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•:
%=2十4(川一1〉=如一2・一
二、等差数列及其前n项和
(一)等差数列的判定
1、等差数列的判定通常有两种方法:
第一种是利用定义,anan1d(常数)(n2),第二种是利用等差中项,即2a.务1%i(n2)。
2、解选择题、填空题时,亦可用通项或前n项和直接判断。
(1)通项法:
若数列{an}的通项公式为n的一次函数,即an=An+B,则{an}是等差数列;
(2)前n项和法:
若数列{a.}的前n项和Sn是SnAn2Bn的形式(A,B是常数),则{a“}是等
差数列。
注:
若判断一个数列不是等差数列,则只需说明任意连续三项不是等差数列即可。
1〖例〗已知数列{an}的前n项和为Sn,且满足6盼夯乩0(n2),a1-
(1)求证:
1
{丄}是等差数列;
Sn
(2)求an的表达式。
解答:
1)等式两边同除以
SngSn1得丄-丄+2=0,即丄-丄=2(n>
2).•••{—}是以丄=丄=2
SrnSnSnSn1&
$印
⑵由£
的关系式Sn的关系式an
为首项,以2为公差的等差数列。
又•••印1,不适合上式,故an
2
2n(n1)
(n1)
(n2)
【例】已知数列{an}的各项均为正数,
a1=1•其前n项和Sn满足2Sn=2pag+an—p(p€R),则{an}的通项公式为
ta1=1,二2a1=2pa1+a1—p,
即2=2p+1—p,得p=1.
于是2Sn=2an+an—1.
当n》2时,有2Sn-1=2a2-1+an-1—1,两式相减,得2an=2an—2a2-1+an—an-1,整理,得2(an+an-1)(an
一an—1—刁=0.
11n+1
又Tan>
0,•••an—an-1=彳于是{an}是等差数列,故an=1+(n—1)2=—厂.
(2)等差数列的基本运算
1、等差数列的通项公式a*=@+(n-1)d及前n项和公式Sn也^1旦』n^旦厂,共涉及五
22
个量a1,an,d,n,&
“知三求二”,体现了用方程的思想解决问题;
2、数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用,而a1和d是等差数列的两个基本量,
用它们表示已知和未知是常用方法。
因为一nna1a1(n1),故数列{-}是等差数列。
n222n
〖例〗已知数列{xn}的首项X1=3,通项Xn2npnq(nN,p,q为常数),且x,,X4,X5成等差数
列。
求:
(1)p,q的值;
(2)数列{Xn}的前n项和Sn的公式。
(1)由%=3与X!
X4,X5成等差数列列出方程组即可求出p,q;
(2)通过Xn利用条件分成两
个可求和的数列分别求和。
(1)由Xi=3得2pq3
55
2p5q,且XiX52X4,得32p5q
由①②联立得p1,q1。
(2)由
(1)得,Xn2nn
乙“2
(三)等差数列的性质
1、等差数列的单调性:
等差数列公差为d,若d>
0,则数列递增;
若d<
0,则数列递减;
若d=0,则数列为常数列。
★2、等差数列的简单性质:
略
典型例题
5.(湖北卷)已知两个等差数列
{an}和{bn}的前n项和分别为An和Bn,
且△
Bn
7n45a
上5,则使得旦为整数
n3bn
的正整数n的个数是(D
A.2
6、在数列{an}中,若a1=1,an+1=2an+3(n>
1),则该数列的通项an=,
由an+1=2an+3,则有an+1+3=2(an+3),
即an"
3=2.
an+3
所以数列{an+3}是以ai+3为首项、公比为2的等比数列,即an+3=42厂=2n+勺,所以an=2n+1-3.
7、已知方程(X2—2x+m)(x2—2x+n)=0的四个根组成一个首项为才的等差数列,则|m-n|的值等于.
如图所示,易知抛物线y=X2—2x+m与y=x2—2x+n有相同的对称轴x=1,它们与x轴的四个交点依
次为A、B、C、D.
17
因为xA=1,则XD=4.
35
又|AB|=|BC|=|CD|,所以XB=3,XC=4.
m—n|=»
7—3x5|=1
444412'
8、在等差数列{an}中,a1=—3,11a5=5as—13,则数列{an}的前n项和®
的最小值为.
设公差为d,贝U11(—3+4d)=5(—3+7d)—13,
•••d=5
9.
••数列{an}为递增数列.
532
令an<
0,•••—3+(n—1)0,•-nW—,
•/n€N*.
•••前6项均为负值,•Sn的最小值为S5=—字.
3
6.若两个等差数列an和bn的前n项和分别为Sn和Tn,且满足§
,则旦6
Tnn3b8
7.(北京卷)(16)(本小题共13分)
已知an为等差数列,且a36,a60。
(I)求an的通项公式;
(n)若等差数列
bn满足b1
8,b2
a1a2a3,求bn的前n项和公式
解:
(I)设等差数列
{an}的公差d
。
因为a3
6,a6
a1
2d
6
所以1
解得
10,d2
5d
所以
an10(n
1)2
2n12
(n)设等比数列
{bn}的公比为
q
因为b2a1a2a324,b8
所以8q24即q=3
★等差数列的最值:
若{an}是等差数列,求前n项和的最值时,
an0
(1)若a1>
0,d>
0,且满足,前n项和Sn最大;
an10
(2)若a1<
0,且满足,前n项和Sn最小;
(3)除上面方法外,还可将{an}的前n项和的最值问题看作Sn关于n的二次函数最值问题,利用二次函数的图象或配方法求解,注意nN。
1例〗已知数列{an}是等差数列。
(1)右amn,anm(mn),求amn
(2)若Smn,Snm(mn),求Smn
设首项为ai,公差为d,
(1)由amn,anm,d
(1)求数列{an}的通项公式;
2.已知数列an是等差数列,其前n项和为Sn,a36,Ss12.
12.解:
设数列{an}的公差为d,贝yS=na1+2n(n—1)d.
a1=—2
d=1
B、等比数列知识点及练习题
(一)等比数列的判定
判定方法有:
等比数列;
7a1+21d=7
-S7=7,S15=75,..,…
15a1+105d=75
Sn11
•二=a1+•(n—1)d=—2+•(n—1)
n22
前n项和公式法:
若数列an的前
n项和Snkoqnk(k为常数且k0,q0,1),则数列a
是等比数列;
(1)前两种方法是判定等比数列的常用方法,而后两种方法常用于选择、填空中的判定;
(2)若
要判定一个数列不是等比数列,则只需判定其任意的连续三项不成等比数列即可。
〖例〗
在数列an中,a12,an14务
3n1,n
N
证明数列ann是等比数列;
求数列an的前n项和Sn;
(3)
证明不等式Sn14Sn对任意n
N皆成立。
(1)由题设an14an3n1,得a.
1(n1)
4(an
n),nN。
又a111,所以数列ann
是首项为1,且公比为4的等比数列。
(2)由
(1)可知an
n1
n4,于是数列
an
的通项公式为
n
an4
n。
所以数列
an的前n项和
4n11n(n1)
(3)对任意的nN
Sn14Sn4——1
(n1)(n2)£
4Sn对任意nN皆成立。
(二)等比数列的的运算
n(n1)]
1(3n2
4)0,
所以不等式
等比数列基本量的运算是等比数列中一类基本问题,数列中有五个量
n,q,an,
Sn,显然,“知
三求二”,通常列方程(组)求解问题。
解决此类问题的关键是熟练掌握等比数列的有关公式,在运算过程
中,还应善于运用整体代换思想简化运算的过程。
在使用等比数列的前n项和公式时,应根据公比q的情况进行分类讨论,切不可忽视q的取值而盲
目用求和公式。
设数列
bn的前n项和为
求数列
bn的通项公式;
右Cn
angbJnN),
(1)由
bn=2-2Sn,得b
得bn1
22Sn1
Sn,且bn=2-2Sn;
数列an为等差数列,且玄614®
20。
Tn为数列cn的前n项和,求证:
Tn-。
【放缩法】
22S1,又Si=bi,所以bi=,由bn=2-2Sn
3匸屮=&
・即-21
②-①得bn1bn2bn1,二宀豈,二bn是以一为首项,以一为公比的等比
33
21
数列,所以bn=2•(丄)“。
(2)•••an为等差数列,•••d至皀3,•••丄i—i—5「从而
75
厲=為•^=2(371^1)•(寺厂
112131n-
•Tn2[2g;
5比)8g;
)L(3n1)g;
)]③
3333
111111•-Tn2[2g^-)25g;
)38g^-)4L(3n4)(汀(3n1)(;
)n)④
333333
③-④得
—T=
3几
——2(3n-1)•(^)b+,1
2\_Z•-7-+3*(寺)°
亠3•…)T1—<
3斤一1)•(壬尸斗'
]
(三)等比数列性质的应用
★在等比数列中常用的性质主要有:
(1)对于任意的正整数朴小使v若皿p牛,则%•4=玛•%特别地,若
丁卄尸“赳」j*氐一心;
(2)对于任意正整数祖川,有%—%勺'
;
(3)若数列an是等比数列,则can(c0),anan,一也是等比数列,若bn是等比数列,
则ang也是等比数列;
(4)数列I3U浪'
%'
沁'
…仍成等比数列;
(5)数列弘名—也'
弘—乩是等比数列(q工-1);
★(6)等比数列的单调性
Q|产*0[£
1||吒气。
当.或•时讥爲J是递増数列.
q>
l[QG厂J
当或时仏堤递减数列.()<
1IQ>
当时.数列血/是常数列,
半卢0时;
数列[如是摆动数列;
各项£
负号相间.
(A)14
(B)21(C)28
(D)35
等比数列中所有奇数项的符号相同,所有偶数项的符号也相同。
【考查点】考查等差数列的基本公式和性质
【解析】a3a4
a53a412,a44,a2L
a77(a1a7)7a4
28
2.(辽宁理数)
(6)
设{an}是有正数组成的等比数列,
Sn为其前n项和。
已知
a2a4=1,S37,则S5
15313317
(A)2(B)4(C)4(D)2
【考查点】等比数列的通项公式与前n项和公式。
【解析】
由
玄2玄4=1可得
24
aiq1
a12
因此q
又因为S3a1(1qq)7,联力两式有
4(1i)
31
11
(—3)(-
2)
丄S
2
1丄
4
,所以q=
=2,所以
3.(辽宁卷)(14)设Sn为等差数列{an}的前n项和,若S33,S624,则a915
S.
3a1
32d
a11
?
i
解:
解得
a9a18d15
65
d2
S6
6a1
d
24
Tn0为数列{Tn}的最大项,贝U山=
【其他考点题】
C.Se>
Sb
D.S与S均为Sn的最大值
A.dv0
B.a7=0
解析:
由S5<
Se得a+a2+a3+…+a5<
a1+a2+…+as+a6,^a6>
0,又$=$,••a1+a2+…+a6=a+a2+…+a6+a7,「.a7=0,由
S7>
S,得a8<
0,而C选项S>
Sb,即卩a6+a7+a8+as>
02(a7+a$)>
0,由题设a7=0,a8<
0,显然C选项是错误的。
c123Ln/c、
2、lim2=(C)
nn
(A)2(B)4(C)-(D)0
(A)1(B)2
(C)3(D)4
4、已知等差数列%
的前n项和为Snpn2nq(P,qR),nN
3、已知a、b、c成等比数列,
a、x、b和b、y、c都成等差数列,且xy丰0,那么—
x
(I)求q的值;
2log2bn,求数列的{bn}前n项和。
(I)解法一:
当n1时,aiSp2q.
当n
2时,an
Sn1
pn2nq
P(n
1)2
2(n1)
2pn
p2
Qa.
n是等差数列,
p
2q2p
q0…
4分
解法二
二:
1时,
a1S1
p2q
pn22nq
2pm
3时,a1
an1
p2[2p(n
1)
2]2p.
a2
2p
3p:
2q.
又%
2p2
3p
5
3p2q
2,得
q0
•4分
c
-的值为(B)O
y
(n)若ai与a5的等差中项为18,bn满足an
Qa3
(n)解:
a1a5
a3
18
又a36pp
6pp
218
又an2log2b
n得bn
4n3
bn1
24(n1)
16b
即bn
b12bn
J
24n3
是等比数列。
bn
Tn
2(116n)
p4an8n6
的前n项和
116
15(16n1)
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