难点
准确熟练地运用同底数幂的除法运算法则进行计算.
根据乘、除互逆的运算关系得出同底数幂的除法运算法则.
(1).提出问题,导入新课
[师]请同学们做如下运算:
(1)35÷
32=()
(2)46÷
43=()
(3)a4÷
a2=()
(4)a5÷
a3=()
再根据第1题的运算,我们很容易得到答案:
(1)33;
(2)43;
(3)a2;
(4)a2.
[师]其实我们用除法的意义也可以解决,请同学们思考、讨论.
[生]
(1)35÷
32=
(2)46÷
43=
a2=
(4)a5÷
a3=
[师]从上述运算能否发现商与除数、被除数有什么关系?
(学生以小组为单位,展开讨论,教师可深入其中,及时发现问题)
[生甲]我们可以发现同底数幂相除,如果还是幂的形式,而且这个幂的底数没有改变.
[生乙]指数有所变化.
(1)3=5-2;
(2)3=6-3;
(3)2=4-2;
(4)2=5-3.所以商的指数应该等于被除数的指数减去除数的指数.
[生丙]这说明同底数幂的除法与同底数幂的乘法的运算法则类似.相同之处是底数不变.不同之处是除法是指数相减,而乘法是指数相加.
[生丁]太对了.那么同底数幂的除法运算法则可以叙述为:
同底数幂相除,底数不变,指数相减.即:
am÷
an=am-n.
[师]同学们总结得很好.但老师还想提一个问题:
对于除法运算,有没有什么特殊要求呢?
[生]对了,对于除法运算应要求除数(或分母)不为零,所以底数不能为零.
[师]下面我们来共同推导同底数幂相除的运算法则:
方法一:
an==am-n
方法二:
根据除法是乘法的逆运算
∵am-n·
an=am-n+n=am
∴am÷
要求同学们理解着记忆同底数幂的除法的运算法则:
同底数幂相除,底数不变,指数相减.
即:
an=am-n(a≠0,m,n都是正整数,并且m>
n)
例题讲解:
1.计算:
(1)x8÷
x2
(2)a4÷
a(3)(ab)5÷
(ab)2
1.解:
(1)x8÷
x2=x8-2=x6.
(2)a4÷
a=a4-1=a3.
(3)(ab)5÷
(ab)2=(ab)5-2=(ab)3=a3b3.
2.先分别利用除法的意义填空,再利用am÷
an=am-n的方法计算,你能得出什么结论?
(1)32÷
(2)103÷
103=()
(3)am÷
an=()(a≠0)
2.解:
先用除法的意义计算.
32÷
32=1103÷
103=1am÷
am=1(a≠0)
再利用am÷
an=am-n的方法计算.
32=32-2=30
103÷
103=103-3=100
am÷
am=am-m=a0(a≠0)
这样可以总结得a0=1(a≠0)
于是规定:
a0=1(a≠0)
任何不等于0的数的0次幂都等于1.
[生]这样的话,我们学习的同底数幂的除法的运算法则就可以扩展到:
an=am-n(a≠0,m、n都是正整数,且m≥n).
[师]说得有理.下面请同学们完成一组闯关训练,看哪一组完成得最出色.
(2),当被除式的指数小于除式的指数时。
计算下列各题:
(1)32÷
35=
(2)104÷
108=(3)am÷
an=(m<n)
对于上面的问题,我们可以象上节课学习m>
n一样解决。
可以通过分数约分,得
(1)32÷
35=
(2)104÷
108=
(3)am÷
an=
(p=n-m)
对于上面的解题过程,我们还可以用另一种方式“同底数幂的除法性质”计算,得
32÷
35=32-3=3-3
104÷
108=104-8=14-4
an=am-n=a-p
师生共同发现:
(a≠0,p是正整数)
任何一个不等于零的数-p(p是正整数)指数幂等于这个数的p指数幂的倒数。
例5计算
(1)106÷
106
(2)
(3)(-2)3÷
(-2)5
四.随堂练习
课本P53练习.
让学生独立运算,然后交流计算心得,从而达到熟悉运算法则的目的.
五.课时小结
这节课大家利用除法的意义及乘、除互逆的运算,揭示了同底数幂的除法的运算规律,并能运用运算法则解决简单的计算问题,积累了一定的数学经验.
六.课后作业
1.课本P55习题8.1.6题.
七.教学反思
8.2.1整式的乘法
(1)
一、教学目标:
1、探索并了解单项式与单项式、单项式与多项式相乘的法则,并运用它们进行运算.
2、让学生主动参与到探索过程中去,逐步形成独立思考、主动探索的习惯,培养思维的批判性、严密性和初步解决问题的愿望与能力.
二、教学重点与难点
重点:
单项式与单项式、单项式与多项式相乘的法则.
难点:
单项式与多项式相乘去括号法则的应用.
三、教学过程
复习引新
1.知识回顾:
回忆幂的运算性质:
an=am+n(m,n都是正整数)
即同底数幂相乘,底数不变,指数相加.
(am)n=amn(m,n都是正整数)
即幂的乘方,底数不变,指数相乘.
(ab)n=anbn(n为正整数)
即积的乘方,等于把积的每一个因式分别乘方,再把所得的幂相乘.
创设情境,引入新课
问题光的速度约为3×
105千米/秒,太阳光照射到地球上1年需要的时间大约是5×
107秒,你知道地球与太阳的距离约是多少千米吗?
注:
从实际的问题导入,让学生自己动手试一试,主动探索,在自己的实践中获得知识,从而构建新的知识体系.
地球与太阳的距离约为(3×
105)×
(5×
107)千米.问题是(3×
107)等于多少呢?
学生提出运用乘法交换律和结合律可以解决:
(3×
107)=(3×
5)×
(105×
107)=15×
1012(为什么?
)
在此处再问学生更加规范的书写是什么?
应该是地球与太阳的距离约为1.5×
lO13千米.
请学生回顾,我们是如何解决问题的.
探究新知
1.问题:
如果将上式中的数字改为字母,即bc5·
abc7,你会算吗?
学生独立思考,小组交流.
从特殊到一般,从具体到抽象,在这一过程中,要注意留给学生探索与交流的空间,让学生在自己的实践中获得单项式与单项式相乘的运算法则.
学生分析:
跟刚才的解决过程类似,可以将bc5和abc7分别看成a·
c5和ab·
c7,再利用乘法交换律和结合律.
bc5·
abc7
=(b·
c5)·
(ab·
c7)
=(a·
b)·
(c5·
=ab2c5+7
=ab2c12
在教学过程中注意运用类比的方法来解决实际问题.
2.试一试:
类似地,请你试着计算:
(1)4x2y·
3xy2;
(2)5abc·
(-3ab)
4x2y和3xy2,5abc和(-3ab)都是单项式,通过刚才的尝试,谁能告诉大家怎样进行单项式乘法?
先不给出单项式与单项式相乘的运算法则,而是让学生类比,自己动手试一试,再相互交流,自己小结出如何进行单项式的乘法.要求学生用语言叙述这个性质,这对于学生提高数学语言的表述能力是有益的.
学生小结:
单项式与单项式相乘,把它们的系数、相同字母分别相乘,对于只在一个单项式里含有的字母,则连同它的指数作为积的一个因式.
3.算一算例1教科书第57页例4
在例题教学中应该先让学生观察有哪些运算,如何利用运算性质和法则。
分析后再动手做,同时让学生说一说每一步的依据.提醒学生在单项式的运算中应该先确定符号.
问题2一个施工队修筑一条路面宽为nm的公路,第一天修筑am长,第二天修筑bm长,第三天修筑cm长,3天共修筑路面的面积是多少?
课同学们看课本58页的图!
将运算法则应用在实际问题中,提高学生解决实际问题的能力.
4.辩一辩教科书第58页练习2
辩一辩的目的是让学生通过对这些判断题的讨论甚至争论,加强对运算法则的掌握,同时也培养学生一定的批判性思维能力.
深入探究
1.师生共同研究教科书第58页的问题,对单项式与多项式相乘的方法能有感性认识.
这个实际问题来源于学生的生活实际,所以在教学中通过师生共同探讨,再结合分配律学生不难得到结论.
单项式与多项式的乘法法则:
单项式与多项式相乘,用用单项式和多项式和每一项分别相乘,再把所得的积相乘。
2.试一试计算:
(-2x)·
(x2-x+1)(根据乘法分配律,不难算出结果吧!
因为整式的运算是在数的运算的基础上发展起来的,所以在解决问题时让学生类比数的运算律,将单项式乘以多项式转化为单项式的乘法,自己尝试得出结论.
四.课堂练习
教科书第58页练习(在学习过程中提醒学生注意符号问题,多项式的每一项都包括它前面的符号)
学生在计算过程中,容易出现符号问题,要特别提醒学生注意.
四.课堂小结
五.课堂作业
教科书第62页习题8.2第4题
六.教学反思
8.2.1整式的乘法
(2)
1、探索并了解多项式与多项式相乘的法则,并运用它们进行运算.
2、让学生主动参与到一些探索过程中去,逐步形成独立思考,主动探索的习惯,培养思维的批判性、严密性和初步解决问题的愿望和能力.
多项式与多项式相乘.
1.前面这节课我们研究了单项式与单项式、单项式与多项式相乘的方法,请
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