指数函数经典例题及课后习题.docx
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指数函数经典例题及课后习题.docx
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指数函数经典例题及课后习题
指数函数及其基本性质
指数函数的定义
一般地,函数叫做指数函数,其中x是自变量,函数的定义域是.
问题:
指数函数定义中,为什么规定“”如果不这样规定会出现什么情况?
(1)若a<0会有什么问题?
(如则在实数范围内相应的函数值不存在)
(2)若a=0会有什么问题?
(对于,无意义)
(3)若a=1又会怎么样?
(1x无论x取何值,它总是1,对它没有研究的必要.)
师:
为了避免上述各种情况的发生,所以规定且.
指数函数的图像及性质
函数值的分布情况如下:
指数函数平移问题(引导学生作图理解)
用计算机作出的图像,并在同一坐标系下作出下列函数的图象,并指出它们与指数函数y=的图象的关系(作图略),
⑴y=与y=.
⑵y=与y=.
f(x)的图象
向左平移a个单位得到f(x+a)的图象;
向右平移a个单位得到f(x-a)的图象;
向上平移a个单位得到f(x)+a的图象;
向下平移a个单位得到f(x)-a的图象.
指数函数·经典例题解析
(重在解题方法)
【例1】求下列函数的定义域与值域:
解
(1)定义域为x∈R且x≠2.值域y>0且y≠1.
(2)由2x+2-1≥0,得定义域{x|x≥-2},值域为y≥0.
(3)由3-3x-1≥0,得定义域是{x|x≤2},∵0≤3-3x-1<3,
及时演练求下列函数的定义域与值域
(1);
(2);
(3);
【例2】指数函数y=ax,y=bx,y=cx,y=dx的图像如图2.6-2所示,则a、b、c、d、1之间的大小关系是
[]
A.a<b<1<c<d
B.a<b<1<d<c
C.b<a<1<d<c
D.c<d<1<a<b
解选(c),在x轴上任取一点(x,0),则得b<a<1<d<c.
及时演练
指数函数①②满足不等式,则它们的图象是().
【例3】比较大小:
(3)4.54.1________3.73.6
解(3)借助数4.53.6打桥,利用指数函数的单调性,4.54.1>4.53.6,作函数y1=4.5x,y2=3.7x的图像如图2.6-3,取x=3.6,得4.53.6>3.73.6
∴4.54.1>3.73.6.
说明如何比较两个幂的大小:
若不同底先化为同底的幂,再利用指数函数的单调性进行比较,如例2中的
(1).若是两个不同底且指数也不同的幂比较大小时,有两个技巧,其一借助1作桥梁,如例2中的
(2).其二构造一个新的幂作桥梁,这个新的幂具有与4.54.1同底与3.73.6同指数的特点,即为4.53.6(或3.74.1),如例2中的(3).
及时演练
(1)1.72.5与1.73
(2)与
(3)1.70.3与0.93.1 (4)和
【例5】已知函数f(x)=a-,若f(x)为奇函数,则a=________.
【解析】 解法1:
∵f(x)的定义域为R,又∵f(x)为奇函数,
∴f(0)=0,即a-=0.∴a=.
解法2:
∵f(x)为奇函数,∴f(-x)=-f(x),
即a-=-a,解得a=.
【答案】
及时演练
当x=0时,函数y有最大值为1.
(1)判断f(x)的奇偶性;
(2)求f(x)的值域;
(3)证明f(x)在区间(-∞,+∞)上是增函数.
解
(1)定义域是R.
∴函数f(x)为奇函数.
即f(x)的值域为(-1,1).
(3)设任意取两个值x1、x2∈(-∞,+∞)且x1<x2.f(x1)-f(x2)
备选例题
1.比较下列各组数的大小:
(1)若,比较与;
(2)若,比较与;
(3)若,比较与;
(4)若,且,比较a与b;
(5)若,且,比较a与b.
解:
(1)由,故,此时函数为减函数.由,故.
(2)由,故.又,故.从而.
(3)由,因,故.又,故.从而.
(4)应有.因若,则.又,故,这样.又因,故.从而,这与已知矛盾.
(5)应有.因若,则.又,故,这样有.又因,且,故.从而,这与已知矛盾.
小结:
比较通常借助相应函数的单调性、奇偶性、图象来求解.
2.已知,则x的取值范围是___________.
分析:
利用指数函数的单调性求解,注意底数的取值范围.
解:
∵,
∴函数在上是增函数,
∴,解得.∴x的取值范围是.
3.解方程.
解:
原方程可化为,令,上述方程可化为,解得或(舍去),∴,∴,经检验原方程的解是.
评注:
解指数方程通常是通过换元转化成二次方程求解,要注意验根.
4.为了得到函数的图象,可以把函数的图象( ).
A.向左平移9个单位长度,再向上平移5个单位长度
B.向右平移9个单位长度,再向下平移5个单位长度
C.向左平移2个单位长度,再向上平移5个单位长度
D.向右平移2个单位长度,再向下平移5个单位长度
分析:
注意先将函数转化为,再利用图象的平移规律进行判断.
解:
∵,∴把函数的图象向左平移2个单位长度,再向上平移5个单位长度,可得到函数的图象,故选(C).
评注:
用函数图象解决问题是中学数学的重要方法,利用其直观性实现数形结合解题,所以要熟悉基本函数的图象,并掌握图象的变化规律,比如:
平移、伸缩、对称等.
5.已知-1≤x≤2,求函数f(x)=3+2·3x+1-9x的最大值和最小值
解:
设t=3x,因为-1≤x≤2,所以,且f(x)=g(t)=-(t-3)2+12,故当t=3即x=1时,f(x)取最大值12,当t=9即x=2时f(x)取最小值-24。
5.函数y=a|x|(a>1)的图像是()
分析本题主要考查指数函数的图像和性质、函数奇偶性的函数图像,以及数形结合思想和分类讨论思想.
解法1:
(分类讨论):
去绝对值,可得y=
又a>1,由指数函数图像易知,应选B.
解法2:
因为y=a|x|是偶函数,又a>1,所以当x≥0时,y=ax是增函数;x<0时,y=a-x是减函数.
∴应选B.
指数函数练习题
一.选择题:
1.某种细菌在培养过程中,每分钟分裂一次(一个分裂为两个)。
经过个小时,这种细菌由个可繁殖成()
个个个个
2.在统一平面直角坐标系中,函数与的图像可能是()
3.设都是不等于的正数,在同一坐标系中的图像如图所示,则的大小顺序是()
4.若,那么下列各不等式成立的是()
5函数在上是减函数,则的取值范围是()
6.函数的值域是()
7.当时,函数是()
奇函数偶函数既奇又偶函数非奇非偶函数
8.函数且的图像必经过点()
9.若是方程的解,则()
10.某厂1998年的产值为万元,预计产值每年以%递增,则该厂到2010年的产值(单位:
万元)是()
%%%%
二.填空题:
1.已知是指数函数,且,则
2.设,使不等式成立的的集合是
3.若方程有正数解,则实数的取值范围是
4.函数的定义域为
5.函数的单调递增区间为
三、解答题:
1.设,求函数的最大值和最小值。
2函数且在区间上的最大值比最小值大,求的值。
3.设,试确定的值,使为奇函数。
4.已知函数
(1)求函数的定义域及值域;
(2)确定函数的单调区间。
5.已知函数
(1)求函数的定义域;
(2)讨论函数的奇偶性;(3)证明:
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