相似三角形的性质与判定专题讲义整理版文档格式.docx

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若果不能确定，则应当进行分类讨论。

（二）、相似三角形的判定：

1、判定两个三角形相似的条件：

（1、平行截割：

（2）两角对应相等：

（3、两边夹：

（4）三边比：

2、判定两个三角形相似的一般步骤：

（1、先通过已知或平行、对顶角、公共边、寻找是否存在两对相等的角

（2）若只能找到一对对应角相等，则再找到一对对应角相等，或找夹这个角的两边是否对应成比例。

（3）若找不到相等的角，就分析三边是否

3、等积式的证明思路

遇等积，化等比；

横找、竖找定相似；

不相似，莫生气，等线等比来代替；

平行线转比例，两端各自拉关系。

二、基础练习

1.（2013?

重庆）已知△ABCDEF，若△ABC与厶DEF的相似比为3:

4，则△ABC与厶DEF的面积比为（、

A.4:

3B.3:

4C.16:

9D.9:

16

△ADE与厶ABC相似，则AE=

4.（2008?

毕节地区）已知△ABC的三条长分别为2cm，

各一根，做一个三角形木架与厶ABC相似，要求以其中一根作为这个三角形木架的一边，将另一根截成两段（允许

形的顶点都在矩形的边上•其中面积最小的直角三角形的较短直角边的长是

有余料，接头及损耗忽略不计）作为这个三角形木架的另外两边，那么这个三角形木架的三边长度分别为（

（1）求证：

△ABEs\DBC;

（2）求线段AE的长.

变式训练:

1、（2012?

株洲）如图，在矩形

MN交AC于0.

△COMCBA;

（2）求线段OM的长度.

2、（2012?

长沙）如图，已知正方形ABCD中，BE平分/DBC且交CD边于点E，将△BCE绕点C顺时针旋转

到厶DCF的位置，并延长BE交DF于点G.

1

（1）求证：

DG=DF;

2

（2）求证：

△BDGDEG;

（3）若EG?

BG=4，求BE的长.

?

ABCD中，/DBC=45°

，DE丄BC于E，BF丄CD于F，DE、BF

典型例题2（2013?

巴中）如图，在平行四边形ABCD

F为线段DE上一点，且/AFE=/B

△ADFDEC;

（2）若AB=8，AD=6一3，AF=43，求AE的长.

变式训练：

1、（2009?

甘孜州）已知如图,

相交于H，BF、AD的延长线相交于G.

AB=BH;

（2）若GA=10，HE=2.求AB的值.

2、（2013?

南充）如图，等腰梯形ABCD中，AD//BC,AD=3,BC=7，/B=60°

P为BC边上一点（不与B,C重合），过点P作/APE=/B,PE交CD于E.

△APBPEC;

（2）

若CE=3，求BP的长.

专题二：

等积式、等比式的证明

对应线段成比例除了用来计算线段长度外，它也是我们证明等积式、等比式的一个重要理论依据。

处理这类问题的口诀是：

遇等积，化等比；

不相似，莫生气，等线等比来代替。

等积问题证明第一步：

化等比，定相似

遇到等积问题时，首先把等积化为等比的形式，然后考虑证明两个三角形相似。

例1、（2011?

闸北区一模）如图，△ABC是直角三角形，/ACB=90,CD丄AB于点D,E是AC的中点，ED的

延长线与CB的延长线交于点F.求证:

FBFD

FDFC

等积证明第二步：

不相似，莫生气，等线等比来代替。

若在化等比，定相似的基础上不能通过证明两个三角形相似来实现等积的证明，此时可通过查

找问题中所隐含的相等的线段或相等比值的条件，用等线或相等的比值来代替等比式中的相应部分，再在此基础上通过其它的手段来证明等积问题。

例2:

如图，ABCD中，E为边AD延长线上的一点，BE交CD于F。

变式练习：

1如图，在正方形ABCD中,F是BC上一点，EA丄AF交CD延长线于点E,连接EF交AD于G。

（1）求证：

△ABF^AADE

BF-FC=DGEC

2、如图，在Rt△ABC中，/ACB=90边AC的垂直平分线EF交AC于点E,交AB于点F,BGLAB交EF于的G求证：

CF是EF与FG的比例中项。

3、如图，在Rt△ABC中，/ACB=90,CDLABM是CD上的点，DHLBM于H,DHAC的延长线交于E。

求证：

（1）△AED^ACBM

（2）AE-CM=ACCD

4、（2012?

徐汇区一模）如图，梯形ABCD中，AB//CD,AD=BC，点E在边AD上，BE与AC相交于点O,且/ABE=/BCA.求证：

（1）△BAEs\BOA;

（2）BO?

BE=BC?

AE.

综合提高

1、（2011?

上海）如图，在梯形ABCD中，AD//BC,AB=DC，过点D作DE丄BC，垂足为E,并延长DE至F,

使EF=DE.连接BF、CF、AC.

四边形ABFC是平行四边形;

2、（2012?

天水）如图所示的一张矩形纸片ABCD（AD>

AB），将纸片折叠一次，使点A与C重合，再展开，折

痕EF交AD边于点E，交BC边于点F，交AC于点0,分别连接AF和CE.

四边形AFCE是菱形；

（2）过E点作AD的垂线EP交AC于点P,求证：

2AE2=AC?

AP；

（3）若AE=10cm，△ABF的面积为24cm2，求△ABF的周长.

3、梯形ABCD中,AB//DCE是AB的中点，直线DE分别与对角线AC,直线BC相交于M和N

MD•NE=MEND

专题三：

相似三角形中的面积问题

学习目标：

结合相似三角形的性质及三角形的面积公式，解决相似三角形的面积问题一、求三角形面积常用方法

例1:

如图，DE//BC,且型=1，则△ADE与厶ABC的相似比是，面积之比是

BD2

例2、已知如图，梯形ABCD中，AB//CD,△COD与厶AOB的周长

例3、如图，将面积为a2的正方形与面积为b2的正方形（b>

a）放在一起，则△ABC的面积

变式一：

如图,D、E、F是厶ABC的各边的中点，设△ABC的面积为5求厶DEF的面积.

变式

（1）如图，DE//FG//BC,且AD=DF=FB,设厶ABC被分成的三部分的面积分别为

S1,S2,S3,求S1:

S2:

S3.

（2）如图，DE//FG//BC,设厶ABC被分成的三部分的面积分别为S1,S2,S3且

S1=S2=S3,求AD:

DF:

FB

变式四：

如图，平行四边形ABCD中,AE:

EB=2:

3,贝US^ape£

△cpd=

变式五：

如图，平行四边形ABCD中,BE:

AB=2:

3,且SABPE=4,求平行四边形ABCD的面积.

变式六：

如图,AC是平行四边形ABCD的对角线，且AE=EF=FC,求SADMN:

SAACD

DNC

B

变式七：

如图,AABC中,AD//BC,联结CD交AB于点E,且，且AE:

EB=1:

3,过点E作EF//BC，交AC于点F，S「ade=2,求SBCE和Saef

A

F

变式八：

如图，点D和E分别在AABC的边AB、AC上，若Saade=4,Sabce=24,求Sabde

变式九：

如图，点D是厶ABC边BC延长线上一点，过点C作CE//AB，作DE//AC,联结AE,SaABC=9,Sacde=4,求Saace

家长签字:

本次课作业:

1、预习：

教学主管签字:

2、写：