动量守恒定律典型例题docWord下载.docx
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(2)一般碰撞——碰撞结束后,形变部分消失,碰撞前后系统的总动量相等,动能有部分损失.
(3)完全非弹性碰撞——碰撞结束后,形变完全保留,通常表现为碰后两物体合二为一,以同一速度运动,碰撞前后系统的总动量相等,动能损失最多。
上述三种情况均不含其它形式的能转化为机械能的情况。
5.反冲现象指在系统内力作用下,系统内一部分物体向某方向发生动量变化时,系统内其余部分物体向相反的方向发生动量变化的现象。
显然在反冲运动过程中,系统不受外力作用或外力远远小于系统内物体间的相互作用力,所以在反冲现象里系统的动量是守恒的。
【典型例题】
例1.如图1所示的装置中,木块B与水平面间接触是光滑的,子弹A沿水平方向射入木块后留在木块内,将弹簧压缩到最短,现将子弹、木块和弹簧合在一起做为研究对象(系统),则此系统在从子弹开始射入木块到弹簧压缩至最短的整个过程中( )
A.动量守恒,机械能守恒
B.动量不守恒,机械能不守恒
C.动量守恒,机械能不守恒
D.动量不守恒,机械能守恒
分析:
合理选取研究对象和运动过程,利用机械能守恒和动量守恒的条件分析。
如果只研究子弹A射入木块B的短暂过程,并且只选A、B为研究对象,则由于时间极短,则只需考虑在A、B之间的相互作用,A、B组成的系统动量守恒,但此过程中存在着动能和内能之间的转化,所以A、B系统机械能不守恒。
本题研究的是从子弹开始射入木块到弹簧压缩至最短的整个过程,而且将子弹、木块和弹簧合在一起为研究对象,在这个过程中有竖直墙壁对系统的弹力作用,(此力对系统来讲是外力)故动量不守恒。
解答:
由上面的分析可知,正确选项为B
例2.质量为m1=10g的小球在光滑的水平面上以v1=30cm/s的速率向右运动,恰遇上质量m2=50g的小球以v2=10cm/s的速率向左运动,碰撞后,小球m2恰好停止,那么碰撞后小球m1的速度是多大?
方向如何?
由于两小球在光滑水平面上,以两小球组成的系统为研究对象,该系统沿水平方向不受外力,因此系统动量守恒。
碰撞过程两小球组成的系统动量守恒。
设v1的方向,即向右为正方向,则各速度的正负及大小为:
v1=30cm/s,v2=-10cm/s,
=0
据:
m1v1+m2v2=
代入数值得:
=-20cm/s
则小球m1的速度大小为20cm/s,方向与v1方向相反,即向左。
说明:
注意在应用动量守恒定律时要明确以下几个问题:
(1)明确研究对象,即所研究的相互作用的物体系统。
(2)明确所研究的物理过程,分析该过程中研究对象是否满足动量守恒条件。
(3)明确系统中每一物体在所研究的过程中初、末状态的动量及整个过程中动量的变化。
(4)明确参考系,规定正方向,根据动量守恒定律列方程,求解。
例3.如图2所示,甲、乙两个小孩各乘一辆冰车在水平冰面上游戏,甲和他的冰车的质量共为M=30kg,乙和他的冰车的质量也是30kg,游戏时,甲推着一个质量为m=15kg的箱子,和他一起以大小为v0=2.0m/s的速度滑行,乙以同样大小的速度迎面滑来。
为了避免相撞,甲突然将箱子沿冰面推给乙,箱子滑到乙处时乙迅速把它抓住。
若不计冰面的摩擦力,求:
甲至少要以多大的速度(相对于地面)将箱子推出,才能避免与乙相撞?
甲、乙不相碰的条件是相互作用后三者反。
而要使甲与乙及箱子的运动方向相反,则需要甲以更大的速度推出箱子。
因本题所求为“甲至少要以多大速度”推出木箱,所以要求相互作用后,三者的速度相同。
以甲、乙和箱子组成的系统为研究对象,因不计冰面的摩擦,所以甲、乙和箱子相互作用过程中动量守恒。
设甲推出箱子后的速度为v甲,乙抓住箱子后的速度为v乙,则由动量守恒定律,得:
甲推箱子过程:
(M+m)v0=Mv甲+mv①
乙抓住箱子的过程:
mv-Mv0=(M+m)v乙②
甲、乙恰不相碰的条件:
v甲=v乙③
代入数据可解得:
v=5.2m/s
仔细分析物理过程,恰当选取研究对象,是解决问题的关键。
对于同一个问题,选择不同的物体对象和过程对象,往往可以有相应的方法,同样可以解决问题。
本例中的解答过程,先是以甲与箱子为研究对象,以甲和箱子共同前进到甲推出箱子为过程;
再以乙和箱子为研究对象,以抓住箱子的前后为过程来处理的。
本题也可以先以甲、乙、箱子三者为研究对象,先求出最后的共同速度v=0.4m/s,再单独研究甲推箱子过程或乙抓住箱子的过程求得结果,而且更为简捷。
例4.一只质量为M的平板小车静止在水平光滑面上,小车上站着一个质量为m的人,M>m,在此人从小车的一端走到另一端的过程中,以下说法正确的是(不计空气的阻力)()
A.人受的冲量与平板车受的冲量相同
B.人向前走的速度大于平板车后退的速度
C.当人停止走动时,平板车也停止后退
D.人向前走时,人与平板车的总动量守恒
由于平板车放在光滑水平面上,又不计空气阻力,以人、车组成的系统为研究对象,该系统沿水平方向不受外力,因此系统动量守恒,可判断选项D正确。
在相互作用的过程中,人与车之间的相互作用的内力对它们的冲量大小相等、方向相反,冲量是矢量,选项A错误。
开始时二者均静止,系统的初动量为0,根据动量守恒,整个过程满足0=mv人+Mv车,即人向一端走动时,车必向反方向移动,人停车也停,又因M>m,v人的大小一定大于v车,选项B、C正确。
根据上面的分析可知正确选项为B、C、D。
分析反冲类问题,例如爆竹爆炸,发射火箭、炮车发射炮弹等,应首先判断是否满足动量守恒,其次要分析清楚系统的初动量情况、参与作用的物体的动量变化情况及能量转化情况。
例5.在光滑的水平面上,动能为E0、动量大小为p0的小球1与静止小钢球2发生碰撞,碰撞前后球1的运动方向相反,将碰撞后球1的动能和动量的大小分别记为E1、p1,球2的动能和动量的大小分别记为E2、p2,则必有( )
A.E1<E0B.p1<p0C.E2>E0D.p2>p0
理解碰撞的可能性的分析方法,从动量守恒、能量守恒、及可行性几个角度进行分析。
设碰撞前球1的运动方向为正方向,根据动量守恒定律有:
p0=-p1+p2,可得到碰撞后球2的动量等于p2=p0+p1。
速度相同,或甲与乙、箱子的运动方向相由于碰撞前球2静止,所以碰撞后球2一定沿正方向运动,所以p2>p0,选项D正确.
由于碰撞后系统的机械能总量不可能大于碰撞前系统机械能总量,即E0≥E1+E2,故有E0>E1和E0>E2,选项A正确,选项C错误。
由动能和动量的关系Ek=
,结合选项A的结果,可判断选项B正确。
根据上面的分析可知正确选项为A、B、D.
1.分析处理碰撞类问题,除注意动量守恒及其动量的矢量性外,对同一状态的动能和动量的关系也要熟练掌握,即Ek=
,或
。
2.在定量分析碰撞后的可能性问题中,应注意以下三点:
(1)动量守恒原则:
碰撞前后系统动量相等。
(2)动能不增加原则:
碰后系统总动能不可能大于碰前系统的总动能.(注意区别爆炸过程)。
(3)可行性原则:
即情景要符合实际。
如本例中若1球碰后速度方向不变,则1球的速度一定小于2球的速度,而不可能出现1球速度大于2球速度的现象。
这就是实际情景对物理过程的约束。
动量守恒定律的典型例题
【例1】把一支枪固定在小车上,小车放在光滑的水平桌面上.枪发射出一颗子弹.对于此过程,下列说法中正确的有哪些?
A.枪和子弹组成的系统动量守恒
B.枪和车组成的系统动量守恒
C.车、枪和子弹组成的系统动量守恒
D.车、枪和子弹组成的系统近似动量守恒,因为子弹和枪筒之间有摩擦力.且摩擦力的冲量甚小
【分析】本题涉及如何选择系统,并判断系统是否动量守恒.物体间存在相互作用力是构成系统的必要条件,据此,本题中所涉及的桌子、小车、枪和子弹符合构成系统的条件.不仅如此,这些物体都跟地球有相互作用力.如果仅依据有相互作用就该纳入系统,那么推延下去只有把整个宇宙包括进去才能算是一个完整的体系,显然这对于分析、解决一些具体问题是没有意义的.选择体系的目的在于应用动量守恒定律去分析和解决问题,这样在选择物体构成体系的时候,除了物体间有相互作用之外,还必须考虑“由于物体的相互作用而改变了物体的动量”的条件.桌子和小车之间虽有相互作用力,但桌子的动量并没有发生变化.不应纳入系统内,小车、枪和子弹由于相互作用而改变了各自的动量,所以这三者构成了系统.分析系统是否动量守恒,则应区分内力和外力.对于选定的系统来说,重力和桌面的弹力是外力,由于其合力为零所以系统动量守恒.子弹与枪筒之间的摩擦力是系统的内力,只能影响子弹和枪各自的动量,不能改变系统的总动量.所以D的因果论述是错误的.
【解】正确的是C.
【例2】一个质量M=1kg的鸟在空中v0=6m/s沿水平方向飞行,离地面高度h=20m,忽被一颗质量m=20g沿水平方向同向飞来的子弹击中,子弹速度v=300m/s,击中后子弹留在鸟体内,鸟立即死去,g=10m/s2.求:
鸟被击中后经多少时间落地;
鸟落地处离被击中处的水平距离.
【分析】子弹击中鸟的过程,水平方向动量守恒,接着两者一起作平抛运动。
【解】把子弹和鸟作为一个系统,水平方向动量守恒.设击中后的共同速度为u,取v0的方向为正方向,则由
Mv0+mv=(m+M)u,
得
击中后,鸟带着子弹作平抛运动,运动时间为
鸟落地处离击中处水平距离为
S=ut=11.76×
2m=23.52m.
※【例3】一列车沿平直轨道以速度v0匀速前进,途中最后一节质量为m的车厢突然脱钩,若前部列车的质量为M,脱钩后牵引力不变,且每一部分所受摩擦力均正比于它的重力,则当最后一节车厢滑行停止的时刻,前部列车的速度为
【分析】列车原来做匀速直线运动,牵引力F等于摩擦力f,f=k(m+M)g(k为比例系数),因此,整个列车所受的合外力等于零.尾部车厢脱钩后,每一部分所受摩擦力仍正比于它们的重力.因此,如果把整个列车作为研究对象,脱钩前后所受合外力始终为零,在尾部车厢停止前的任何一个瞬间,整个列车(前部+尾部)的动量应该守恒.考虑刚脱钩和尾部车厢刚停止这两个瞬间,由
(m+M)v0=0+Mv
得此时前部列车的速度为
【答】B.
【说明】上述求解是根据列车受力的特点,恰当地选取研究对象,巧妙地运用了动量守恒定律,显得非常简单.如果把每一部分作为研究对象,就需用牛顿第二定律等规律求解.有兴趣的同学,请自行研究比较.
【例4】质量m1=10g的小球在光滑的水平桌面上以v1=30cm/s的速率向右运动,恰好遇上在同一条直线上向左运动的另一个小球.第二个小球的质量为m2=50g,速率v2=10cm/s.碰撞后,小球m2恰好停止.那么,碰撞后小球m1的速度是多大,方向如何?
【分析】取相互作用的两个小球为研究的系统。
由于桌面光滑,在水平方向上系统不受外力.在竖直方向上,系统受重力和桌面的弹力,其合力为零.故两球碰撞的过程动量守恒.
【解】设向右的方向为正方向,则各速度的正、负号分别为
v1=30cm/s,v2=10cm/s,v'
2=0.
据动量守恒定律有
mlvl+m2v2=m1v'
1+m2v'
2.
解得v'
1=-20cm/s.
即碰撞后球m1的速度大小为20cm/s,方向向左.
【说明】通过此例总结运用动量守恒定律解题的要点如下.
(1)确定研究对象.对象应是相互作用的物体系.
(2)分析系统所受的内力和外力,着重确认系统所受到的合外力是否为零,或合外力的冲量是否可以忽略不计.
(3)选取正方向,并将系统内的物体始、末状态的动量冠以正、负号,以表示动量的方向.
(4)分别列出系统内各物体运动变化前(始状态)和运动变化后(末状态)的动量之和.
(5)根据动量守恒定律建立方程,解方程求得未知量.
.
※【例5】两辆质量相同的小车A和B,置于光滑水平面上,一人站在A车上,两车均静止.若这个人从A车跳到B车上,接着又跳回A车,仍与A车保持相对静止,则此时A车的速率
A.等于零B.小于B车的速率
C.大于B车的速率D.等于B车的速率
【分析】设人的质量为m0,车的质量为m.取A、B两车和人这一系统为研究对象,人在两车间往返跳跃的过程中,整个系统水平方向不受外力作用,动量守恒.取开始时人站在A车上和后来又相对A车静止时这两个时刻考察系统的动量,则
0=(m0+m)vA+mvB,
可见,两车反向运动,A车的速率小于B车的速率.
【说明】本题中两车相互作用前后动量在一直线上,但两者动量方向即速度方向均不甚明确,因此没有事先规定正方向,而是从一般的动
※【例7】甲、乙两船在平静的湖面上以相同的速度匀速航行,且甲船在前乙船在后.从甲船上以相对于甲船的速度v,水平向后方的乙船上抛一沙袋,其质量为m.设甲船和沙袋总质量为M,乙船的质量也为M.问抛掷沙袋后,甲、乙两船的速度变化多少?
【分析】由题意可知,沙袋从甲船抛出落到乙船上,先后出现了两个相互作用的过程,即沙袋跟甲船和沙袋跟乙船的相互作用过程.在这两个过程中的系统,沿水平方向的合外力为零,因此,两个系统的动量都守恒.值得注意的是,题目中给定的速度选择了不同的参照系.船速是相对于地面参照系,而抛出的沙袋的速度v是相对于抛出时的甲船参照系.
【解】取甲船初速度V的方向为正方向,则沙袋的速度应取负值.统一选取地面参照系,则(备注:
取沙袋和不同的船为研究对象)
沙袋抛出前,沙袋与甲船的总动量为MV.
沙袋抛出后,甲船的动量为(M-m)v甲'
,沙袋的动量为m(v甲'
-v).
根据动量守恒定律有
MV=(M-m)v甲'
+m(v甲'
-v).
(1)
取沙袋和乙船为研究对象,在其相互作用过程中有
MV+m(v甲'
-v)=(M+m)v乙'
.
(2)
联立(l)、
(2)式解得
则甲、乙两船的速度变化分别为
【例8】小型迫击炮在总质量为1000kg的船上发射,炮弹的质量为2kg.若炮弹飞离炮口时相对于地面的速度为600m/s,且速度跟水平面成45°
角,求发射炮弹后小船后退的速度?
【分析】取炮弹和小船组成的系统为研究对象,在发射炮弹的过程中,炮弹和炮身(炮和船视为固定在一起)的作用力为内力.系统受到的外力有炮弹和船的重力、水对船的浮力.在船静止的情况下,重力和浮力相等,但在发射炮弹时,浮力要大于重力.因此,在垂直方向上,系统所受到的合外力不为零,但在水平方向上系统不受外力(不计水的阻力),故在该方向上动量守恒.
【解】发射炮弹前,总质量为1000kg的船静止,则总动量Mv=0.
发射炮弹后,炮弹在水平方向的动量为mv1'
cos45°
,船后退的动量为(M-m)v2'
0=mv1'
+(M-m)v2'
取炮弹的水平速度方向为正方向,代入已知数据解得
※【例9】两块厚度相同的木块A和B,并列紧靠着放在光滑的水平面上,其质量分别为mA=2.0kg,mB=0.90kg.它们的下底面光滑,上表面粗糙.另有质量mC=0.10kg的铅块C(其长度可略去不计)以vC=10m/s的速度恰好水平地滑到A的上表面(见图),由于摩擦,铅块最后停在本块B上,测得B、C的共同速度为v=0.50m/s,求
木块A的速度和铅块C离开A时的速度.
【分析】C滑上A时,由于B与A紧靠在一起,将推动B一起运动.取C与A、B这一系统为研究对象,水平方向不受外力,动量守恒.滑上后,C在A的摩擦力作用下作匀减速运动,(A+B)在C的摩擦力作用下作匀加速运动.待C滑出A后,C继续减速,B在C的摩擦力作用下继续作加速运动,于是A与B分离,直至C最后停于B上.
【解】设C离开A时的速度为vC,此时A、B的共同速度为vA,对于C刚要滑上A和C刚离开A这两个瞬间,由动量守恒定律知
mCvC=(mA+mB)vA+mCv'
C
(1)
以后,物体C离开A,与B发生相互作用.从此时起,物体A不再加速,物体B将继续加速一段时间,于是B与A分离.当C相对静止于物体B上时,C与B的速度分别由v'
C和vA变化到共同速度v.因此,可改选C与B为研究对象,对于C刚滑上B和C、B相对静止时的这两个瞬间,由动量守恒定律知
mCv'
C+mBvA=(mB+mC)v
(2)
由(l)式得mCv'
C=mCvC-(mA+mB)vA
代入
(2)式mCv'
C-(mA+mC)vA+mBvA=(mB+mC)v.
得木块A的速度
所以铅块C离开A时的速度
【说明】应用动量守恒定律时,必需明确研究对象,即是哪一个系统的动量守恒.另外需明确考察的是系统在哪两个瞬间的动量.如果我们始终以(C+A+B)这一系统为研究对象,并考察C刚要滑上A和C刚离开A,以及C、B刚相对静止这三个瞬间,由于水平方向不受外力,则由动量守恒定律知
C=mAvA+(mB+mC)v.
同样可得
※【例10】在静止的湖面上有一质量M=100kg的小船,船上站立质量m=50kg的人,船长L=6m,最初人和船静止.当人从船头走到船尾(如图),船后退多大距离?
(忽略水的阻力)
[分析]有的学生对这一问题是这样解答的.由船和人组成的系统,当忽略水的阻力时,水平方向动量守恒.取人前进的方向为正方向,设t时间内
这一结果是错误的,其原因是在列动量守恒方程时,船后退的速度
考系的速度代入同一公式中必然要出错.
【解】选地球为参考系,人在船上行走,相对于地球的平均速度为
为
【例11】一浮吊质量M=2×
104kg,由岸上吊起一质量m=2×
103kg的货物后,再将吊杆OA从与竖直方向间夹角θ=60°
转到θ'
=30°
,设吊杆长L=8m,水的阻力不计,求浮吊在水平方向移动的距离?
向哪边移动?
【分析】对浮吊和货物组成的系统,在吊杆转动过程中水平方向不受外力,动量守恒.当货物随吊杆转动远离码头时,浮吊将向岸边靠拢,犹如人在船上向前走时船会后退一样,所以可应用动量守恒求解.
【解】设浮吊和货物在水平方向都作匀速运动,浮吊向右的速度为v,货物相对于浮吊向左的速度为u,则货物相对河岸的速度为(v-u).由
0=Mv+m(v-u),
吊杆从方位角θ转到θ'
需时
所以浮吊向岸边移动的距离
【说明】当吊杆从方位角θ转到θ'
时,浮吊便向岸边移动一定的距离,这个距离与吊杆转动的速度,也就是货物移动的速度无关。
但为了应用动量守恒定律,必须先假设浮吊和货物移动为某个速度。
※【例12】如图所示,一排人站在沿x轴的水平轨道旁,原点O两侧的人的序号都记为n(n=1,2,3…).每人只有一个沙袋,x>0一侧的每个沙袋质量m=14kg,x<
0一侧的每个沙袋质量为m'
=10kg.一质量为M=48kg的小车以某初速度从原点出发向正x方向滑行.不计轨道阻力.当车每经过一人身旁时,此人就把沙袋以水平速度v朝与车相反的方向沿车面扔到车上,v的大小等于扔此袋之前的瞬间车速大小的2n倍(n是此人的序号数).(l)空车出发后,车上堆积了几个沙袋时车就反向滑行?
(2)车上最终有大小沙袋共多少个?
【分析】因为扔到车上的沙袋的水平速度与车行方向相反,两者相互作用后一起运动时,总动量的方向(即一起运动的方向)必与原来动量较大的物体的动量方向相同.当经过第n个人时,扔上去的沙袋的动量大于车及车上沙袋的动量时,车就会反向运动.车向负x方向运动时、当扔上去的沙袋的动量与车及车上沙袋的动量等值反向时,车将停止运动.
【解】
(1)设小车朝正x方向滑行过程中,当车上已有(n-1)个沙袋时的车速为vn-1,则车与沙袋的动量大小为
p1=[M+(n-l)m]vn-1.
车经过第n个人时,扔出的沙袋速度大小为2nvn-1,其动量大小为
p2=2nmvn-1,
当满足条件p2>p1时,车就反向滑行.于是由
2nmvn-1>[M+(n-l)m]vn-1,
取n=3,即车上堆积3个沙袋时车就反向运动.
(2)设车向负x方向滑行过程中,当第(n—1)个人扔出沙袋后的车速为v'
n-1,其动量大小为
p'
1=[M+3m+(n-l)m'
]v'
n-1.
车经过第n个人时,扔出沙袋的速度大小为2nv'
当满足条件P'
2=P'
1时,车就停止.于是由
[M+3m+(n-l)m'
]vn-1=2nm'
v'
n-1,
所以车停止时车上共有沙袋数为
N=3+8=11(个).
【说明】本题依据的物理道理是很显然的,由于构思新颖,使不少同学难以从具体问题中抽象出简化的物理模型,以致感到十分棘手.因此,学习中必须注重打好基础和提高分析问题的能力.
【例13】一个静止的质量为M的原子核,放射出一个质量为m的粒子,粒子离开原子核时相对于核的速度为v0,原子核剩余部分的速率等于
【分析】取整个原子核为研究对象。
由于放射过程极为短暂,放射过程中其他外力的冲量均可不计,系统的动量守恒.放射前的瞬间,系统的动量p1=0,放射出粒子的这一瞬间,设剩余部分对地的反冲速度为v'
,并规定粒子运动方向为正方向,则粒子的对地速度v=v0-v'
,系统的动量
p2=mv-(M-m)v'
=m(v0-v'
)-(M-m)v'
由p1=p2,即
0=m(v0-v)-(M-m)v'
=mv0-Mv'
【答】C.
【说明】本题最容易错选成B、D.前者是没有注意到动量守恒定律中的速度必须统一相对于地面,误写成
0=mv0-(M-m)v'
后者是已规定了正方向后,但计算矢量和时没有注意正负,误写成
0=m(v0-v'
)+(M-m)v'
对于矢量性较熟悉的读者,也可不必事先规定正方向,而根据解题结果加以判断,如本题中,粒子对地速度可表示为v=v0+v'
,由系统的动量守恒,
0=mv+(M-m)
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