高一数学必修公式Word格式文档下载.docx

高一数学必修公式Word格式文档下载.docx

《高一数学必修公式Word格式文档下载.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高一数学必修公式Word格式文档下载.docx（11页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

推导

1.这个就不用推了吧，直接由定义式可得（把定义式中的[n=log（a）（b）]带入a^n=b）

2.

MN=M*N

由基本性质1（换掉M和N）

a^[log（a）（MN）]=a^[log（a）（M）]*a^[log（a）（N）]

由指数的性质

a^[log（a）（MN）]=a^{[log（a）（M）]+[log（a）（N）]}

又因为指数函数是单调函数，所以

log（a）（MN）=log（a）（M）+log（a）（N）

3.与2类似处理

MN=M/N

a^[log（a）（M/N）]=a^[log（a）（M）]/a^[log（a）（N）]

a^[log（a）（M/N）]=a^{[log（a）（M）]-[log（a）（N）]}

log（a）（M/N）=log（a）（M）-log（a）（N）

4.与2类似处理

M^n=M^n

由基本性质1（换掉M）

a^[log（a）（M^n）]={a^[log（a）（M）]}^n

a^[log（a）（M^n）]=a^{[log（a）（M）]*n}

log（a）（M^n）=nlog（a）（M）

其他性质：

性质一：

换底公式

log（a）（N）=log（b）（N）/log（b）（a）

推导如下

N=a^[log（a）（N）]

a=b^[log（b）（a）]

综合两式可得

N={b^[log（b）（a）]}^[log（a）（N）]=b^{[log（a）（N）]*[log（b）（a）]}

又因为N=b^[log（b）（N）]

b^[log（b）（N）]=b^{[log（a）（N）]*[log（b）（a）]}

log（b）（N）=[log（a）（N）]*[log（b）（a）]{这步不明白或有疑问看上面的}

所以log（a）（N）=log（b）（N）/log（b）（a）

性质二：

（不知道什么名字）

log（a^n）（b^m）=m/n*[log（a）（b）]

由换底公式[lnx是log（e）（x）,e称作自然对数的底]

log（a^n）（b^m）=ln（a^n）/ln（b^n）

由基本性质4可得

log（a^n）（b^m）=[n*ln（a）]/[m*ln（b）]=（m/n）*{[ln（a）]/[ln（b）]}

再由换底公式

--------------------------------------------（性质及推导完）

公式三:

log（a）（b）=1/log（b）（a）

证明如下:

由换底公式log（a）（b）=log（b）（b）/log（b）（a）----取以b为底的对数,log（b）（b）=1

=1/log（b）（a）

还可变形得:

log（a）（b）*log（b）（a）=1

平方关系：

sin^2（α）+cos^2（α）=1

tan^2（α）+1=sec^2（α）

cot^2（α）+1=csc^2（α）

·

商的关系：

tanα=sinα/cosαcotα=cosα/sinα

倒数关系：

tanα·

cotα=1

sinα·

cscα=1

cosα·

secα=1

万能公式：

sinα=2tan（α/2）/[1+tan^2（α/2）]

cosα=[1-tan^2（α/2）]/[1+tan^2（α/2）]

tanα=2tan（α/2）/[1-tan^2（α/2）]

常用的诱导公式有以下几组：

公式一：

设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：

sin（2kπ＋α）＝sinα

cos（2kπ＋α）＝cosα

tan（2kπ＋α）＝tanα

cot（2kπ＋α）＝cotα

公式二：

设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：

sin（π＋α）＝－sinα

cos（π＋α）＝－cosα

tan（π＋α）＝tanα

cot（π＋α）＝cotα

公式三：

任意角α与-α的三角函数值之间的关系：

sin（－α）＝－sinα

cos（－α）＝cosα

tan（－α）＝－tanα

cot（－α）＝－cotα

公式四：

利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：

sin（π－α）＝sinα

cos（π－α）＝－cosα

tan（π－α）＝－tanα

cot（π－α）＝－cotα

公式五：

利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：

sin（2π－α）＝－sinα

cos（2π－α）＝cosα

tan（2π－α）＝－tanα

cot（2π－α）＝－cotα

公式六：

π/2±

α及3π/2±

α与α的三角函数值之间的关系：

sin（π/2＋α）＝cosα

cos（π/2＋α）＝－sinα

tan（π/2＋α）＝－cotα

cot（π/2＋α）＝－tanα

sin（π/2－α）＝cosα

cos（π/2－α）＝sinα

tan（π/2－α）＝cotα

cot（π/2－α）＝tanα

sin（3π/2＋α）＝－cosα

cos（3π/2＋α）＝sinα

tan（3π/2＋α）＝－cotα

cot（3π/2＋α）＝－tanα

sin（3π/2－α）＝－cosα

cos（3π/2－α）＝－sinα

tan（3π/2－α）＝cotα

cot（3π/2－α）＝tanα

（以上k∈Z）

一般的最常用公式有:

Sin（A+B）=SinA*CosB+SinB*CosA

Sin（A-B）=SinA*CosB-SinB*CosA

Cos（A+B）=CosA*CosB-SinA*SinB

Cos（A-B）=CosA*CosB+SinA*SinB

Tan（A+B）=（TanA+TanB）/（1-TanA*TanB）

Tan（A-B）=（TanA-TanB）/（1+TanA*TanB）

平方关系：

积的关系：

sinα=tanα*cosα

cosα=cotα*sinα

tanα=sinα*secα

cotα=cosα*cscα

secα=tanα*cscα

cscα=secα*cotα

直角三角形ABC中,

角A的正弦值就等于角A的对边比斜边,

余弦等于角A的邻边比斜边

正切等于对边比邻边,

三角函数恒等变形公式

两角和与差的三角函数：

cos（α+β）=cosα·

cosβ-sinα·

sinβ

cos（α-β）=cosα·

cosβ+sinα·

sin（α±

β）=sinα·

cosβ±

cosα·

tan（α+β）=（tanα+tanβ）/（1-tanα·

tanβ）

tan（α-β）=（tanα-tanβ）/（1+tanα·

辅助角公式：

Asinα+Bcosα=（A^2+B^2）^（1/2）sin（α+t），其中

sint=B/（A^2+B^2）^（1/2）

cost=A/（A^2+B^2）^（1/2）

倍角公式：

sin（2α）=2sinα·

cosα=2/（tanα+cotα）

cos（2α）=cos^2（α）-sin^2（α）=2cos^2（α）-1=1-2sin^2（α）

tan（2α）=2tanα/[1-tan^2（α）]

三倍角公式：

sin（3α）=3sinα-4sin^3（α）

cos（3α）=4cos^3（α）-3cosα

半角公式：

sin（α/2）=±

√（（1-cosα）/2）

cos（α/2）=±

√（（1+cosα）/2）

tan（α/2）=±

√（（1-cosα）/（1+cosα））=sinα/（1+cosα）=（1-cosα）/sinα

降幂公式

sin^2（α）=（1-cos（2α））/2=versin（2α）/2

cos^2（α）=（1+cos（2α））/2=vercos（2α）/2

tan^2（α）=（1-cos（2α））/（1+cos（2α））

积化和差公式：

cosβ=（1/2）[sin（α+β）+sin（α-β）]

sinβ=（1/2）[sin（α+β）-sin（α-β）]

cosβ=（1/2）[cos（α+β）+cos（α-β）]

sinβ=-（1/2）[cos（α+β）-cos（α-β）]

和差化积公式：

sinα+sinβ=2sin[（α+β）/2]cos[（α-β）/2]

sinα-sinβ=2cos[（α+β）/2]sin[（α-β）/2]

cosα+cosβ=2cos[（α+β）/2]cos[（α-β）/2]

cosα-cosβ=-2sin[（α+β）/2]sin[（α-β）/2]

其他：

sinα+sin（α+2π/n）+sin（α+2π*2/n）+sin（α+2π*3/n）+……+sin[α+2π*（n-1）/n]=0

cosα+cos（α+2π/n）+cos（α+2π*2/n）+cos（α+2π*3/n）+……+cos[α+2π*（n-1）/n]=0以及

sin^2（α）+sin^2（α-2π/3）+sin^2（α+2π/3）=3/2

tanAtanBtan（A+B）+tanA+tanB-tan（A+B）=0

部分高等内容

高等代数中三角函数的指数表示（由泰勒级数易得）：

sinx=[e^（ix）-e^（-ix）]/（2i）

cosx=[e^（ix）+e^（-ix）]/2

tanx=[e^（ix）-e^（-ix）]/[ie^（ix）+ie^（-ix）]

泰勒展开有无穷级数，e^z=exp（z）＝1＋z/1！

＋z^2/2！

＋z^3/3！

＋z^4/4！

＋…＋z^n/n！

＋…

此时三角函数定义域已推广至整个复数集。

三角函数作为微分方程的解：

对于微分方程组y=-y'

'

;

y=y'

，有通解Q,可证明

Q=Asinx+Bcosx，因此也可以从此出发定义三角函数。

补充：

由相应的指数表示我们可以定义一种类似的函数——双曲函数，其拥有很多与三角函数的类似的性质，二者相映成趣。

特殊三角函数值

a0`30`45`60`90`

sina01/2√2/2√3/21

cosa1√3/2√2/21/20

tana0√3/31√3None

cotaNone√31√3/30

三角函数的计算

幂级数

c0+c1x+c2x2+...+cnxn+...=∑cnxn（n=0..∞）

c0+c1（x-a）+c2（x-a）2+...+cn（x-a）n+...=∑cn（x-a）n（n=0..∞）

它们的各项都是正整数幂的幂函数,其中c0,c1,c2,...及a都是常数,这种级数称为幂级数.

泰勒展开式（幂级数展开法）:

f（x）=f（a）+f'

（a）/1!

*（x-a）+f'

（a）/2!

*（x-a）2+...f（n）（a）/n!

*（x-a）n+...

实用幂级数：

ex=1+x+x2/2!

+x3/3!

+...+xn/n!

+...

ln（1+x）=x-x2/3+x3/3-...（-1）k-1*xk/k+...（|x|<

1）

sinx=x-x3/3!

+x5/5!

-...（-1）k-1*x2k-1/（2k-1）!

+...（-∞<

x<

∞）

cosx=1-x2/2!

+x4/4!

-...（-1）k*x2k/（2k）!

arcsinx=x+1/2*x3/3+1*3/（2*4）*x5/5+...（|x|<

arccosx=π-（x+1/2*x3/3+1*3/（2*4）*x5/5+...）（|x|<

arctanx=x-x^3/3+x^5/5-...（x≤1）

sinhx=x+x3/3!

+...（-1）k-1*x2k-1/（2k-1）!

coshx=1+x2/2!

+...（-1）k*x2k/（2k）!

arcsinhx=x-1/2*x3/3+1*3/（2*4）*x5/5-...（|x|<

arctanhx=x+x^3/3+x^5/5+...（|x|<

--------------------------------------------------------------------------------

傅立叶级数（三角级数）

f（x）=a0/2+∑（n=0..∞）（ancosnx+bnsinnx）

a0=1/π∫（π..-π）（f（x））dx

an=1/π∫（π..-π）（f（x）cosnx）dx

bn=1/π∫（π..-π）（f（x）sinnx）dx

注意：

正切也可以表示为“Tg”如：

TanA=TgA

Sin2a=2SinaCosa

Cos2a=Cosa^2-Sina^2

=1-2Sina^2

=2Cosa^2-1

三角函数公式

两角和公式

sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinBsin（A-B）=sinAcosB-sinBcosA

cos（A+B）=cosAcosB-sinAsinBcos（A-B）=cosAcosB+sinAsinB

tan（A+B）=（tanA+tanB）/（1-tanAtanB）tan（A-B）=（tanA-tanB）/（1+tanAtanB）

ctg（A+B）=（ctgActgB-1）/（ctgB+ctgA）ctg（A-B）=（ctgActgB+1）/（ctgB-ctgA）

倍角公式

tan2A=2tanA/（1-tan2A）ctg2A=（ctg2A-1）/2ctga

cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a

半角公式

sin（A/2）=√（（1-cosA）/2）sin（A/2）=-√（（1-cosA）/2）

cos（A/2）=√（（1+cosA）/2）cos（A/2）=-√（（1+cosA）/2）

tan（A/2）=√（（1-cosA）/（（1+cosA））tan（A/2）=-√（（1-cosA）/（（1+cosA））

ctg（A/2）=√（（1+cosA）/（（1-cosA））ctg（A/2）=-√（（1+cosA）/（（1-cosA））

和差化积

2sinAcosB=sin（A+B）+sin（A-B）2cosAsinB=sin（A+B）-sin（A-B）

2cosAcosB=cos（A+B）-sin（A-B）-2sinAsinB=cos（A+B）-cos（A-B）

sinA+sinB=2sin（（A+B）/2）cos（（A-B）/2cosA+cosB=2cos（（A+B）/2）sin（（A-B）/2）

tanA+tanB=sin（A+B）/cosAcosBtanA-tanB=sin（A-B）/cosAcosB

ctgA+ctgBsin（A+B）/sinAsinB-ctgA+ctgBsin（A+B）/sinAsinB

某些数列前n项和

1+2+3+4+5+6+7+8+9+…+n=n（n+1）/21+3+5+7+9+11+13+15+…+（2n-1）=n2

2+4+6+8+10+12+14+…+（2n）=n（n+1）12+22+32+42+52+62+72+82+…+n2=n（n+1）（2n+1）/6

13+23+33+43+53+63+…n3=n2（n+1）2/41*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7+…+n（n+1）=n（n+1）（n+2）/3

正弦定理a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R注：

其中R表示三角形的外接圆半径

余弦定理b2=a2+c2-2accosB注：

角B是边a和边c的夹角

弧长公式l=a*ra是圆心角的弧度数r>

0扇形面积公式s=1/2*l*r

乘法与因式分a2-b2=（a+b）（a-b）a3+b3=（a+b）（a2-ab+b2）a3-b3=（a-b（a2+ab+b2）

三角不等式|a+b|≤|a|+|b||a-b|≤|a|+|b||a|≤b<

=>

-b≤a≤b

|a-b|≥|a|-|b|-|a|≤a≤|a|

一元二次方程的解-b+√（b2-4ac）/2a-b-√（b2-4ac）/2a

根与系数的关系X1+X2=-b/aX1*X2=c/a注：

韦达定理

判别式

b2-4ac=0注：

方程有两个相等的实根

b2-4ac>

0注：

方程有两个不等的实根

b2-4ac<

方程没有实根，有共轭复数根

（sin^2）x=1-cos2x/2

（cos^2）x=i=cos2x/2

万能公式

令tan（a/2）=t

sina=2t/（1+t^2）

cosa=（1-t^2）/（1+t^2）