平行四边形必做好题附答案详解Word文档格式.docx
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12.如图1,在^OAB中,ZOAB=90\ZAOB=30\OB二&
以OB为边,在^
OAB外作等边△OBC,D是OB的中点,连接AD并延长交OC于E.
(i)求证:
四边形ABCE是平行四边形;
(2)如图2,将图1中的四边形ABCO折叠,使点C与点A重合,折痕为FG,
求0G的长•
13.已知:
如图,-ABCD中,ZABC的平分线交AD于E,ZCDA的平分线交BC
于F.
连接EF、BD,求证SEF与BD互相平分・
14.
如图,M是△ABC的边BC的中点,AN平分ZBAC,BN丄AN于点N,延长
BN交AC于点D,已知AB=10,BC=15,MN=3
15.如图,四边形ABCD中,AD〃BC,AE丄AD交BD于点E,CF丄BC交BD于点
F,且AE=CF.求证.四边形ABCD是平行四边形.
16-如图,四边形ABCD是平行四边形,E、F是对角线AC上的两点,
(1)求证;
AE=CF:
(2)求证:
四边形EBFD是平行四边形•
17-如图,在四边形ABCD中,对角线AC、BD交于点6E、F分别是AB、CD
的中点,且AC=BD-
求证:
OM=ON・
18.已知,点P是直角三角形ABC斜边AB上一动点(不与AoB重合),分别过
A,
B向直线CP作垂线,垂足分别为E、F.
四边形;
角形•
19.在四边形ABCD中,AD〃BC,且AD>
BC,BC=6cm,P、Q分别从A、C同时
长线分别交于点E、F.
出发,P以Icm/s的速度山A向D运动,Q以2cm/s的速度山C出发向B运动,儿秒后四边形ABQP是平行四边形?
点0是AC打BD的交点,过点0的直线与BA、DC的延
(1)求证:
△AOE丝△COF;
(2)证明:
四边形AECF是平行四边形.
21-如图,分别以RtAABC的直角边AC及斜边AB向外作等边△ACD及等边△
ABE,
ZBAC=30\EF丄AB,垂足为F,连接DF.
试说明A8EF;
且AB=6rBC=10,MN=1.5,求△ABC的周长.
23.如图,分别以RtAABC的直角边AC及斜边AB向外作等边△ACD、等边△
ABE.已知ZBAC=30\EF丄AB,垂足为已连接DF.求证:
四边形ADFE是平行四边形•
24.如图,在△ABC中,ZABC=90\ZBAC=60°
AACD是等边三角形,E是AC
的中点,连接BE并延长,交DC于点F,求证:
(1)AABE^ACFE;
(2)四边形ABFD是平行四边形.D
B
25•如图,已知D>
AABC的边AB上一点,CE〃AB,DE交AC于点6且OA=OC.求
证:
四边形ADCE是平行四边形.
E
26.如图,在四边形ABCD中,AD〃BC,AD=12cm,BC=15cm,点P自点A向D
以Icm/s的速度运动,到D点即停止•点Q自点C向B以2cm/s的速度运动,到B点即停止,点P,Q同时出发,设运动时间为t(S).
(1)用含t的代数式表示:
AP=;
DP=;
BQ=;
CQ=
(2)当t为何值时,四边形APQB是平行四边形?
(3)当t为何值时,四边形PDCQ是平行四边形?
如图所示,在四边形ABCD中,AD=BC,E,F,G分别是AB,CD,AC的中
是平行四边形•
29.如图,ABCD是矩形纸片,翻折ZB、ZD,使BC,AD恰好落在AC上,其中
F,H分别是B,D的落点.求证:
四边形AECG是平行四边形.
30-如图所示,在四边形ABCD中,AD〃BC,AD=24cm,BC=30cm,点P从A向
点D以Icm/s的速度运动,到点D即停止•点Q从点C向点B以2cm/s的速度运动,到点B即停止.直线PQ将四边形ABCD截得两个四边形,分别为四边形
ABQP和四边形PQCD,则当P,Q两点同时出发,儿秒后所截得两个四边形中,
其中一个四边形为平行四边形?
第1页(共1页)
參考答案与试題解折
一-选择题(共8小题)
1-(2013*淄博)如图,△ABC的周长为26,点D,E都在边BC上,
CA=CD,lli
【分析】首先判断△BAE、△CAD是等腰三角形,从而得出BA=BE,
△ABC的周长为26,及BC=10,可得DE=6,利用中位线定理可求出PQ.
【解答】解:
VBQ平分ZABC,BQ丄AE,•••△BAE是等腰三角形,
同理△CAD是等腰三角形,二点Q是AE中点,点P是AD中点(三线合「•PQ是△ADE的中位线,
VBE+CD=AB*AC=26-BC=26-10=16,
ADE=BE-HCD-BC=6,
故选:
C・
【点评】本题考查了三角形的中位线定理,解答本题的关键是判断出△BAE.△
CAD是等腰三角形,利用等腰三角形的性质确定PQ是△ADE的中位线・
2.(2016*丹东)如图,在-ABCD中,BF平分ZABC,交AD于点已CE平分Z
BCD,交AD于点E,AB=6,EF=2r则BC长为(
A.8B.10C-12D・14
【分析】山平行四边形的性质和角平分线得lliZABF=ZAFB,得出AF=AB=6,同
理可证DE=DC=6,再山EF的长,即可求出BC的长.
【解答】解:
四边形ABCD是平行四边形,
•••AD〃BC,DC=AB=6rAD=BC,
AZAFB=ZFBC,■/BF平分ZABC,
AZABF=ZFBC,
则ZABF=ZAFBr/.AF=AB=6,
同理可证:
DE=DC=6r
■/EF=AF+DE-AD=2,
即6+6-AD=2,
解得:
AD=10;
故选:
B.
【点评】本题主要考査了平行四边形的性质、等腰三角形的判定;
熟练掌握平行四边形的性质,证出AF=AB是解决问题的关键•
3.(2016*薛城区模拟)如图,在四边形ABCD中,E,F分别为DC、AB的中点,
A.2EF二AD+BCB.2EF>
AD+BCC・2EFVAD+BCD.不确定
【分析】根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得Eg4aD,FG=iBC,再根拯三角形的任意两边之和大于第三边解答.
TE,F分别为DC、AB的中点,G是AC的中点,
/.EgJ^D,FG=iBC,
在△EFG中,EFVEG+FG,二EFV土(AD+BC),
2
二2EFVAD+BC.
故选c.
【点评】本题考査了三角形的中位线平行于笫三边并且等于第三边的一半,三角形的三边关系,熟记定理与三边关系是解题的关键•
4・
(2013・无锡)如图,平行四边形ABCD中,AB:
2,ZDAB=60\E在
AB
上,且AE:
EB=1:
2,F是BC的中点,过D分别作DP丄AF于P,DQ丄CE于
A.3:
4B.\/13:
2-75C-a/Ts:
2^6D.zVs:
a/Ts
【分析】连接DE、DF,过F作FN丄ABN,过C作CM一AB于根据三角
形的面积和平行四边形的面积得出Sadec=Sadfa=^S平你妆形ABCD,求出AFXDPCE乙
XDQ,设AB=3“BC=2a,贝ijBF=a,BE=2arBN=ia,BM=a,CM=V3a,
求IllAF=VT3a,CE=2V3a,代入求出即可.
连接DE、DF,过F作FN1AB于N,过C作CM丄AB于
根据三角形的面积和平行四边形的面积得:
SaDEC=S/.DFA=-^S平你血形ABCD'
乙
即丄AFXDP去:
EXDQ,
/.AFXDP=CEXDQr
T四边形ABCD是平行四边形,
二AD〃BC,7ZDAB=60\
AZCBN=ZDAB=60\/.ZBFN=ZMCB=30\
TAB:
2r
二设AB=3a,BC=2a,
VAE:
2,F是BC的中点,
••BF=a,BE=2a*
BM=a,
山勾股定理得:
FN&
^a,CM=V3a,
AF彳(九+知)2+(誓■&
)
CE=4(3&
)2=2{5a,
P=2V^・DQ
■••DP:
DQ=2V3:
伍.
【点评】本题考査了平行四边形面积,勾股定理,三角形的面积,含30度角的直角三角形等知识点的应用,关键是求dlAFXDP=CEXDQ和求出AF、CE的值•
5.(2016*湘西州)下列说法错误的是(
A.对角线互相平分的四边形是平行四边形
B.两组对边分别相等的四边形是平行四边形
C.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
D.—组对边相等,另一组对边平行的四边形是平行四边形
【分析】根据平行四边形的判定定理进行分析即可•
A、两条对角线互相平分的四边形是平行四边形,故本选项说法正确;
B、两组对边分别相等的四边形是平行四边形,故本选项说法正确;
C、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形,故本选项说法正确;
D、一组对边相等,另一组对边平行的四边形不一定是平行四边形,例如:
等腰
梯形,故本选项说法错误;
D・
【点评】此题主要考査了平行四边形的判定:
(1)两组对边分别平行的四边形是
平行四边形•
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形・
两组对角分别相等的四边形是平行四边形•
对角线互相平分的四边形是平行四边形•
6-(2015*麒麟区一模)已知S如图,在QABCD中,点E在AD上,连接BE,DF
【分析】由平行四边形的性质得到邻角互补,再根据角平分线的性质得到两锐角互余,得到直角,于是可得结论•
【解答】证明:
在"
BCD中,
TAD〃BC,
AZDAB+ZABC=180\
VAFrBE分别平分ZBAD,ZABC,
AZBAF=ZDAFrZABE=ZCBEr
・•・zfab+zabe=£
(zdab+Zmc)=90°
AZEMF=ZAMB=90°
同理ZMEN=ZMFN=90\
二四边形MFNE是矩形•故选B.
【点评】本题考查了平行四边形的性质,角平分线的性质,矩形的判定,熟记矩形的判定定理是解题的关键•
1.(2011»
安徽)如图,D是△ABC内一点,BD丄CD,AD=6rBD=4,CD=3,E、
F、G、H分别是AB、AC、CD、BD的中点,则四边形EFGH的周K是(
【分析】根据勾股定理求出BC的长,根据三角形的中位线定理得到HG=±
BC=E.
求出EF、HG、EH.FG的长,代入即可求出四边形EFGH的周长.
2=5,
VBD丄DC,BD=4,CD=3,山勾股定理得:
BU低瓦云
TE、F、G、H分别是AB、AC、CD、BD的中点,
AHG=iBC=EF,EH二FG丄AD,
7AD=6r
AEF=HG=2.5,EH=GF=3,
化四边形EFGH的周长是EF+FG-hhG+EH=2X(2.5+3)=11-
故选D-
【点评】本题主要考査对勾股定理,三角形的中位线定理等知识点的理解和掌握,能根据三角形的中位线定理求出EF、HG、EH.FG的长是解此题的关键•
8-(2016*龙岩模拟)如图所示,M是-ABCD的边AD±
任意一点,若△CMB的
面积为S,△CDM的面积为S1,△ABM的面积为S2,则下列S,Si,S2的大小关
系中正确的是(
A.S>
Si+S2
B.S二S1+S2
C.SVS1+S2
D.S*jS1+S2的大小关系无法确定
【分析】根据平行四边形的性质得到AD=BC,而△CMB的面积为S=^BCe高,△
CDM的面积为Si4|VID•高,△ABM的面积为Sz^AM•臥这样得到Si+Sz-^MD*
222
喝am•高令⑹D+A⑷•高令BC倂S,山此则可以推出S,snS2的大小关
系-
•••四边形ABCD是平行四边形,
AAD=BCr
VACMB的面积为S二丄BG高,△CDM的面积为51=^171D*高,△ABM的面积为
$2=—
而它们的高都是等于平行四边形的高,
ASi+S2=iMD*fSi+iAM•高丄(MD+AM)
则S,SnS2的大小关系是S=Si+S2.
故选B・
【点评】本题考查平行四边形的性质对边相等以及三角形的面积计算公式・
二填空题(共3小题)
9.(2015<梅州)如图,在"
BCD中,BE平分ZABC,BC=6,DE=2r则-ABCD的
周长等于20•
【分析】根据四边形ABCD为平行四边形可得AE//BC,根据平行线的性质和角平分线的性质可得出ZABE二ZAEB,继而可得AB=AE,然后根据已知可求得结果•
•••四边形ABCD为平行四边形,
•AE〃BC,AD=BC,AB=CD,
•ZAEB=ZEBC,
'
BE平分ZABCr
•ZABE=ZEBC,
•ZABE=ZAEB,
.AB=AE,
.AE+DE=AD=BC=6,
•AE+2=6,
.AE=4,
.AB=CD=4,
.-ABCD的周长=4+4+6+6=20,故答案为:
20.
【点评】本题考査了平行四边形的性质,解答本题的关键是根据平行线的性质和角平分线的性质得出ZABE二ZAEB.
10.(2013>碑林区校级一模)如图,已知AB=10,P是线段AB±
的动点,分别
以AP、PB为边在线段AB的同侧作等边△ACP和△PDB,连接CD,设CD的中点为G,当点P从点A运动到点B时,则点G移动路径的长是」_•
【分析】分别延长AC、BD交于点H,易证四边形CPDH为平行四边形,得出G
为PH中点,则G的运行轨迹△HAB的中位线MN,运用中位线的性质求出MN的长度即可•
如图,分别延长AC、BD交于点H,
VZA=ZDPB=60°
/.AH〃PD,
VZB=ZCPA=60"
ABH〃PC,二四边形CPDH为平行四边形9
ACD'
jHP互相平分・
TG为CD的中点,
「•G正好为PH中点,即在P的运动过程中,G始终为PH的中点,所以G的运行轨迹为△HAB的中位线MN.
AMN=AAB=5r即G的移动路径长为5.
故答案为:
5.
H
【点评】本题考査了三角形中位线定理及等边三角形的性质,解答本题的关键是作出辅助线,找到点G移动的规律,判断出其运动路径,综合性较强.
11.(2016春•靖江市校级期中)如图,平行四边形ABCD中,BE丄AD于E,BF
丄CD于F,BE=2,BF=3,平行四边形ABCD的周长为20,则平行四边形ABCD的
面积为12•
【分析】根据平行四边形的周长求出AD+CD,再利用面积列式求出AD、CD的关系,然后求出AD的长,再利用平行四边形的面积公式列武讣算即可得解.
V-ABCD的周氏为20,
A2(AD+CD)=20,•••AD+CD=10①,
VSm8CO=AD*BE=CD*BF,/.2AD=3CD@,
联立①.②解得AD=6,
-ABCD的面积=AD*BE=6X2=12.
12.
【点评】本题考查了平行四边形的性质,根据面积的两种表示求出2AM3CD是解题的关键,也是本题的难点•
三.解答题(共19小题)
12.(2013*兰州)如图:
b在^OAB中,ZOAB=90\ZAOB=30\OB=&
以OB
为边,在△OAB外作等边△OBC,D是OB的中点,连接AD并延氏交OC于E.
求OG的长•
【分析】
(1)首先根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半可得DO=DA,再根据等边对等角可得ZDAO=ZDOA=30\进而算diZAEO=60\再证明BC〃AE,
CO〃AB,进而证出四边形ABCE是平行四边形:
(2)设OG二X,山折叠可得:
AG=GC=8-X,再利用三角函数可讣算出AO,再利
用勾股定理计算出OG的长即可.
【解答】
(1)证明:
VRtAOAB中,D为0B的中点,二AD=i0B,OD=BD=ioB
/.DO=DA,
二ZDAO=乙DOA=30"
ZEOA=90"
AZAEO=60%
乂VAOBC为等边三角形,
AZBCO=ZAEO=60"
/.BC〃AE,7ZBAO=ZCOA=90\/.CO#AB,
•••四边形ABCE是平行四边形;
(2)解:
设OG=x,[ll折叠可得:
AG=GC=8-Xr
在RtAABO中,
VZOAB=90"
ZAOB=30\B0=8,
AAO-BO*cos30"
-8X
在RtZiOAG中,OG2+OA2二AG2,
x2+(4\/3)2=(8-X)2,
X=lr
/.OG=1.
【点评】此题主要考査了平行四边形的判定与性质,以及勾股定理的应用,图形的翻折变换,关键是掌握平行四边形的判定定理•
13.C2015*滨州模拟)已知:
如图,-ABCD中,ZABC的平分线交AD于E,Z
CDA的平分线交BC于F.
△ABE空△CDF;
(2)连接EF、BD,求证SEF与BD互相平分・
(1)首先山平行四边形的性质可得AB//CD,AB=CD;
ZA=ZC,ZABC=
ZCDA,再山条件ZABC的平分线交AD于E,ZCDA的平分线交BC于F可得ZABE帯ABC,ZCD气RA,进而得到ZABE必DF,再利用ASA定理可判定
AABE^ACDF;
(2)首先根据^ABE空△CDF可得AE=CFr再根据平行四边形的性质可得AD=CB,
AD//BC.进而得到DE=BF且DE〃BF,根据一组对边平行且相等的四边形是平行
四边可证出四边形BFDE是平行四边形,再根据平行四边形对角线互相平分可证出结论•
(1)证明:
T四边形ABCD是平行四边形,「•AB二CD,ZA=ZCrZABC=ZCDA,
TBE平分ZABCrDF平分ZCDA,二ZABE丄ZABC,ZCDF二丄ZCDA.
AZABE=ZCDFr
2A=ZC
在△ABE和△CDF中AB=CD
ZABE二ZCDF
、
AAABE^ACDF(ASA).
连接EF、DB,
△ABE丝△CDF,
.AE=CF,
•四边形ABCD是平行四边形,
.AD=CBrAD〃BC,
•DE二BF且DE〃BF・
•四边形BFDE是平行四边形,
.EFBD互相平分.
【点评】此题主要考查了全等三角形的判定与性质,平行四边形的判定与性质,关键是熟练掌握平行四边形的性质:
平行四边形对应边相等,对应角相等,对角线互相平分•
14.(2013・永州)如图,M是△ABC的边BC的中点,AN平分ZBAC,BN丄AN
15.
于点N,延长BN交AC于点D,已知AB=10,BC=15,MN=3
(2)先判断MN是△BDC的中位线,从而得出CD,[1]
(1)可得AD=AB=10,从
而计算周长即可・
在ADN中,
■厶二Z2
-AN二AN,
ZANB=ZAM)
/.AABN^AADN(ASA),/.BN=DN.
VAABN^AADN,/.AD=AB=1O,
乂T点M是BC中点,
AMN是△BDC的中位线,
ACD=2MN=6,
故△ABC的周长=AB+BC+CD+AD=10+15+6+10=41.
【点评】本题考査了三角形的中位线定理及等腰三角形的判定,注意培养自己的敏感性,一般出现高、角平分线重合的情况,都需要找到等腰三角形・
16.
(2016*新媼)如图,四边形ABCD中,AD〃BC,AE丄AD交BD于点E,CF
【分析】山垂直得到ZEAD=ZFCB=90\根据AAS可证明RtAAED^RtACFB,得到AD=BC,根据平行四边形的判定判断即可.
TAE丄AD,CF丄BC,/.ZEAD=ZFCB=90\
/.ZADE=ZCBFr
在RtAAED和RtACFB中,
"
ZADE二ZCBFZEAD=ZFCB=9O*,AE=CF
I
/.RtAAED^RtACFB(AAS),/.AD=BCr
VAD/7BCr
•••四边形ABCD是平行四边形.
【
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