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每天最多供应量(kg)
C
P
H
100
60
65
飞乐公司是绿地组织的全资公司,绿地组织是一个专门从事与环境有关业务的组织。
管理层决定在表1.12和表1.13所列的约束之内,有效地将各种材料分配到各等级的产品中去,以实现每周的总利润最大。
案例分析2
例1.11上海地铁公司正准备增加其人民广场的往来班次,因此需要雇用更多的工作人员,但是不知道到底雇用多少数量的工作人员。
管理层意识到中介公司的客户提供令人满意的服务水平的同时必须进行成本控制,因此,必须寻找成本与收益之间合意的平衡。
于是,要求管理团队研究如何规划人员才能以最小的成本提供令人满意的服务。
分析研究新的班次时间表,以确定一天之中不同时段为实现客户满意水平必须工作的工作人员数目。
在表1.14的最后一栏显示了这些数目,其中第一列给出对应的时段。
表中的其他数据反应了公司与客户服务代理商协会所定协议上的一些规定,这一规定要求每一工作人员工作8小时为一班,各班的时间安排如下:
轮班1:
6:
00AM~2:
00PM
轮班2:
8:
00AM~4:
轮班3:
中午~8:
轮班4:
4:
00PM~午夜
轮班5:
10:
00PM~6:
00AM
表1.14上海地铁公司人员排程问题的数据
轮班的时段
时段
x1
x2
x3
x4
x5
最少需要代理商
的数量
6:
00AM~8:
8:
00AM~10:
10:
00AM~中午
中午~2:
2:
00PM~4:
4:
00PM~8:
00PM~10:
午夜~6:
x11
x21
x31
x41
x22
x32
x42
x52
x43
x53
x63
x73
x64
x74
x84
x94
x95
x105
48
79
87
64
73
82
43
52
15
每个代理商的每日成本
17
95
表1.14中标注xij的部分表示这段时间是有相应轮班的。
因为轮班之间的重要程度有差异,所以协议中工资也因轮班所处的时间而不同。
每一轮班对代理商的补偿(包括收益)如最底行所示。
问题就是,在最底行数据的基础上,确定将多少代理商分派到一天之中的各个轮班中去,以使得人员费用最小,同时必须保证最后一栏中所要求的服务水平的实现。
kye
建模
这个问题实际上是一个纯成本收益平衡问题。
为了建立模型,首先必须明确包含的活动和收益。
活动对应于各轮班
活动的水平就是分派到那一轮班的代理商数目
活动的一个单位是指分派到该轮班的一个代理商
因此,线性规划通常是寻找最优活动水平组合的问题,在这里,就可描述为确定最佳的轮班人数。
收益对应于时段
在每一时段里,活动的收益就是代理商所提供给客户的服务
收益的水平由那段时间在岗位的代理商的数目来衡量的
1.4.2Matlab求解
问题的目标是:
最小化成本=所有代理商每日总人力成本
成本=170x1+160x2+175x3+180x4+195x5
约束:
00AM之间总的代理商数=x1
00AM之间总的代理商数=x1+x2
00AM~中午之间总的代理商数=x1+x2
中午~8:
00AM之间总的代理商数=x1+x2+x3
00PM之间总的代理商数=x2+x3
00PM之间总的代理商数=x3+x4
00PM之间总的代理商数=x4
00PM~午夜之间总的代理商数=x4+x5
00PM之间总的代理商数=x5
对如此多变量和约束条件的线性规划问题,如果用手算,那是件很麻烦得事,不仅需要很多时间和耐心,而且容易出错。
现在利用计算机程序来计算。
首先需要输入矩阵:
m1
请输入约束条件个数:
10
请输入变量个数:
5
请输入目标函数系数矩阵:
[170,160,175,180,195]
请输入约束条件系数矩阵:
[1,0,0,0,0;
1,1,0,0,0;
1,1,1,0,0;
0,1,1,0,0;
0,0,1,1,0;
0,0,0,1,0;
0,0,0,1,1;
0,0,0,0,1]
请输入约束条件右端常数矩阵:
[48,79,65,87,64,73,82,43,52,15]
按下回车,计算机显示了结果。
结果如下:
目标函数已得到最优值
30610
可以得到,当x1=48,x2=31,x3=39,x4=43,x5=15时,最优解是30610。
(二)运输问题
目前,我国大功率柴油机生产企业共30家,大多数企业为中型企业,产品系列较多,结构规格各有不同,主要用作船用、机车或发电动力,市场覆盖全国各地。
但对每一个企业来说,因其用户和产品的特点,其次年的市场需求情况当年年底基本上能预测出来,而且交货期一般以季度为时间段来界定。
另外,其生产方式基本上是单件小批量生产,其整个生产周期大约也只比一个季度稍短些,因此,其生产计划、产品发运、库存等均可以季度为一个周期。
这都是运用数学模型解决经营计划决策问题的前提条件。
某内燃机厂是一家典型的从事大功率柴油机生产的中型企业。
该厂可生产四大系列柴油机产品,而且全部自主销售。
由于该厂近几年十分重视产品开发和市场开发,已经成为总产量位居国内大功率柴油机行业前列的具有一定知名度的企业,产品不仅在国内市场占有一定的份额,而且还部分出口,创造了较好的经济效益。
每年的十二月份,是准备和确定企业次年的生产经营计划的时间。
企业经营计划部门根据销售、生产、财务、技术等部门对次年的市场需求、生产能力、生产成本进行的测算,经过综合分析和研究得出有关情况见表3.32(本案例只列出两种产品A和B)。
由于生产和财务部门的测算是基于次年进行一定技术改造才能达到的生产能力和成本,从表3.32明显可以看出,部分产品部分季度可能出现缺货或能力过剩,这就必须考虑缺货成本(是指延期交货应支付给用户的赔偿费用)和库存积压费用。
同时,在市场分配时,也就必须考虑三个市场的运输费用。
当然,为应付市场急需,当年冬季还积压部分产品,次年冬季还必须保留一定的库存备用。
为此,有关部门又进行调查和分析,得出有关情况见表3.33。
传统的生产经营计划的制定依照表3.32提供的数据就基本够了,而且以往实际的年度经营计划都是如此确定的。
但是,要想做到生产经营计划的科学化、合理化,而且使总成本最低,必须同时依据表3.32和表3.33的数据,建立必要的数学模型,通过求其最优解来确定。
表3.32
产品
供货期
甲市场
(台)
乙市场
丙市场
总需求
生产能力
生产成本
(万元)
备注
A
春季
2
1
5
6
21
夏季
4
3
10
8
20.5
秋季
20
冬季
22
合计
11
30
32
/
10.5
.5
1
表3.33
产
品
甲市场运价
(万元/台)
乙市场运价
丙市场运价
目前
库存
库存费用
台/季
缺货成本
到期
0.2
0.4
0.6
2台
0.4万元
1.5万元
0.1
0.3
5台
0.2万元
0.5万元
4台
(三)整数规划
案例1
群力家具制造公司是一个家具生产的专业企业,该公司在生产管理过程中,重视科学管理,努力节约原材料的消耗,年底节余了木材14立方米,辅料9立方米。
该公司希望把节余的材料加工成两种不同款式的电脑桌,通过销售来增加公司的收益。
根据市场调查,款式Ⅰ电脑桌和款式Ⅱ电脑桌的市场价格分别为3百元和2百元。
该公司生产两种不同款式电脑桌的材料消耗定额见表5.9,该公司希望制定两种不同款式电脑桌的生产方案,在满足节余材料用量的条件下,使销售收入达到最大。
表5.9
材料名称
材料的消耗定额(立方米/张)
总量
(立方米)
款式Ⅰ款式Ⅱ
木材
23
14
辅料
21
9
案例2
顺杰建筑设计院有4个设计组,年初该院接洽了4项建筑设计任务。
由于各设计组的设计专长不一,因此各设计组完成各项设计任务所需的时间不同,见表5.10。
该建筑设计院的领导规定:
每个设计组只能完成一项设计任务,而每一项设计任务只能一个设计组完成。
该建筑设计院的领导希望制定一个最优的任务分配方案,使总的设计时间最少。
表5.10(小时)
设计任务
设计时间
设计组
18
24
19
23
26
16
(四)目标规划
例4.3某IT制造商装配两套手机生产线——黑屏单色铃声和彩屏和弦铃声两种手机,每装配一部手机需占用装配线1小时,装配线每周计划开动40小时。
预计市场每周彩屏和弦铃声手机的销量是24台,每台可获利80元;
黑屏单色铃声手机的销量是30台,每台可获利40元。
该厂确定的目标为:
第一优先级:
充分利用装配线每周计划开动40小时;
第二优先级:
允许装配线加班;
但加班时间每周尽量不超过10小时;
第三优先级:
装配手机的数量尽量满足市场需要。
因彩屏和弦铃声手机的利润高,取其权系数为2。
试建立这问题的目标规划模型,并求解黑屏单色铃声和彩屏和弦铃声两种手机的产量。
1、物体冷却过程的数学模型
将某物体放置于空气中,在时刻
时,测量得它的温度为
,10分钟后测得温度为
。
我们要求决定此物体的温度
和时间
的关系,并计算20分钟后物体的温度。
这里我们假定空气的温度保持为
2、镭、铀等放射性元素因不断地放出各种射线而逐渐减少其质量(称为衰变)。
根据实验知道衰变速度与剩余物的质量成正比,问这种元素的质量
是时间
的什么样的函数?
3、传染病模型:
长期以来,建立传染病的数学模型来描述传染病的传播过程,一直是各国有关专家和官员关注的课题.人们不能去做传染病传播的试验以获取数据,所以通常主要是依据机理分析的方法建立模型.
1、某城市有下图所示的交通图,每条道路都是单行线,需要调查每条道路每小时的车流量.图中的数字表示该条路段的车流数.如果每个交叉路口进入和离开的车数相等,整个图中进入和离开的车数相等。
现在需要解决如下问题:
(1)建立确定每条道路流量的线性方程组。
(2)分析哪些流量数据是多余的。
(3)为了唯一确定未知流量,需要增添哪几条道路的流量统计。
2、比利时
分配方案:
将甲、乙、丙三系的人数都用
去除,将商从大到小排列,取前21个最大的,这21个中各系占有几个,就分给几个席位,你认为这种方法合理吗?
学校共有1000名学生,235人住在A楼,333人住在B楼,432人住在C楼。
学生们要组成一个10人委员会,使用
值方法及
方法给出分配方案。
如果委员会为15人,分配方案是什么?
3、广告方案的选择
有A、B、C三家公司生产同一种产品,这三家公司的国内市场的平均占有率为28%,39%和33%。
A公司为了扩大市场,计划开展一项广告运动。
现在,要从两个广告方案种选一个,为此,A公司先在两个区域进行了测试。
已知这两个区域初始的市场占有率均为:
30%,40%和30%,这两个区域用户的初始转移矩阵都是P。
假设A公司计划在区域1采用广告方案1,在区域2采用广告方案2。
经过一段时间测试,公司发现两个区域用户转移矩阵分别为:
问题:
(1)A公司如果不做广告,在平衡状态下,它在这两个地区的市场占有率是否达到国内平均占有率水平?
(2)如果这两个广告方案的费用相同,在平衡状态下,哪个方案较优?
4、促销决策
有A、B、C三家公司生产同类产品,A公司为了扩大市场占有率,决定通过市场调查以确定其营销策略。
(a)当前市场占有率情况
A公司
B公司
C公司
40%
30%
(b)顾客流动情况
A公司为了占有市场,采取如下策略:
策略1:
对连续两个月的用户在价格上予以优惠,这样做可使顾客维持率从40%提高到80%。
即:
使P变为P’
策略2:
积极开展广告攻势,争取买B公司和C公司的用户,假定可使P变为P”
试评价哪种策略更好?
1、用Mathematica画出函数在指定区间的图形:
(1)
(2)
2、用Mathematica求下列极限:
(1)
3、用Mathematica求下列导数和微分:
,求
4、用Mathematica求下列积分:
;
(2)
.
5、用Mathematica求下列行列式的值:
(1)
6、用Mathematica求下列矩阵的乘法、矩阵的逆矩阵:
(1)设
、
使
7、将多项式
因式分解
8、题目:
有1、2、3、4个数字,能组成多少个互不相同且无重复数字的三位数?
都是多少?
9、生成表格:
{{1,2,…,10},{101,102,…,110},……,{901,902,…,910}}
1、“人口问题”是我国最大社会问题之一,估计人口数量和发展趋势是我们制定一系列相关政策的基础。
有人口统计年鉴,可查的我国从1949年至1994年人口数据智料如下:
年份
1949
1954
1959
1964
1969
1974
1979
1984
1989
1994
人口数(百万)
541.67
602.66
672.09
704.99
806.71
908.59
975.42
1034.75
1106.76
1176.74
分析:
(1)在直角坐标系上作出人口数的图象。
(2)估计出这图象近似地可看做一条直线。
(3)用以下几种方法(之一)确定直线方程,并算出1999年人口数。
方法一:
先选择能反映直线变化的两个点,如(1949,541.67),(1984,1034.75)二点确定一条直线,方程为:
N=14.088t–26915.842,代入t=1999,得N≈12.46亿。
方法二:
可以多取几组点对,确定几条直线方程,将t=1999代入,分别求出人口数,再取其算数平值。
方法三:
求出使用Fit函数进行求解,给出函数的图形和散点情况。
2、小哺乳动物与小鸟的心跳速度比大哺乳动物与大鸟的快。
如果动物的进化为每种动物确定了最佳心跳速度,为什么各种动物的最佳心跳速度不一样呢?
由于热血动物的热量通过身体表面散失,所以它们要用大量的能量维持体温,而冷血动物在休息时只需要极少的能量,所以正在休息的热血动物似乎在维持体温。
可以认为,热血动物可用的能量与通过肺部的血液流量成正比。
(1)试建立一个模型,将体重与通过心脏的基础(即休息时的)血液流量联系起来,用下面的数据检验你的模型。
(2)有许多可得到脉搏数据但没有血液流量数据的动物,建立一个模型将体重与基础脉搏联系起来,用下面的数据检验你的模型。
(3)在检验你在
(1)和
(2)中的模型时会出现不一致,试进行分析。
表一关于某些哺乳动物的数据
哺乳动物名称
兔
山羊
狗
体重(千克)
4.1
12
6.4
基础血液流量(分升/分)
5.3
31
表二关于人类的数据
年龄
70
33
51
40
46
脉搏(次/分)
96
9
表三关于小鸟类的数据表四关于大鸟类的数据
鸟类
体重(克)
脉搏
(次/分)
蜂鸟
615
海鸥
388
401
鹪鹩
450
鸡
1980
312
金丝雀
514
秃鹰
8310
199
麻雀
28
350
火鸡
8750
93
鸽子
130
135
驼鸟
80000
表五关于哺乳动物的数据
小蝙蝠
0.006
588
海豹
20~25
小家鼠
0.017
500
81
仓鼠
0.103
347
绵羊
70~80
小猫
0.117
300
猪
60~80
大家鼠
0.252
352
马
380~450
34~55
天竺鼠
0.437
269
牛
46~53
1.34
251
象
2000~3000
25~50
这里只对该问题作一些拟合方面的练习。
其它问题读者可自己进行讨论。
符号
用
表示动物的体重,单位:
千克
表示动物的基础血液流量,单位:
公升/分
表示动物的年龄,单位:
岁
表示动物的脉搏,单位:
次/分
假设动物的基础血液流量与动物的体重之间存在一定的函数关系
,可以用表一中的数据来拟合这个函数。
函数
是一个什么样的函数呢?
由于我们对“动物的基础血液流量与动物的体重”之间的关系并不清楚,所以只有根据表一中的数据得出函数
一些性质。
先将表一中的数据用Mathematica软件作出图形。
从图上可以看出,这个函数关系
应当是一个单调增加的函数。
因此,拟合的函数如果不具有这一性质的话,就不能作为是好的选择。
一般地,可以假设函数
是一个多项式,通常,这个多项式的次数不要超过3、4次,具体可根据拟合的效果来定。
当然也可以用其它函数来拟合。
为了提高拟合的效果,函数
还可以用分段函数来拟合。
以下是用分段函数拟合的结果:
拟合函数图形是:
问题1:
写出拟合函数
和作出上面图形的Mathematica指令。
同样可以拟合人的基础血液流量与体重之间的函数关系
,可以用表二中的数据来拟合这个函数。
这里用4次多项式来拟合,拟合的结果是:
问题2:
将上面拟合出来的函数
和
在它们的公共定义域
上的图形画出来,如下图所示。
从图形上可以看出人类与动物之间的差异。
问题3:
写出作出上面图形的Mathematica指令。
下面考虑动物、人类的体重与基础脉搏的函数关系。
假设人类的体重与基础脉搏之间的函数关系是
,利用表二中的数据来拟合这个函数。
这里用3次多项式拟合。
拟合的结果是:
其图形是:
问题4:
假设哺乳动物的体重与基础脉搏之间的函数关系是
,利用表五中的数据来拟合这个函数。
这里用分段函数来拟合。
由于当
时,
变化激烈,所以用多项式已不能描述其变化的规律,可用其它函数来拟合。
图形如下。
问题5:
和作出上面图形的MATHEMATICA指令。
假设小鸟类、大鸟类的体重与基础脉搏之间的函数关系分别是
,利用表三、四中的数据来拟合这两个函数。
其图形如下。
问题6:
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