可换矩阵的公共特征向量研究Word文件下载.docx
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的特征子空间
V
Cn
A
设dimV
k,则k
0,设1,2,
k
为V
的一组基,则iV,于是有Ai
i,
i1,2,,k.
在下面的证明中,我们将证明存在A的属于的一个特征向量,使也是B
的一个特征向量,即存在某数
使B
成立,从而为A与B的公共特征向
量.
由于1,2,,k为V的一组基,设
c11c22ckk
(1)
2
由Aii,则A(Bi)B(Ai)B(i)(Bi),即得BiV,i1,2,,k.
则有lijC,i,j1,2,,k,使得
B
l111
l212
lk1k
l121
l222
lk2k
kl1k1l2k2lkkk
下步将寻找不全为零的c1,c2,,ck,使
(1)成立,并且使为A与B的公共特征
向量.
B(c1
c2
ck
k)
c1B1
c2B2
ckBk
c1(l11
1l21
lk1
ck(l1k
lkkk)
(l11c1
l1kck)1
(lk1c1
lkkck)k
而
(c11
c22
ckk)(c1)1
(ck)k
由B
及1,
2,,
k线性无关,得
l11c1
l12c2
l1kck
c1
l21c1
l22c2
l2kck
(2)
lk1c1
lk2c2
lkkck
l11
l1k
即
,记L
lij
kk,即得L
,也即
lk1
lkk
L
(3)
当L0时,上式有非0解,此式说明是L的特征值.定理1证毕.
定理1证明了A与B有公共的特征向量,通过定理1的证明,我们还看出,
对于A的任一特征值,属于该特征值的所有特征向量中,一定存在B的特征向量.
于是有推论:
推论1若复方阵A,B满足ABBA,且A有r个互不相同的特征值,则A
3
与B至少有r个线性无关的公共特征向量。
证明设1,2,,r是A的r个互不相同的特征值,按照定理1的证明,在A
的每个特征子空间V中都存在B的特征向量i,i1,2,,r,而属于不同特征
i
值的特征向量必线性无关,得1,2,,r是A与B的r个线性无关的公共特征向
量。
推论2若n阶复方阵A,B满足ABBA,且A有n个互不相同的特征值,
则存在可逆矩阵P,使得P1AP与P1BP都是对角矩阵。
证明由推论1知A与B有n个线性无关的公共特征向量1,2,,n,作矩阵
P(1,2,,n),则P1AP与P1BP都是对角矩阵。
下面,我们通过例子说明如何用定理1中方法求出可换矩阵所有的公共特征向量。
例1
求可换矩阵A,B所有的公共特征向量。
A1
,B
解容易验证ABBA,A的特征多项式为
EA
(
1)(2.3)
∴
11,2
3.
x1
1x3,基础解系为1
对1
1,由1
x20
,得x1
0,x2
1,
x3
而B1
1,定理
1中的L
1为11矩阵,于是
1,于是公共特征向量为
4
,c为任一不为零的常数
2c1
对2
3,由
x2
0,得x1
x3,基础解系为
,2
21
2,B2
212,
定理1中的L
0,
,
0,即(3)
对
c1,于是公共特征向量为
c1(12),
,得c2
即c1,c1为任意不为零的常数。
c1
2c2,于是公共特征向量为
c2(212),
3,
,得c1
2c2
即c2,c2为任意不为零的常数。
于是所有公共特征向量的形式为:
0k2k
k,k,k
2kk2k
k为任意不为零的常数。
2一个反例
命题1中对复数域的要求是必需的,而在文献[2]中P261却有如下一道习题:
习题[2]设矩阵A与B可交换,试证:
如果A有特征向量,则A,B一定有公
共特征向量。
5
在文献[3]中对该习题作出了如下解答:
解[3]设A,B是两个可交换的矩阵,系数在数域P中,并设其阶数为n.A,B
可看成n维线性空间Pn的线性变换A,B在基1(1,0,,0),2(0,1,,0),,
n(0,0,,1)下的矩阵,从A,B可交换可推出A,B可交换.如果A有特征向量,
则A有特征值0.在A对于0的特征子空间中,A,B有公共特征向量,也
是矩阵A,B的公共特征向量。
上述结论不真。
事实上,在实数域R上,取A
E,令B是在实数域R没有
特征值的任一方阵(这种矩阵是存在的,参见下例),则A
E与B可交换,AE
有特征向量,但B没有特征向量。
例1在实数域R上,AE2(单位阵),B
,则ABBA,A有特
征值1,从而有特征向量,但B在实数域R上没有特征值,自然没有特征向量.
3进一步的讨论
引理1ACnn,A相似于对角阵A有n个线性无关的特征向量
设1,2......n为A的n个线性无关的特征向量.
令P
1,2......n则可逆,且P1AP
n
引理2(哈密尔顿-凯莱定理)设A是数域P上一个nn矩阵,
f
A是A的特征多项式,则
fAAn
a11a22
annAn1
1A
1.
引理3设fR,若BfA,则A的任一特征向量一定是B的特征
证明:
令fanna1a0,又BfA
6
∴BfAanAn
an1An1
a1Aa0.
由A
有An
,则
fA
anAn
an1An1
a1Aa0
=an
an1
n1
a1
a0
f,
∴B
f.
即证.
引理4
若AB
BA,且A有n个互不相同的特征值,则
可逆阵P使得
P1AP
,P1BP
∵A有n个互不相同的特征值,
∴A可以对角化(即相似于对角阵),
P,使得P1AP
由AB
BA
P1BP
P1BPP1AP,
c11
c1n
c1n
=
cn1
cnn
cij
0ij
∴P1BP
证毕.
引理5
BA,则A,B可同时相似于上三角阵,即
*
P1BP
7
证明先证A,B至少有公共的特征向量
0.∴A101,B101,将
1扩充为Cn的一组基1,
n1,取P
1,
n1,则
同理P1BP
∵AB
BA,∴V
1*
A1B1
B1A1
A1B1B1A1A1,B1均为n1n1矩阵
用归纳法证:
则可逆阵Q
使得
Q
1AQ
Q
1BQ
P1AP10
0Q
Q1
0A1
Q1AQ1
P1BP1
1*10
0B10Q
0Q1B1Q
10
∴取TP使得A,B可以同时相似于上三角阵.
引理6若ABAB,则ABBA.
证明ABBAB,∴BA,
8
即ABBA,有ABABBABA.
∴ABBA.
结论1
已知AB
AB,则
⑴1不是A的特征值,也不是B的特征值;
⑵若B相似于对角阵,则A也相似于对角阵,且可同时相似于对角阵.
证明⑴∵
A0,
∴1不是A,B的特征值.
或证:
若1是B
的特征值,设B
∴A
AB,即A
A,
于是有
0矛盾.
10
⑵设P1bP
由ABAB
P1APP1BPP1APP1BP.∴P1APP1BP
P1BP.
即P1AP
∴P1AP
注:
若P
1AP与P
1BP都是对角阵,则
P1BPP1AP
则ABBA.
结论2若ABAB,A,B至少有一个可以对角化,则⑴B一定能表成A的多项式.
⑵的A每一个特征向量都是B的特征向量.
9
⑶A,B至少有一个公共特征向量.
⑴由AB
AB有B
A.
∵1不是A的特征值.
可逆.
下证A
可表成关于的A多项式.
∵1不是A的特征值,设f
A为特征多项式.
∴f
1,f
1.
1u
v
又由引理[3]有f
0,即A1u
Af
Av
A.
u
uA
AA
Au
A.证毕.
⑵易得.
⑶由A
AB
BA,即有此结论.
结论3
若A
AB,A可对角化,则A,B有n个公共特征向量,且它们线
性无关.
AB,∴AB
BA.又A可以对角化,∴存A在n个线性无关
的特征向量从而它们也是
的
个特征向量
设1,
2,
n为公共特征向量,且线性无关.记P
1,2,n,则
P1AP
,P1BP
[参考文献]
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复旦大学出版社,1986.
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(2)2,29.
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衷心感谢胡付高老师对本文的悉心指导!
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