中学数学第十二章 第1节 合情推理与演绎推理Word文档下载推荐.docx
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(4)演绎推理是在大前提、小前提和推理形式都正确时,得到的结论一定正确.
答案
(1)×
(2)√ (3)×
(4)×
2.(选修2-2P84A3改编)对于任意正整数n,2n与n2的大小关系为( )
A.当n≥2时,2n≥n2B.当n≥3时,2n≥n2
C.当n≥4时,2n≥n2D.当n≥5时,2n≥n2
解析 当n=2时,2n=n2;
当n=3时,2n<
n2;
当n=4时,2n=n2;
当n=5时,2n>
归纳判断,当n≥4时,2n≥n2.故选C.
答案 C
3.(选修2-2P84A5改编)在等差数列{an}中,若a10=0,则有a1+a2+…+an=a1+a2+…+a19-n(n<
19,且n∈N*)成立.类比上述性质,在等比数列{bn}中,若b9=1,则存在的等式为________.
解析 根据类比推理的特点可知:
等比数列和等差数列类比,在等差数列中是和,在等比数列中是积,故有b1b2…bn=b1b2…b17-n(n<
17,且n∈N*).
答案 b1b2…bn=b1b2…b17-n(n<
17,且n∈N*)
4.(2019·
淄博一模)有一段“三段论”推理是这样的:
对于可导函数f(x),若f′(x0)=0,则x=x0是函数f(x)的极值点,因为f(x)=x3在x=0处的导数值为0,所以x=0是f(x)=x3的极值点,以上推理( )
A.大前提错误B.小前提错误
C.推理形式错误D.结论正确
解析 大前提是“对于可导函数f(x),若f′(x0)=0,则x=x0是函数f(x)的极值点”,不是真命题,因为对于可导函数f(x),如果f′(x0)=0,且满足在x0附近左右两侧导函数值异号,那么x=x0才是函数f(x)的极值点,所以大前提错误.故选A.
答案 A
5.(2018·
大连模拟)数列2,5,11,20,x,…中的x等于________.
解析 由5-2=3,11-5=6,20-11=9,推出x-20=12,故x=32.
答案 32
6.(2019·
西安二模)将正整数1,2,3,4,…按如图所示的方式排成三角形数组,则第10行左数第10个数为________.
解析 由三角形数组可推断出,第n行共有2n-1个数,且最后一个数为n2,所以第10行共19个数,最后一个数为100,左数第10个数是91.
答案 91
考点一 归纳推理
多维探究
角度1 与图形变化有关的推理
【例1-1】(2018·
石家庄模拟)某种树的分枝生长规律如图所示,第1年到第5年的分枝数分别为1,1,2,3,5,则预计第10年树的分枝数为________.
解析 由2=1+1,3=1+2,5=2+3知,从第三项起,每一项都等于前两项的和,则第6年为8,第7年为13,第8年为21,第9年为34,第10年为55.
答案 55
角度2 与数字或式子有关的推理
【例1-2】(2019·
安阳一模)如图,将平面直角坐标系的格点(横、纵坐标均为整数的点)按如下规则标上数字标签:
原点处标0,点(1,0)处标1,点(1,-1)处标2,点(0,-1)处标3,点(-1,-1)处标4,点(-1,0)处标5,点(-1,1)处标6,点(0,1)处标7,……,以此类推,则标20192的格点的坐标为( )
A.(1010,1009)B.(1009,1008)
C.(2019,2018)D.(2018,2017)
解析 点(1,0)处标1,即12;
点(2,1)处标9,即32;
点(3,2)处标25,即52;
……,由此推断点(n+1,n)处标(2n+1)2,当2n+1=2019时,n=1009,故标20192的格点的坐标为(1010,1009).故选A.
规律方法 归纳推理问题的常见类型及解题策略
常见类型
解题策略
与数字有关的等式的推理
观察数字特点,找出等式左右两侧的规律及符号可解
与式子有关的推理
观察每个式子的特点,找到规律后可解
与图形变化有关的推理
合理利用特殊图形归纳推理得出结论,并用赋值检验法验证其真伪性
【训练1】
(1)如图所示,是某小朋友在用火柴拼图时呈现的图形,其中第1个图形用了3根火柴,第2个图形用了9根火柴,第3个图形用了18根火柴,…,则第2018个图形用的火柴根数为( )
A.2014×
2017B.2015×
2016
C.3024×
2018D.3027×
2019
(2)对大于或等于2的自然数m的n次方幂有如下分解方式:
22=1+3;
32=1+3+5;
42=1+3+5+7;
23=3+5;
33=7+9+11;
43=13+15+17+19.
根据上述分解规律,则52=1+3+5+7+9,若m3(m∈N*)的分解中最小的数是73,则m的值为________.
解析
(1)由题意,第1个图形需要火柴的根数为3×
1;
第2个图形需要火柴的根数为3×
(1+2);
第3个图形需要火柴的根数为3×
(1+2+3);
…
由此,可以推出第n个图形需要火柴的根数为3×
(1+2+3+…+n).
所以第2018个图形所需火柴的根数为3×
(1+2+3+…+2018)=3×
=3027×
2019.
(2)根据23=3+5,33=7+9+11,43=13+15+17+19,从23起,m3的分解规律恰为数列3,5,7,9…中若干连续项之和,23为前两项和,33为接下来三项和,故m3的首个数为m2-m+1.因为m3(m∈N*)的分解中最小的数是73,所以m2-m+1=73,解得m=9.
答案
(1)D
(2)9
考点二 类比推理
【例2】
(1)我国古代数学名著《九章算术》中割圆术有:
“割之弥细,所失弥少,割之又割,以至于不可割,则与圆周合体而无所失矣.”其体现的是一种无限与有限的转化过程,比如在
中“…”即代表无限次重复,但原式却是个定值x,这可以通过方程
=x确定出来x=2,类似地不难得到1+
=( )
A.
B.
C.
D.
(2)若点P0(x0,y0)在椭圆
+
=1(a>
b>
0)外,过点P0作该椭圆的两条切线,切点分别为P1,P2,则切点弦P1P2所在直线的方程为
=1.那么对于双曲线
-
0,b>
0),类似地,可以得到一个正确的切点弦方程为________.
解析
(1)令1+
=x(x>
0),即1+
=x,即x2-x-1=0,解得x=
(x=
舍),故1+
=
,故选C.
(2)若点P0(x0,y0)在双曲线
0)外,过点P0作该双曲线的两条切线,切点分别为P1,P2,则切点弦P1P2所在直线的方程为
=1.
答案
(1)C
(2)
=1
规律方法 1.进行类比推理,应从具体问题出发,通过观察、分析、联想进行类比,提出猜想.其中找到合适的类比对象是解题的关键.
2.类比推理常见的情形有平面与空间类比;
低维的与高维的类比;
等差数列与等比数列类比;
数的运算与向量的运算类比;
圆锥曲线间的类比等.
【训练2】
(1)(2018·
孝感模拟)二维空间中,圆的一维测度(周长)l=2πr,二维测度(面积)S=πr2,三维空间中,球的二维测度(表面积)S=4πr2,三维测度(体积)V=
πr3,应用合情推理,若四维空间中,“超球”的三维测度V=8πr3,则其四维测度W=( )
A.2πr4B.3πr4C.4πr4D.6πr4
(2)在平面上,设ha,hb,hc是△ABC三条边上的高,P为三角形内任一点,P到相应三边的距离分别为Pa,Pb,Pc,我们可以得到结论:
=1.把它类比到空间,则三棱锥中的类似结论为______________________________________.
解析
(1)二维空间中,圆的一维测度(周长)l=2πr,二维测度(面积)S=πr2,(πr2)′=2πr,三维空间中,球的二维测度(表面积)S=4πr2,三维测度(体积)V=
πr3,
′=4πr2,四维空间中,“超球”的三维测度V=8πr3,
∵(2πr4)′=8πr3,
∴“超球”的四维测度W=2πr4,故选A.
(2)设ha,hb,hc,hd分别是三棱锥A-BCD四个面上的高,P为三棱锥A-BCD内任一点,P到相应四个面的距离分别为Pa,Pb,Pc,Pd,于是可以得出结论:
答案
(1)A
(2)
考点三 演绎推理
角度1 与逻辑推理有关的问题
【例3-1】
(1)(2018·
石家庄一模)甲、乙、丙三位同学,其中一位是班长,一位是体育委员,一位是学习委员,已知丙的年龄比学委大,甲与体委的年龄不同,体委比乙的年龄小.据此推断班长是________.
(2)2019年夏季大美青海又迎来了旅游热,甲、乙、丙三位游客被询问是否去过陆心之海青海湖,海北百里油菜花海,茶卡天空之境三个地方时,
甲说:
我去过的地方比乙多,但没去过海北百里油菜花海;
乙说:
我没去过茶卡天空之境;
丙说:
我们三人去过同一个地方.
由此可判断乙去过的地方为________.
解析
(1)根据“甲与体委的年龄不同,体委比乙的年龄小”可得丙是体委;
根据“丙的年龄比学委大,体委比乙的年龄小”可得乙的年龄>
丙的年龄>
学习委员的年龄,由此可得,乙不是学习委员,那么乙是班长.
(2)由乙说:
我没去过茶卡天空之境,可知乙可能去过陆心之海青海湖和海北百里油菜花海两个地方,
但甲说:
我去过的地方比乙多,但没去过海北百里油菜花海,则甲去过陆心之海青海湖和茶卡天空之境两个地方,乙只去过陆心之海青海湖和海北百里油菜花海中的一个地方,
再由丙说:
我们三人去过同一地方,
可推知乙去过的地方为陆心之海青海湖.
答案
(1)乙
(2)陆心之海青海湖
角度2 与证明有关的问题
【例3-2】数列{an}的前n项和记为Sn,已知a1=1,an+1=
Sn(n∈N*).证明:
(1)数列
是等比数列;
(2)Sn+1=4an.
证明
(1)∵an+1=Sn+1-Sn,an+1=
Sn,
∴(n+2)Sn=n(Sn+1-Sn),即nSn+1=2(n+1)Sn.
∴
=2·
,又
=1≠0,(小前提)
故
是以1为首项,2为公比的等比数列.(结论)
(大前提是等比数列的定义,这里省略了)
(2)由
(1)可知
=4·
(n≥2),
∴Sn+1=4(n+1)·
·
Sn-1=4an(n≥2),(小前提)
又a2=3S1=3,S2=a1+a2=1+3=4=4a1,(小前提)
∴对于任意正整数n,都有Sn+1=4an.(结论)
(第
(2)问的大前提是第
(1)问的结论以及题中的已知条件)
规律方法 解决逻辑推理问题的两种方法:
(1)假设反证法:
先假设题中给出的某种情况是正确的,并以此为起点进行推理.如果推理导致矛盾,则证明此假设是错误的,再重新提出一个假设继续推理,直到得到符合要求的结论为止.
(2)枚举筛选法:
即不重复、不遗漏地将问题中的有限情况一一枚举,然后对各种情况逐个检验,排除一些不可能的情况,逐步归纳梳理,找到正确答案.
【训练3】
(1)(2017·
全国Ⅱ卷)甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩.老师说:
你们四人中有2位优秀,2位良好,我现在给甲看乙、丙的成绩,给乙看丙的成绩,给丁看甲的成绩.看后甲对大家说:
我还是不知道我的成绩.根据以上信息,则( )
A.乙可以知道四人的成绩
B.丁可以知道四人的成绩
C.乙、丁可以知道对方的成绩
D.乙、丁可以知道自己的成绩
(2)学校艺术节对同一类的A,B,C,D四项参赛作品,只评一项一等奖,在结果揭晓前,甲、乙、丙、丁四位同学对这四项参赛作品的获奖情况预测如下:
“C或D作品获得一等奖”;
“B作品获得一等奖”;
“A,D两项作品均未获得一等奖”;
丁说:
“C作品获得一等奖”.
若这四位同学中只有两位说的话是对的,则获得一等奖的作品是________.
解析
(1)由甲说不知道自己成绩且看过乙和丙的成绩,可推出乙和丙一优一良,又因为乙看过丙的成绩,所以乙可以推测出自己的成绩.因为已经推出乙和丙一优一良,所以甲和丁也是一优一良,并且条件已给出丁看过甲的成绩,所以丁也可以推出自己的成绩,故选D.
(2)若A获得一等奖,则甲,乙,丙,丁的说法均错误,故不满足题意;
若B获得一等奖,则乙,丙的说法正确,甲,丁的说法错误,故满足题意;
若C获得一等奖,则甲,丙,丁的说法均正确,故不满足题意;
若D获得一等奖,则只有甲的说法正确,故不满足题意.
故若这四位同学中只有两位说的话是对的,则获得一等奖的作品是B.
答案
(1)D
(2)B
[思维升华]
1.合情推理的过程概括为
―→
2.演绎推理是从一般的原理出发,推出某个特殊情况的结论的推理方法,是由一般到特殊的推理,常用的一般模式是三段论.数学问题的证明主要通过演绎推理来进行.
[易错防范]
1.合情推理是从已知的结论推测未知的结论,发现与猜想的结论都要经过进一步严格证明.
2.演绎推理是由一般到特殊的证明,它常用来证明和推理数学问题,注意推理过程的严密性,书写格式的规范性.
3.合情推理中运用猜想时不能凭空想象,要有猜想或拓展依据.
基础巩固题组
(建议用时:
35分钟)
一、选择题
1.已知数列{an}中,a1=1,n≥2时,an=an-1+2n-1,依次计算a2,a3,a4后,猜想an的表达式是( )
A.an=3n-1B.an=4n-3
C.an=n2D.an=3n-1
解析 a1=1,a2=4,a3=9,a4=16,猜想an=n2.
2.观察(x2)′=2x,(x4)′=4x3,(cosx)′=-sinx,由归纳推理得:
若定义在R上的函数f(x)满足f(-x)=f(x),记g(x)为f(x)的导函数,则g(-x)=( )
A.f(x)B.-f(x)C.g(x)D.-g(x)
解析 由已知得偶函数的导函数为奇函数,故g(-x)=-g(x).
答案 D
3.按照图①~图③的规律,第10个图中圆点的个数为( )
A.36B.40C.44D.52
解析 因为根据图形,第一个图有4个点,第二个图有8个点,第三个图有12个点,…,所以第10个图有10×
4=40个点.故选B.
答案 B
4.类比平面内“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的性质,可得出空间内的下列结论( )
①垂直于同一个平面的两条直线互相平行;
②垂直于同一条直线的两条直线互相平行;
③垂直于同一个平面的两个平面互相平行;
④垂直于同一条直线的两个平面互相平行.
A.①②B.②③C.③④D.①④
解析 ①垂直于同一个平面的两条直线互相平行,正确;
②垂直于同一条直线的两条直线不一定平行,也可能是相交直线、异面直线,故不正确;
③垂直于同一个平面的两个平面不一定平行,也可能是相交平面,如墙角,故不正确;
④垂直于同一条直线的两个平面互相平行,正确.故选D.
5.下面四个推理,不属于演绎推理的是( )
A.因为函数y=sinx(x∈R)的值域为[-1,1],2x-1∈R,所以y=sin(2x-1)(x∈R)的值域也为[-1,1]
B.昆虫都有6条腿,竹节虫是昆虫,所以竹节虫有6条腿
C.在平面中,对于三条不同的直线a,b,c,若a∥b,b∥c,则a∥c,将此结论放到空间中也是如此
D.如果一个人在墙上写字的位置与他的视线平行,那么,墙上字迹离地面的高度大约是他的身高,凶手在墙上写字的位置与他的视线平行,福尔摩斯量得墙壁上的字迹距地面六尺多,于是,他得出了凶手身高六尺多的结论
解析 C中的推理属于合情推理中的类比推理,A,B,D中的推理都是演绎推理.
长春质量监测)中国有个名句“运筹帷幄之中,决胜千里之外”,其中的“筹”原意是指《孙子算经》中记载的算筹,古代是用算筹来进行计算的,算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算,算筹的摆放形式有纵横两种形式,如图,当表示一个多位数时,像阿拉伯计数一样,把各个数位的数码从左到右排列,但各位数码的筹式需要纵横相间,个位,百位,万位数用纵式表示,十位,千位,十万位数用横式表示,以此类推.例如3266用算筹表示就是
,则8771用算筹可表示为( )
解析 由题意知8771用算筹可表示为
,故选A.
7.观察下列各式:
a+b=1,a2+b2=3,a3+b3=4,a4+b4=7,a5+b5=11,…,则a10+b10等于( )
A.28B.76C.123D.199
解析 观察规律,归纳推理.
从给出的式子特点观察可推知,等式右端的值,从第三项开始,后一个式子的右端值等于它前面两个式子右端值的和,照此规律,则a10+b10=123.
8.(2019·
武汉一模)某学校计划在周一至周四的艺术节上展演《雷雨》《茶馆》《天籁》《马蹄声碎》四部话剧,每天一部,受多种因素影响,话剧《雷雨》不能在周一和周四上演,《茶馆》不能在周一和周三上演,《天籁》不能在周三和周四上演,《马蹄声碎》不能在周一和周四上演,那么下列说法正确的是( )
A.《雷雨》只能在周二上演
B.《茶馆》可能在周二或周四上演
C.周三可能上演《雷雨》或《马蹄声碎》
D.四部话剧都有可能在周二上演
解析 由题目可知,周一上演《天籁》,周四上演《茶馆》,周三可能上演《雷雨》或《马蹄声碎》,故选C.
二、填空题
9.仔细观察下面○和●的排列规律:
○●○○●○○○●○○○○●○○○○○●○○○○○○●…,若依此规律继续下去,得到一系列的○和●,那么在前120个○和●中,●的个数是________.
解析 进行分组
○●|○○●|○○○●|○○○○●|○○○○○●|○○○○○○●|…,
则前n组两种圈的总数是f(n)=2+3+4+…+(n+1)=
,易知f(14)=119,f(15)=135,故n=14.
答案 14
10.(2018·
重庆模拟)在等差数列{an}中,若公差为d,且a1=d,那么有am+an=am+n,类比上述性质,写出在等比数列{an}中类似的性质:
________________
____________________________________.
解析 等差数列中两项之和类比等比数列中两项之积,故在等比数列中,类似的性质是“在等比数列{an}中,若公比为q,且a1=q,则am·
an=am+n.”
答案 在等比数列{an}中,若公比为q,且a1=q,则am·
an=am+n
11.观察下列等式:
13=12,13+23=32,13+23+33=62,13+23+33+43=102,…,根据上述规律,第n个等式为________.
解析 观察所给等式左右两边的构成易得第n个等式为13+23+…+n3=
.
答案 13+23+…+n3=
12.(2019·
呼和浩特模拟)某煤气站对外输送煤气时,用1~5号5个阀门控制,且必须遵守以下操作规则:
(1)若开启2号,则必须同时开启3号并且关闭1号;
(2)若开启1号或3号,则关闭5号;
(3)禁止同时关闭4号和5号.
现要开启2号,则同时开启的另外2个阀门是________.
解析 由题意,若开启2号,则关闭1号,开启3号,开启4号,关闭5号.故答案为3号和4号.
答案 3号和4号
能力提升题组
15分钟)
13.(2019·
广东六校第三次联考)自主招生联盟成形于2009年清华大学等五校联考,主要包括“北约”联盟,“华约”联盟,“卓越”联盟和“京派”联盟.调查某高中学校学生自主招生报考的情况,得到如下结果:
①报考“北约”联盟的学生,都没报考“华约”联盟;
②报考“华约”联盟的学生,也报考了“京派”联盟;
③报考“卓越”联盟的学生,都没报考“京派”联盟;
④不报考“卓越”联盟的学生,就报考“华约”联盟.
根据上述调查结果,下列结论错误的是( )
A.没有同时报考“华约”和“卓越”联盟的学生
B.报考“华约”和“京派”联盟的考生一样多
C.报考“北约”联盟的考生也报考了“卓越”联盟
D.报考“京派”联盟的考生也报考了“北约”联盟
解析 设该校报考“北约”联盟,“华约”联盟,“京派”联盟和“卓越”联盟的学生分别为集合A,B,C,D,报考自主招生的总学生为U,则由题意,知A∩B=∅,B⊆C,D∩C=∅,∁UD=B,∴A⊆D,B=C,B∩D=∅.选项A,B∩D=∅,正确;
选项B,B=C,正确;
选项C,A⊆D,正确,故选D.
14.如果函数f(x)在区间D上是凸函数,那么对于区间D内的任意x1,x2,…,xn,都有
≤f
.若y=sinx在区间(0,π)上是凸函数,那么在△ABC中,sinA+sinB+sinC的最大值是________.
解析 由题意知,凸函数满足
,
又y=sinx在区间(0,π)上是凸函数,
则sinA+sinB+sinC≤3sin
=3sin
答案
15.(2018·
赣州联考)我国古代数学著作《九章算术》有如下问题:
“今有人持金出五关,前关二而税一,次关三而税一,次关四而税一,次关五而税一,次
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- 中学数学第十二章 第1节 合情推理与演绎推理 中学数学 第十二 合情 推理 演绎