高中数学 B版笔记 人教版Word下载.docx
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显然.得不到最小值为.④或(舍),.⑤错误命题是③⑤.
[例3]函数f(x)=的值域为______________.错解:
令后忽视,从而正解:
[例4](06年高考江苏卷)=
【思路点拨】本题考查三角公式的记忆及熟练运用三角公式计算求值解:
==【解后反思】方法不拘泥,要注意灵活运用,在求三角的问题中,要注意这样的口决"
三看"
即
(1)看角,把角尽量向特殊角或可计算角转化,
(2)看名称,把一道等式尽量化成同一名称或相近的名称,例如把所有的切都转化为相应的弦,或把所有的弦转化为相应的切,(3)看式子,看式子是否满足三角函数的公式.如果满足直接使用,如果不满足转化一下角或转换一下名称,就可以使用.
[例5]在锐角△ABC中,A<B<C,且B=60°
=,求证:
a+
解:
∵B=60°
∴A+C=120°
cos(A+C)=-
又由已知= ∵锐角△ABC中,cosA>0,cosC>0,
∴cosAcosC=sinAsinC=
∴cos(C-A)=即C-A=30°
∴A=45°
B=60°
C=75°
∴a+b=2R(sin45°
+sin60°
)=2·
2R=2·
2Rsin75°
=2c
[例6]如图,在平面有点A、B、P、Q,其中,设△APB与△PQB面积为S、T,求S2+T2的取值范围.
设∠BAP=αα∈[0,]
∠BQP=β,在△PAB,△PBQ中
由余弦定理cosβ=cosα-1
∴S2+T2=(sinα)2+(sinβ)2
=-(cos-)2+
∴当cosα=1时,S2+T2有最小值
当cosα=时,S2+T2有最大值
[例7]已知函数f(x)=sin(?
x+?
),x?
R,(其中?
0)的图像与x轴在原点右侧的第一个交点为N(6,0),又f(2+x)=f(2-x),f(0)0,求这个函数的解析式.
f(2+x)=f(2-x)
f(x)关于x=2对称,又x轴在原点右侧的第一个交点为N(6,0)
=6-2=4,即T=16,=.
将N(6,0)代入f(x)=sin(x+?
)得:
sin(+?
)=0,
得:
?
=2k+或?
=2k+(k?
Z),
f(0)0,?
Z),满足条件的最小正数?
=,
所求解析式f(x)=sin(x+).
[例8]已知△ABC的周长为6,成等比数列,求
(1)△ABC的面积S的最大值;
(2)的取值范围.
解设依次为a,b,c,则a+b+c=6,b2=ac,
由余弦定理得,
故有,又从而
(1)所以,即
(2)所以,四、典型习题导练
1.在Rt△ABC中,C=90°
则sinAcos2(45°
-)-sincos
A.有最大值和最小值0B.有最大值但无最小值
C.即无最大值也无最小值D.有最大值但无最小值
2.要得到y=sin2x的图像,只需将y=cos(2x-)的图像()
A.向右平移B.向左平移C.向右平移D.向左平移
3.电流强度I(安)随时间t(秒)变化的函数
I=的图像如图
所示,则当秒时,电流强度是安.
4.在△ABC中,sin=,则△ABC的形状为.
5.直角三角形的周长为定值2l,则斜边的最小值是.
6.如果方程x2-4xcosθ+2=0与方程2x2+4xsin2θ-1=0有一根,互为倒数求θ值,其中0<θ<π.
7.如图,已知一半径为1,圆心角为的扇形中,有一个一边在半经上的内接矩形ABCD,
求该矩形的最大面积.
8.在分别是角A、B、C的对边,设,求sinB的值.
第二章数列
2.1数列概念
知识清单
1.数列的概念
(1)数列定义:
按一定次序排列的一列数叫做数列;
数列中的每个数都叫这个数列的项。
记作,在数列第一个位置的项叫第1项(或首项),在第二个位置的叫第2项,......,序号为的项叫第项(也叫通项)记作;
数列的一般形式:
,,,......,,......,简记作。
(2)通项公式的定义:
如果数列的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示,那么这个公式就叫这个数列的通项公式。
例如,数列①的通项公式是=(7,),
数列②的通项公式是=()。
说明:
①表示数列,表示数列中的第项,=表示数列的通项公式;
②同一个数列的通项公式的形式不一定唯一。
例如,==;
③不是每个数列都有通项公式。
例如,1,1.4,1.41,1.414,......
(3)数列的函数特征与图象表示:
序号:
123456
项:
456789
上面每一项序号与这一项的对应关系可看成是一个序号集合到另一个数集的映射。
从函数观点看,数列实质上是定义域为正整数集(或它的有限子集)的函数当自变量从1开始依次取值时对应的一系列函数值......,,.......通常用来代替,其图象是一群孤立点。
(4)数列分类:
①按数列项数是有限还是无限分:
有穷数列和无穷数列;
②按数列项与项之间的大小关系分:
单调数列(递增数列、递减数列)、常数列和摆动数列。
(5)递推公式定义:
如果已知数列的第1项(或前几项),且任一项与它的前一项(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示,那么这个公式就叫做这个数列的递推公式。
(6)数列{}的前项和与通项的关系:
课前预习
1.根据数列前4项,写出它的通项公式:
(1)1,3,5,7......;
(2),,,;
(3),,,。
2.数列中,已知,
(1)写出,,;
(2)是否是数列中的项?
若是,是第几项?
3.如图,一粒子在区域上运动,在第一秒内它从原点运动到点,接着按图中箭头所示方向在x轴、y轴及其平行方向上运动,且每秒移动一个单位长度。
(1)设粒子从原点到达点时,所经过的时间分别为,试写出的通相公式;
(2)求粒子从原点运动到点时所需的时间;
(3)粒子从原点开始运动,求经过2004秒后,它所处的坐标。
4.
(1)已知数列适合:
,,写出前五项并写出其通项公式;
(2)用上面的数列,通过等式构造新数列,写出,并写出的前5项。
5.(05广东,14)设平面内有条直线,其中有且仅有两条直线互相平行,任意三条直线不过同一点.若用表示这条直线交点的个数,则=____________;
当时,(用表示)。
6.(2003京春理14,文15)在某报《自测健康状况》的报道中,自测血压结果与相应年龄的统计数据如下表.观察表中数据的特点,用适当的数填入表中空白(_____)内。
2.2等差数列
1、等差数列定义:
一般地,如果一个数列从第项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母表示。
用递推公式表示为或。
2、等差数列的通项公式:
;
等差数列(通常可称为数列)的单调性:
为递增数列,为常数列,为递减数列。
3、等差中项的概念:
定义:
如果,,成等差数列,那么叫做与的等差中项。
其中,,成等差数列。
4、等差数列的前和的求和公式:
。
5、等差数列的性质:
(1)在等差数列中,从第2项起,每一项是它相邻二项的等差中项;
(2)在等差数列中,相隔等距离的项组成的数列是,
如:
,,,,......;
(3)在等差数列中,对任意,,,;
(4)在等差数列中,若,,,且,则;
设数列是等差数列,且公差为,
(Ⅰ)若项数为偶数,设共有项,则①奇偶;
②;
(Ⅱ)若项数为奇数,设共有项,则①偶奇;
②。
6、数列最值
(1),时,有最大值;
,时,有最小值;
(2)最值的求法:
①若已知,可用二次函数最值的求法();
②若已知,则最值时的值()可如下确定或。
1.(01天津理,2)设Sn是数列{an}的前n项和,且Sn=n2,则{an}是()
A.等比数列,但不是等差数列B.等差数列,但不是等比数列
C.等差数列,而且也是等比数列D.既非等比数列又非等差数列
2.(06全国I)设是公差为正数的等差数列,若,,则()
A.B.C.D.
3.(02京)若一个等差数列前3项的和为34,最后3项的和为146,且所有项的和为390,则这个数列有()
A.13项B.12项C.11项D.10项
4.(01全国理)设数列{an}是递增等差数列,前三项的和为12,前三项的积为48,则它的首项是()
A.1B.2C.4D.6
5.(06全国II)设Sn是等差数列{an}的前n项和,若=,则=
A.B.C.D.
6.(00全国)设{an}为等差数列,Sn为数列{an}的前n项和,已知S7=7,S15=75,Tn为数列{}的前n项和,求Tn。
7.(98全国)已知数列{bn}是等差数列,b1=1,b1+b2+...+b10=100.
(Ⅰ)求数列{bn}的通项bn;
(Ⅱ)设数列{an}的通项an=lg(1+),记Sn是数列{an}的前n项和,试比较Sn与lgbn+1的大小,并证明你的结论。
8.(02上海)设{an}(n∈N*)是等差数列,Sn是其前n项的和,且S5<S6,S6=S7>S8,则下列结论错误的是()
A.d<0B.a7=0C.S9>S5D.S6与S7均为Sn的最大值
9.(94全国)等差数列{an}的前m项和为30,前2m项和为100,则它的前3m项和为()
A.130B.170C.210D.260
疑难知识导析
1.数列的概念应注意几点:
(1)数列中的数是按一定的次序排列的,如果组成的数相同而排列次序不同,则就是不同的数列;
(2)同一数列中可以出现多个相同的数;
(3)数列看做一个定义域为正整数集或其有限子集({1,2,3,...,n})的函数.
2.一个数列的通项公式通常不是唯一的.
3.数列{an}的前n项的和Sn与an之间的关系:
若a1适合an(n2),则不用分段形式表示,切不可不求a1而直接求an.
4.从函数的角度考查等差数列的通项公式:
an=a1+(n-1)d=d·
n+a1-d,an是关于n的一次式;
从图像上看,表示等差数列的各点(n,)均匀排列在一条直线上,由两点确定一条直线的性质,不难得出,任两项可以确定一个等差数列.
5、对等差数列的前n项之和公式的理解:
等差数列的前n项之和公式可变形为,若令A=,B=a1-,则=An2+Bn.
6、在解决等差数列问题时,如已知,a1,an,d,,n中任意三个,可求其余两个。
经典例题导讲
[例1]已知数列1,4,7,10,...,3n+7,其中后一项比前一项大3.
(1)指出这个数列的通项公式;
(2)指出1+4+...+(3n-5)是该数列的前几项之和.
(1)an=3n+7;
(2)1+4+...+(3n-5)是该数列的前n项之和.
误把最后一项(含n的代数式)看成了数列的通项.
(1)若令n=1,a1=101,显然3n+7不是它的通项.
(1)an=3n-2;
(2)1+4+...+(3n-5)是该数列的前n-1项的和.
[例2]已知数列的前n项之和为①②
求数列的通项公式。
①②错因:
在对数列概念的理解上,仅注意了an=Sn-Sn-1与的关系,没注意a1=S1.
①当时,当时,经检验时也适合,
②当时,当时,∴
[例3]已知等差数列的前n项之和记为Sn,S10=10,S30=70,则S40等于。
S30=S10·
2d.d=30,S40=S30+d=100.
将等差数列中Sm,S2m-Sm,S3m-S2m成等差数列误解为Sm,S2m,S3m成等差数列.
由题意:
得
代入得S40=。
[例4]等差数列、的前n项和为Sn、Tn.若求;
因为等差数列的通项公式是关于n的一次函数,故由题意令an=7n+1;
bn=4n+27.
误认为正解:
[例5]已知一个等差数列的通项公式an=25-5n,求数列的前n项和;
由an0得n5
前5项为非负,从第6项起为负,
Sn=a1+a2+a3+a4+a5=50(n5)
当n6时,Sn=|a6|+|a7|+|a8|+...+|an|=
Sn=
一、把n5理解为n=5,二、把"
前n项和"
误认为"
从n6起"
的和.正解:
[例6]已知一个等差数列的前10项的和是310,前20项的和是1220,
由此可以确定求其前项和的公式吗?
理由如下:
由题设:
∴
[例7]已知:
()
(1)问前多少项之和为最大?
(2)前多少项之和的绝对值最小?
(1)∴
(2)当近于0时其和绝对值最小
令:
即1024+得:
∵∴
[例8]项数是的等差数列,中间两项为是方程的两根,求证此数列的和是方程的根。
()
证明:
依题意
∵∴∵∴∴(获证)。
典型习题导练
1.已知,求及。
2.设,求证:
3.求和:
4.求和:
5.已知依次成等差数列,求证:
依次成等差数列.
6.在等差数列中,,则()。
A.72
B.60
C.48
D.36
7.已知是等差数列,且满足,则等于________。
8.已知数列成等差数列,且,求的值。
2.3等比数列
1.等比数列定义
一般地,如果一个数列从第二项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数,那么这个数列就叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比;
公比通常用字母表示,即:
:
数列对于数列
(1)
(2)(3)都是等比数列,它们的公比依次是2,5,。
(注意:
"
从第二项起"
、"
常数"
、等比数列的公比和项都不为零)
2.等比数列通项公式为:
(1)由等比数列的通项公式可以知道:
当公比时该数列既是等比数列也是等差数列;
(2)等比数列的通项公式知:
若为等比数列,则。
3.等比中项
如果在中间插入一个数,使成等比数列,那么叫做的等比中项(两个符号相同的非零实数,都有两个等比中项)。
4.等比数列前n项和公式
一般地,设等比数列的前n项和是,当时,或;
当q=1时,(错位相减法)。
(1)和各已知三个可求第四个;
(2)注意求和公式中是,通项公式中是不要混淆;
(3)应用求和公式时,必要时应讨论的情况。
5.等比数列的性质
①等比数列任意两项间的关系:
如果是等比数列的第项,是等差数列的第项,且,公比为,则有;
②对于等比数列,若,则,也就是:
,如图所示:
③若数列是等比数列,是其前n项的和,,那么,,成等比数列。
如下图所示:
1.在等比数列中,,则
2.和的等比中项为().
3.在等比数列中,,,求,
4.在等比数列中,和是方程的两个根,则()
5.在等比数列,已知,,求.
6.(2006年辽宁卷)在等比数列中,,前项和为,若数列也是等比数列,则等于()
A.B.C.D.
7.(2006年北京卷)设,则等于()
A.B.C.D.
8.(1996全国文,21)设等比数列{an}的前n项和为Sn,若S3+S6=2S9,求数列的公比q;
9.(2005江苏3)在各项都为正数的等比数列{an}中,首项a1=3,前三项和为21,则a3+a4+a5=()
(A)33(B)72(C)84(D)189
10.(2000上海,12)在等差数列{an}中,若a10=0,则有等式a1+a2+...+an=a1+a2+...+a19-n(n<19,n∈N成立.类比上述性质,相应地:
在等比数列{bn}中,若b9=1,则有等式成立。
1.由于等比数列的每一项都可能作分母,故每一项均不为0,因此q也不为0.
2.对于公比q,要注意它是每一项与它前一项的比,防止把相邻两项的比的次序颠倒.
3."
从第2项起"
是因为首项没有"
前一项"
,同时应注意如果一个数列不是从第2项起,而是从第3项或第4项起每一项与它前一项的比都是同一个常数,此数列不是等比数列,这时可以说此数列从.第2项或第3项起是一个等比数列.
4.在已知等比数列的a1和q的前提下,利用通项公式an=a1qn-1,可求出等比数列中的任一项.
5.在已知等比数列中任意两项的前提下,使用an=amqn-m可求等比数列中任意一项.
6.等比数列{an}的通项公式an=a1qn-1可改写为.当q0,且q1时,y=qx是一个指数函数,而是一个不为0 的常数与指数函数的积,因此等比数列{an}的图象是函数的图象上的一群孤立的点.
7.在解决等比数列问题时,如已知,a1,an,d,,n中任意三个,可求其余两个。
[例1]已知数列的前n项之和Sn=aqn(为非零常数),则为( )。
A.等差数列
B.等比数列
C.既不是等差数列,也不是等比数列
D.既是等差数列,又是等比数列错解:
(常数)
为等比数列,即B。
忽略了中隐含条件n>1.
当n=1时,a1=S1=aq;
当n1时,
(常数)但既不是等差数列,也不是等比数列,选C。
[例2]已知等比数列的前n项和记为Sn,S10=10,S30=70,则S40等于.
q2.q2=7,q=,S40=S30·
q=.
是将等比数列中Sm,S2m-Sm,S3m-S2m成等比数列误解为Sm,S2m,S3m成等比数列.
得,
S40=.
[例3]求和:
a+a2+a3+...+an.
a+a2+a3+...+an=.
是
(1)数列{an}不一定是等比数列,不能直接套用等比数列前n项和公式
(2)用等比数列前n项和公式应讨论q是否等于1.
当a=0时,a+a2+a3+...+an=0;
当a=1时,a+a2+a3+...+an=n;
当a1时,a+a2+a3+...+an=.
[例4]设均为非零实数,,
求证:
成等比数列且公比为。
证法一:
关于的二次方程有实根,
∴,∴
则必有:
,即,∴非零实数成等比数列
设公比为,则,代入
∵,即,即。
证法二:
∵∴∴,∴,且
∵非零,∴。
[例5]在等比数列中,,求该数列前7项之积。
∵,∴前七项之积
[例6]求数列前n项和
①②两式相减:
[例7]从盛有质量分数为20%的盐水2kg的容器中倒出1kg盐水,然后加入1kg水,以后每次都倒出1kg盐水,然后再加入1kg水,
问:
(1)第5次倒出的的1kg盐水中含盐多kg?
(2)经6次倒出后,一共倒出多少kg盐?
此时加1kg水后容器内盐水的盐的质量分数为多少?
(1)每次倒出的盐的质量所成的数列为{an},则:
a1=0.2(kg),a2=×
0.2(kg),a3=()2×
0.2(kg)
由此可见:
an=()n?
1×
0.2(kg),a5=()5?
0.2=()4×
0.2=0.0125(kg)。
(2)由
(1)得{an}是等比数列a1=0.2,q=
答:
第5次倒出的的1kg盐水中含盐0.0125kg;
6次倒出后,一共倒出0.39375kg盐,此时加1kg水后容器内盐水的盐的质量分数为0.003125。
1.求下列各等比数列的通项公式:
1)a1=?
2,a3=?
8
2)a1=5,且2an+1=?
3an
3)a1=5,且
2.在等比数列,已知,,求.
3.已知无穷数列,
(1)这个数列成等比数列
(2)这个数列中的任一项是它后面第五项的,
(3)这个数列的任意两项的积仍在这个数列中。
4.设数列为求此数列前项的和。
5.已知数列{an}中,a1=?
2且an+1=Sn,求an,Sn
6.是否存在数列{an},其前项和Sn组成的数列{Sn}也是等比数列,且公比相同?
7.在等比数列中,,求的范围。
2.3数列通项与求和
1.数列求通项与和
(1)数列前n项和Sn与通项an的关系式:
an=。
(2)求通项常用方法
①作新数列法。
作等差数列与等比数列;
②累差叠加法。
最基本的形式是:
an=(an-an-1)+(an-1+an-2)+...+(a2-a1)+a1;
③归纳、猜想法。
(3)数列前n项和
①重要公式:
1+2+...+n=n(n+1);
12+22+...+n2=n(n+1)(2n+1);
13+23+...+n3=(1+2+...+n)2=n2(n+1)2;
②等差数列中,Sm+n=Sm+Sn+mnd;
③等比数列中,Sm+n=Sn+qnSm=Sm+qmSn;
④裂项求和
将数列的通项分成两个式子的代数和,即an=f(n+1)-f(n),然后累加抵消掉中间的许多项,这种先裂后消的求和法叫裂项求和法。
用裂项法求和,需要掌握一些常见的裂项,如:
、=-、n·
n!
=(n+1)!
-n!
、Cn-1r-1=Cnr-Cn-1r、=-等。
⑤错项相消法
对一个由等差数列及等比数列对应项之积组成的数列的前n项和,常用错项相消法。
其中是等差数列,是等比数列,记,则,...
⑥并项求和
把数列的某些项放在一起先求和,然后再求Sn。
数列求通项及和的方法多种多样,要视具体情形选用合适方法。
⑦通项分解法:
2.递归数列
数列的连续若干项满足的等量关系an+k=f(an+k-1,an+k-2,...,an)称为数列的递归关系。
由递归关系及k个初始值可以确
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