圆锥曲线中的定点定值问题优选的四种模型docxWord文档下载推荐.docx
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,x1
4(m2
4k
2
3(m2
4k2)
y1
y2
(kx1
m)
(kx2m)
kx1x2
mk(x1x2)
m
4k2
Q以AB为直径的圆过椭圆的右顶点
D(2,0),且kAD
kBD
1,
1,y1y2
x1x2
2(x1x2)4
0,
2x2
4k2)
4(m2
16mk
整理得:
7m2
0,解得:
m1
2k,m2
2k
,且满足34k2
7
当m
时,l:
y
k(x
2),直线过定点(2,0),
与已知矛盾;
k(x
2),直线过定点(2,0)
综上可知,直线
l过定点,定点坐标为
(,0).
◆方法总结:
本题为“弦对定点张直角”
的一个例子:
圆锥曲线如椭圆上任意一点
P做相互垂直的直
线交圆锥曲线于
AB,则AB必过定点(x0(a2
b2)
y0(a2
b2))。
(参考XX文库文章:
“圆锥曲线的弦对
a2
b2
定点张直角的一组性质”)
◆模型拓展:
本题还可以拓展为“手电筒”模型:
只要任意一个限定
AP与BP条件(如kAP
?
kBP定
值,kAPkBP
定值),直线AB依然会过定点(因为三条直线形似手电筒,固名曰手电筒模型)
。
(参考优
酷视频资料尼尔森数学第一季第
13节)
此模型解题步骤:
Step1:
设AB直线ykx
m,联立曲线方程得根与系数关系,
求出参数范围;
Step2:
由AP与BP关系(如kAP?
kBP
1),得一次函数k
f(m)或者mf(k);
Step3:
将k
f(m)或者m
f(k)代入y
kxm,得y
k(x
x定)y定。
◆迁移训练
练习1:
过抛物线M:
y22px上一点P(1,2)作倾斜角互补的直线PA与PB,交M于A、B两点,求
证:
直线AB过定点。
(注:
本题结论也适用于抛物线与双曲线)
练习2:
y2
4x的顶点任意作两条互相垂直的弦
OA、OB,求证:
(经典
例题,多种解法)
练习3:
过2x2
1
上的点作动弦AB、AC且kAB?
kAC
3,证明BC恒过定点。
(本题参考答案:
(,
))
5
练习:
4:
设A、B是轨迹C:
2px(P
0)上异于原点O的两个不同点,直线
OA和OB的倾斜角
分别为
和,当
变化且
时,证明直线
AB恒过定点,并求出该定点的坐标。
(参考答案
2p,2p)
【答案】设Ax1,y1
B
x2,y2
,由题意得x1,x2
,又直线OA,OB的倾斜角
满足
,
故0
,所以直线
AB的斜率存在,否则,
OA,OB直线的倾斜角之和为
从而设
AB方程为
kx
b,显然x1
y12
x2
y22
2p
将y
kxb与y2
0)联立消去x,得ky2
2py
2pb
由韦达定理知y1
2p,y1
①
k
由
,得1=tan
tan(
tan
2p(y1
y2)
)=
=
4p2
y1y2
将①式代入上式整理化简可得:
1,所以b
2pk,
b
2pk
此时,直线AB的方程可表示为y
kx2p2pk即k(x
2p)y2p0
所以直线AB恒过定点
2p,2p
.
练习5:
(2013年高考陕西卷(理))已知动圆过定点A(4,0),
且在y轴上截得的弦
MN的长为8.
(Ⅰ)求动圆圆心的轨迹
C的方程;
(Ⅱ)已知点B(-1,0),设不垂直于x轴的直线与轨迹C交于不同的两点P,Q,若x轴是的角平分线,证
明直线过定点.
【答案】解:
(Ⅰ)A(4,0),设圆心C
(Ⅱ)点B(-1,0),
直线PQ方程为:
所以,直线PQ过定点(1,0)
练习6:
已知点B
1,0
C1,0
P是平面上一动点,且满足
uuur
|PC||BC|
PB
CB
(1)求点P的轨迹C对应的方程;
(2)已知点A(m,2)在曲线C上,过点A作曲线C的两条弦AD和AE,且AD
AE,判断:
直
线DE是否过定点?
试证明你的结论.
【解】
(1)设P(x,y)代入|PC||BC|
PBCB得(x
1)2
1x,化简得y2
4x.
(5分)
(2)
将A
代入y2
x得m
1,
点A的坐标为
(1,2).
(
2)
设直线DE的方程为x
myt代入y2
4x,得y2
4mt
4t
0,
设
D
),
)则
4,
t
,(4
)2
16
(0*)
E
my1
ADAE(x11)(x2
1)(y1
2)(y2
2)x1x2
(x1
x2)1y1y2
2(y1
y2)4
(y12
y22)y1y2
2(y1y2)5
(y1y2)2
(y1
y2)2
2y1y2
y1y
y2)5
(4t)2
(4m)2
2(
4t)
4t)
2(4m)
0化简得t2
6t
4m2
8m
即t
94m
4即(t
4(m
1)
2(m
2m
5或t
1,代入(*)式检验均满足
直线DE的方程为x
m(y2)5或x
m(y
2)
直线DE过定点(5,
2).
(定点(1,2)不满足题意)
练习7:
已知点A(-1,0),B(1,-1)和抛物线.C:
y2
交抛物线C于M、P,直线MB交抛物线C于另一点Q,如图.
uuuuruuur
(I)证明:
OMOP为定值;
(II)若△POM的面积为5,求向量OM与OP的夹角;
(Ⅲ)证明直线PQ恒过一个定点.
(I)设点M(y12
y1),P(y22
y2),
P、M、A三点共线,
kAM
kDM,即
即
4y1
OM
5.
OP
(II)设∠POM=α,则|OM||OP|cos5.
SROM
5,|OM|
|OP|sin
5.由此可得tanα=1.
4x,O为坐标原点,过点A的动直线l
第22题
又
(0,
45,故向量OM与OP的夹角为45.
(Ⅲ)设点Q(y32
y3),
M、B、Q三点共线,
kBQ
kQM,
y3
即
4y1y3
y32
(y31)(y1
y3)
4,即y1y3
40.LLLL11分
4,即y1
40,
即4(y2
y2y3
0.(*)
kPQ
直线PQ的方程是y
(x
)
yy2
)(
y2y
4.
xy2
即y
x
由(*)式,
4(y2
4,代入上式,得
(y
4)(y2y3)4(x1).
由此可知直线PQ过定点E(1,-4).
模型二:
切点弦恒过定点
例题:
有如下结论:
“圆
x2
r2上一点P(x0,y0)处的切线方程为
x0y
y0yr2”,类比也
有结论:
“椭圆
1(a
x0x
y0
a2
b2
0)上一点P(x0,y0)处的切线方程为
1”,过椭圆C:
a
1的右准线l上任意一点M引椭圆C的两条切线,切点为A、B.
(1)求证:
直线AB恒过一定点;
(2)当点M在的纵坐标为1时,求△ABM的面积。
(1)设M4
t)(t
x1x
R),A(x1,y1),B(x2,y2),则MA的方程为
∵点M在MA上∴
3x1
ty1
同理可得
3x2ty2
1②
由①②知AB的方程为
3x
ty
1,即x
3(1
ty)
易知右焦点F(
3,0
)满足③式,故
AB恒过椭圆C的右焦点F(
(2)把AB的方程x
y)代入x2
1,化简得7y
6y
36
28
|
∴|AB|1
又M到AB的距离d
∴△ABM的面积
S
|AB|d
21
◆方法点评:
切点弦的性质虽然可以当结论用,但是在正式的考试过程中直接不能直接引用,可以用本题的书写步骤替换之,大家注意过程。
◆方法总结:
什么是切点弦?
解题步骤有哪些?
参考:
PPT圆锥曲线的切线及切点弦方程,XX文库
“尼尔森数学第一季_3下”,优酷视频
拓展:
相交弦的蝴蝶特征——蝴蝶定理,资料
(2013年广东省数学(理)卷)已知抛物线的顶点为原点,其焦点到直线:
的距离为.设为直线上的点,过点作抛物线的两条切线,其中为切点.
(Ⅰ)求抛物线的方程;
(Ⅱ)当点为直线上的定点时,求直线的方程;
(Ⅲ)当点在直线上移动时,求的最小值.
【答案】(Ⅰ)依题意,设抛物线的方程为,由结合,解得.所以抛物线的方程为.
(Ⅱ)抛物线的方程为,即,求导得
设,(其中),
则切线的斜率分别为,,
所以切线:
即,即
同理可得切线的方程为
因为切线均过点,所以,
所以为方程的两组解.
所以直线的方程为.
(Ⅲ)由抛物线定义可知,,
所以
联立方程,消去整理得
由一元二次方程根与系数的关系可得,
又点在直线上,所以,
所以当时,取得最小值,且最小值为.
(2013年辽宁数学(理))如图,抛物线,点在抛物线上,过作的切线,切点为(为原点时,重合于),
切线的斜率为.
(I)求的值;
(II)当在上运动时,求线段中点的轨迹方.
【答案】
模型三:
相交弦过定点
相交弦性质实质是切点弦过定点性质的拓展,结论同样适用。
参考尼尔森数学第一季_3下,优酷视频。
但是具体解题而言,相交弦过定点涉及坐标较多,计算量相对较大,解题过程一定要注意思路,同时注意
总结这类题的通法。
如图,已知直线
L:
的右焦点
F,且交椭圆
C于
A、B两点,点
A、B在直线上的射影依次为点
D、
E。
连接
AE、BD,试探
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