届高考数学一轮复习第九章算法初步统计统计案例第三节用样本估计总体学案文.docx
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届高考数学一轮复习第九章算法初步统计统计案例第三节用样本估计总体学案文
1.了解分布的意义和作用,会列频率分布表,会画频率分布直方图、频率折线图、茎叶图,理解它们各自的特点.
2.理解样本数据标准差的意义和作用,会计算数据标准差.
3.能从样本数据中提取基本的数字特征(平均数、标准差),并给出合理解释.
4.会用样本的频率分布估计总体的分布,会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征,理解用样本估计总体的思想.
5.会用随机抽样的基本方法和样本估计总体的思想解决一些简单的实际问题.
知识点一 用样本的频率分布估计总体分布
1.通常我们对总体作出的估计一般分成两种,一种是用样本的频率分布估计总体的频率分布,另一种是用样本的数字特征估计总体的数字特征.
2.在频率分布直方图中,纵轴表示______,数据落在各小组内的频率用__________________表示,各小长方形的面积总和等于____.
3.连接频率分布直方图中各小长方形上端的中点,就得到频率分布折线图.随着样本容量的增加,作图时所分的______增加,组距减小,相应的频率分布折线图就会越来越接近于一条光滑的曲线,统计中称之为____________,它能够更加精细的反映出总体在各个范围内取值的百分比.
4.当样本数据较少时,用茎叶图表示数据的效果较好,它不但可以保留所有信息,而且可以随时记录,给数据的记录和表示都带来方便.
答案
2. 各小长方形的面积 1
3.组数 总体密度曲线
1.判断正误
(1)在频率分布直方图中,小矩形的高表示频率.( )
(2)频率分布直方图中各个长方形的面积之和为1.( )
答案:
(1)×
(2)√
2.(2016·山东卷)某高校调查了200名学生每周的自习时间(单位:
小时),制成了如图所示的频率分布直方图,其中自习时间的范围是[17.5,30],样本数据分组为[17.5,20),[20,22.5),[22.5,25),[25,27.5),[27.5,30].根据直方图,这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是( )
A.56B.60
C.120D.140
解析:
由频率分布直方图可知,这200名学生每周的自习时间不少于22.5小时的频率为(0.16+0.08+0.04)×2.5=0.7,故这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数为200×0.7=140.故选D.
答案:
D
3.甲、乙两个班各随机选出15名同学进行测验,所得成绩的茎叶图如图.从图中看________班的平均成绩较高.
解析:
结合茎叶图中成绩的情况可知,乙班平均成绩较高.
答案:
乙
知识点二 用样本的数字特征估计总体的数字特征
1.众数、中位数、平均数
(1)众数:
在一组数据中,出现次数最多的数据叫做这组数据的众数.
(2)中位数:
将一组数据按大小依次排列,把处在最中间位置的一个数据(或最中间两个数据的平均数)叫做这组数据的中位数.
(3)平均数:
样本数据的算术平均数,即=__________________.在频率分布直方图中,中位数左边和右边的直方图的面积______.
2.样本方差、标准差
标准差s=________________________________________.
其中xn是样本数据的第n项,n是样本容量,是平均数.标准差是反映总体波动大小的特征数,样本方差是标准差的平方.通常用样本方差估计总体方差,当样本容量接近总体容量时,样本方差很接近总体方差.
答案
1.(3)(x1+x2+…+xn) 相等
2.
4.某厂10名工人在一个小时内生产零件的个数分别是15,17,14,10,15,17,17,16,14,12,设该组数据的平均数为a,中位数为b,众数为c,则有( )
A.a>b>cB.b>c>a
C.c>a>bD.c>b>a
解析:
把该组数据按从小到大的顺序排列为10,12,14,14,15,15,16,17,17,17,其平均数a=×(10+12+14+14+15+15+16+17+17+17)=14.7,中位数b==15,众数c=17,则a
答案:
D
5.某学员在一次射击测试中射靶10次,命中环数如下:
7,8,7,9,5,4,9,10,7,4.
则:
(1)平均命中环数为________;
(2)命中环数的标准差为________.
解析:
(1)=
=7.
(2)s2=[(7-7)2+(8-7)2+(7-7)2+(9-7)2+(5-7)2+(4-7)2+(9-7)2+(10-7)2+(7-7)2+(4-7)2]=4,∴s=2.
答案:
(1)7
(2)2
热点一 频率分布直方图及应用
考向1 求频率与概率
【例1】 某电子商务公司对10000名网络购物者2014年度的消费情况进行统计,发现消费金额(单位:
万元)都在区间[0.3,0.9]内,其频率分布直方图如图所示.
(1)直方图中的a=________.
(2)在这些购物者中,消费金额在区间[0.5,0.9]内的购物者的人数为________.
【解析】 由频率分布直方图及频率和等于1可得0.2×0.1+0.8×0.1+1.5×0.1+2×0.1+2.5×0.1+a×0.1=1,解得a=3,消费金额在区间[0.5,0.9]内的频率为0.2×0.1+0.8×0.1+2×0.1+3×0.1=0.6,所以消费金额在区间[0.5,0.9]内的购物者的人数为0.6×10000=6000.
【答案】
(1)3
(2)6000
考向2 求样本的数字特征
【例2】 某校从参加高一年级期中考试的学生中随机抽出60名学生,将其物理成绩(均为整数)分成六段[40,50),[50,60),…,[90,100]后得到如图所示的频率分布直方图,观察图形的信息,回答下列问题:
(1)求分数在[70,80)内的频率,并补全这个频率分布直方图;
(2)统计方法中,同一组数据常用该组区间的中点值作为代表,据此估计本次考试中的平均分.
【解】
(1)设分数在[70,80)内的频率为x,根据频率分布直方图,有(0.010+0.015×2+0.025+0.005)×10+x=1,可得x=0.3,所以频率分布直方图如图所示.
(2)平均分:
45×0.1+55×0.15+65×0.15+75×0.3+85×0.25+95×0.05=71(分).
【总结反思】
频率分布直方图直观形象地表示了样本的频率分布,从这个直方图上可以求出样本数据在各个组的频率分布.根据频率分布直方图估计样本(或者总体)的平均值时,一般是采取每组中值乘以各组的频率的方法.
(2016·四川卷)我国是世界上严重缺水的国家,某市为了制定合理的节水方案,对居民用水情况进行了调查.通过抽样,获得了某年100位居民每人的月均用水量(单位:
吨),将数据按照[0,0.5),[0.5,1),…,[4,4.5]分成9组,制成了如图所示的频率分布直方图.
(Ⅰ)求直方图中a的值;
(Ⅱ)设该市有30万居民,估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数,说明理由;
(Ⅲ)估计居民月均用水量的中位数.
解:
(Ⅰ)由频率分布直方图,可知:
月均用水量在[0,0.5)的频率为0.08×0.5=0.04.
同理,在[0.5,1),[1.5,2),[2,2.5),[3,3.5),[3.5,4),[4,4.5)组的频率分别为0.08,0.21,0.25,0.06,0.04,0.02.
由1-(0.04+0.08+0.21+0.25+0.06+0.04+0.02)=0.5×a+0.5×a,解得a=0.30.
(Ⅱ)由(Ⅰ),100位居民月均用水量不低于3吨的频率为0.06+0.04+0.02=0.12.
由以上样本的频率分布,可以估计30万居民中月均用水量不低于3吨的人数为300000×0.12=36000.
(Ⅲ)设中位数为x吨.
因为前5组的频率之和为0.04+0.08+0.15+0.21+0.25=0.73>0.5,
而前4组的频率之和为0.04+0.08+0.15+0.21=0.48<0.5,
所以2≤x<2.5.
由0.50×(x-2)=0.5-0.48,解得x=2.04.
故可估计居民月均用水量的中位数为2.04吨.
热点二 茎叶图及应用
【例3】 (2017·福州模拟)某大学为调查来自南方和北方的大学生的身高差异,从2013级的年龄在18—19岁之间的大学生中随机抽取了来自南方和北方的大学生各10名,测量得他们的身高(单位:
cm)如下:
南方:
158,170,166,169,180,175,171,176,162,163.
北方:
183,173,169,163,179,171,157,175,178,166.
画出题中两组数据的茎叶图,并根据茎叶图对来自南方和北方的大学生的身高进行比较,写出两个统计结论.
【解】 题中两组数据的茎叶图如图所示:
统计结论:
①北方大学生的平均身高大于南方大学生的平均身高;②南方大学生的身高比北方大学生的身高更整齐;③南方大学生的身高的中位数是169.5,北方大学生的身高的中位数是172;④南方大学生的身高基本上是对称的,而且大多数集中在均值附近,北方大学生的身高分布较分散.
【总结反思】
(1)茎叶图保留了全部的样本数据;
(2)从茎叶图上可以发现样本数据的分散与集中程度,从而对样本数据的平均值和方差作出定性判断.
(1)某中学从甲、乙两个艺术班中各选出7名学生参加市级才艺比赛,他们取得的成绩(满分100分)的茎叶图如图所示,其中甲班学生成绩的众数是85,乙班学生成绩的中位数是83,则x+y的值为( )
A.6 B.8 C.9 D.11
(2)为了从甲、乙两人中选一人参加数学竞赛,老师将二人最近6次数学测试的分数进行统计,甲、乙两人的平均成绩分别是甲、乙,则下列说法正确的是( )
A.甲>乙,乙比甲成绩稳定,应选乙参加比赛
B.甲>乙,甲比乙成绩稳定,应选甲参加比赛
C.甲<乙,甲比乙成绩稳定,应选甲参加比赛
D.甲<乙,乙比甲成绩稳定,应选乙参加比赛
解析:
(1)由茎叶图可知,茎为8时,甲班学生成绩对应数据只能是80,80+x,85,因为甲班学生成绩众数是85,所以85出现的次数最多,可知x=5.由茎叶图可知,乙班学生成绩为76,81,81,80+y,91,91,96,由乙班学生成绩的中位数是83,可知y=3.所以x+y=8.故选B.
(2)由茎叶图知甲==82.乙=≈87.33.所以甲<乙,又由乙的茎集中在8,而甲较分散,即乙比甲成绩稳定.故选D.
答案:
(1)B
(2)D
热点三 样本的数字特征
【例4】 (必修③P79练习第3题改编)将甲、乙两个篮球队10场比赛的得分数据整理成如图所示的茎叶图,由图可知( )
A.甲、乙两队得分的中位数相等
B.甲、乙两队得分的平均数相等
C.甲、乙两队得分的极差相等
D.甲、乙两队得分的方差相等
【解析】 由中位数定义知,甲的中位数为=37,乙的中位数为=37.5,故选项A错误;由平均数定义得甲=(24+26+33+33+36+38+43+47+49+51)=38,乙=(22+25+32+33+34+41+44+45+51+53)=38,故选项B正确;由极差定义得,甲的极差为51-24=27,乙的极差为53-22=31,故选项C错误;由方差定义知,s=[(24-38)2+(26-38)2+…+(51-38)2]=79,s=[(22-38)2+(25-38)2+…+(53-38)2]=99,故选项D错误.故选B.
【答案】 B
【总结反思】
平均数与方差都是重要的数字特征,是对总体的一种简明的描
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